ИД Ои

Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ограниченной линиями

y x 2 1 и y=3x-1 вокруг оси OX.

7. Исследовать сходимость несобственных интегралов.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

1.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

						2																											2															2
						2																						t					2											t				2					t
Sвр		2 (1 cost)																					4sin2					t	dt 4					(1 cost)sin										t	dt 8 sin3								t	dt
Sвр		2 (1 cost)																					4sin2				2		dt 4					(1 cost)sin											dt 8 sin3									dt
						0																					2							0									2					0				2
						0																												0														0
										t			2					2							t			2													2								64
										t			2					2							t			2													2								64
8 (2cos																						cos3								) 8 (( 2 2)													( 1				1))					(ед.2 ).
8 (2cos									2				0					3				cos3			2		0			) 8 (( 2 2)											3		( 1				1))	3				(ед.2 ).


				6. Найти объем тела, образованного вращением одной аркой циклоиды:
x t sint,													вокруг оси абсцисс.
		1 cost											вокруг оси абсцисс.
y		1 cost
				Решение: (t) t sin t , (t) 1 cost , t 0,2 ,																																															'(t) 1 cost .
										2																				2
				V							(1 cost)3 dt																	(1 3cost 3cos2 t cos3 t)dt
											0																				0
				(					5					2		4sint									2					3				2			1	sin3 t				2 ) 5 2 (ед.2 ).
											t			2																		sin 2t		2

																									0
									2					0													4							0		3						0



				7. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: а)
		dx										2			dx
					; б)												.
	4 х2				; б)										х		.
0												1
				Решение.
				а)							f (x)										1										непрерывна на любом отрезке [0,t] (0<t<+∞),

																						4 х2
следовательно, интегрируема на нем.
				t			dx										1							x			t				1				t											1				t
				t																							t
																			arctg														(arctg			arctg0)											arctg				.
							х					2							arctg														(arctg			arctg0)											arctg				.
				0		4	х									2									2		0				2				2											2		2
		t		dx														1								t					1									dx
lim				dx				lim(										1		arctg						t		)			1					.				dx							, следовательно он сходится.
lim				2				lim(												arctg								)								.				х			2				, следовательно он сходится.
t		0	4	х									t					2							2						2 2 4					0			4	х						4
		0																																		0

б) Функция y 1х имеет бесконечный разрыв в точке с=0.

0	dx		dx			1
		lim		limln	x		lim(ln ln	1) limln .

	х		х
1		0 1		0			0		0

Следовательно 2 dx – расходится.

1 х

0	dx
	х	расходится.
1

8. Пусть требуется найти величину Q, связанную с отрезком [a;b] и

функцией f(x), заданной на нем. Если выполняется свойство аддитивности применительно к рассматриваемой величине Q, то необходимо выделить

бесконечно малый элемент отрезка [a;b] длины dx, примыкающий к точке x;

найти значение dQ, соответствующее этому элементу dx (dQ f (x)dx );

просуммировать (проинтегрировать) найденные элементы dQ и найти Q.

Пример 1. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого равна S, высота Н, плавает на поверхности воды.

Определить работу, которую нужно совершить, чтобы вытащить поплавок из воды, сохраняя вертикальное положение его оси, если плотность дерева равна γ

(рис. 5)

Пусть AL высота подводной части поплавка ABCD, AL=h.

По закону Архимеда сила давления воды, действующая снизу вверх на

плавающее тело, равна весу q, тогда q SH Sh .

Пусть к некоторому моменту времени подводная часть поплавка оказалась поднята на высоту х (считая от поверхности воды). В этот момент

времени сила давления воды на тело будет f (x) S (h x) , а сила, которую нужно

приложить к телу, чтобы удержать его от погружения в воду, окажется равной

			h	x	2	h	Sh	2
			h		2	h		2
F (x) q f (x) Sh S (h x) Sx . Тогда			А Sxdx S						. Так как	H h , то
F (x) q f (x) Sh S (h x) Sx . Тогда			А Sxdx S	2			2		. Так как	H h , то
			0	2		0	2
А	SН 2 2		0			0
	SН 2 2
		– искомая работа.
	2	– искомая работа.
	2

Пример 2. Определить работу, которую надо затратить, чтобы поднять с поверхности Земли (радиус Земли R) на высоту h тело массы m. Найти эту работу при условии удаления тела на бесконечность.

Сила, которая действует на тело массы m, равна F k mMr 2 , r – расстояние от центра Земли.

Работа А, затрачиваемая на поднятие массы m с поверхности Земли (r=R)

R h

до высоты h (r+R=h), вычисляется: А

dr kmM

kmM

R h

Так

как

на

поверхности

Земли

(r=R) F=mg,

то kM=gR2

R h R

mgh

А mgR

mgR

mgh

R(R h)

R h

Тогда lim А lim mgh

mgR

R h

§ 3. Индивидуальные задания

ВАРИАНТ 1.

1. Вычислить


	4	sin2		xdx				2	(1
	4	sin2		xdx				2	(1			x )dx
а)						;	б)								;
		cos		4	x				1		3
				4							3		x
	0							0					x

	6							1	(2x 1)xdx
в)	x cos3xdx ;						г)								.
в)	x cos3xdx ;						г)		x	2				4	.
	0							1	x					4
	0							1
2.	Продифференцировать равенство.
		x 2
Y (x) sin(t 2 )dt .
			1
			x
																7
3.		Вычислить						определенный								интеграл			x 3 32dx приближенно с
																		3
помощью формулы Симпсона с точностью 0,001.
4.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертёж.
а) y x 2 x , x y 2 0 ;
б) y x 4 2 ,							y 16 x 2 ;
в)	3 sin 2 .
5.	Вычислить длину дуги кривой
а)	x 4(cost t sin t); 0 t 2;
		y sin t t cost,
б)	y 2 x 3 , отсеченной прямой															x	4	.
б)	y 2 x 3 , отсеченной прямой															x		.
																3

6. Фигура, ограниченная линиями y e x , y 4 , x 0 , вращается вокруг оси

Oy. Вычислить объём тела, образованного тела.

7. Исследовать сходимость несобственных интегралов.

	1	dx	5		dx
а)		dx	;		dx	.
		2 x	1	x ln x
			1
8.	Скорость				точки V 3t 2 4 м/сек. Найти путь, пройденный ею за

первые три секунды.

ВАРИАНТ 2.

Вычислить

x 2 dx

а)

; б)

cos x cos3 xdx ;

e 1

xdx

в)

; г)

ln(x 1)dx .

x 1

Продифференцировать равенство.

x 2

Y (x) cos(t 2 )dt .

Вычислить

определенный интеграл

x 3 36dx приближенно с

помощью формулы Симпсона с точностью 0,001.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертёж.

а) xy=3, x+y-4=0;

б) y 2x x 2 , y=-x;

в)

sin , 2 sin .

Вычислить длину дуги кривой

a) y=1-lnsinx,

;

x 0,12 .

б)

x x ,

Фигура, ограниченная линиями y 5 x 2 ,

y 4x 2 , вращается вокруг оси

Oy. Вычислить объём тела, образованного тела.

Исследовать сходимость несобственных интегралов.

а) xe x

dx ;

б)

8. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из полусферического котла, имеющего радиус, равный на 5м.

ВАРИАНТ 3.

Вычислить определенный интеграл.

1 3

а)

∫0

;

б)

∫

dx;

1+8

г) ∫6

в) ln x 2 dx ;

1 1+√3−2

Найти

производную от

интеграла

переменными пределами

y(x)=∫√

dt.

√1 + 2

Вычислить

определенный

интеграл

2x3 3dx приближенно с

помощью формулы Симпсона с точностью 0,001.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертёж.

а) y=4x-3 2, 3x+y-2=0,

б)

y 2 x 3 , x=0, y=4,

в)

3 2 cos .

Вычислить длину дуги кривой.

а) x= 2co 3t,

y= 2si 3t, 0 t

;

б) y=ln(1- 2),

x 0;

6. Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры,

ограниченной линиями y 0,5x 2 3 и y=0 вокруг оси Ox. 7. Исследовать сходимость несобственных интегралов.

+∞			+2
∫−∞		;	б) ∫−2		.
	2+4 +5			2−4

8. Вычислить силу давления воды на прямоугольный треугольник, высота которого равна 8 см, а основание 4 см, если он погружен в воду таким образом,

что основание его лежит на поверхности воды, а высота направлена вертикально вниз.

ВАРИАНТ 4.

Вычислить определенный интеграл.

а) ∫2 √

− 1

dx;

б) ∫

;

3 2 ;

д) ∫9

−1

в) ∫2

dx.

4 √+1

Сравнить интегралы не вычисляя их

x 4

cos xdx и x 2 cos xdx .

Вычислить определенный

интеграл

3 sin xdx приближенно с

помощью формулы Симпсона с точностью 0,001.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертёж.

а) y x 2 3x , y 2x 6 ;

б) y x 3 , y 4x .

в) 3 2sin .

Вычислить длину дуги кривой.

а) x=3(cost+tsint),

y=3(sint+tcost), 0 t

б)

y 2

x 1 3 , x 0;3 .

6.Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры,

8. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать

воду из вертикальной цилиндрической цистерны, радиус которой равен R, а

высота Н.

ВАРИАНТ 5.

Вычислить определенный интеграл.

б) ∫1

а)

cos

dx ;

;

0 ( +1)

в) ∫8

в) ∫

√

+1+1

dx ;

3 √ +1−1

Найти

производную от интеграла

с переменными пределами

J(x)=∫

Вычислить определенный интеграл

приближенно с помощью

x 2

формулы Симпсона с точностью 0,001.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертёж.

а) y=2- 2, y=x.

б) y=tgx, y=

cosx

y=0

в)

3 cos и

2 sin .

Вычислить длину дуги кривой.

а) x=5(cost+tsint), y=5(sint-tcost);

б)

от точки (2;

) до точки (

;2).

6.Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры,

ограниченной линиями y= , y=0, x=2 вокруг оси OX.

7. Исследовать сходимость несобственных интегралов.

а) ∫0	dx;	б) ∫1		+1	dx.
			5

−∞		−1	√ 3

8.Определить массу прямого круглого конуса, высота которого равна Н,

иугол между высотой и образующей a, если плотность в каждой точке конуса пропорциональна расстоянию ее от плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию.

ВАРИАНТ 6.

1. Вычислить определенный интеграл.

а) ∫2

dx;

б) ∫2

;

3 2+4

0 2+

( √+1)

∙ 3 .

в) ∫

dx; г) ∫6

√7+ √3

2. Найти производную от интеграла с

переменными пределами

J(x)=∫√

cos( 2) dt .

3. Вычислить

определенный интеграл

3 cos2xdx приближенно с

помощью формулы Симпсона с точностью 0,001.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертёж.

а) 4y=8x- 2, 4y=x+6.

б) x= 2(y-1), x=0.

в) x 2 y 2 a x 2 y 2 .

5. Вычислить длину дуги кривой.

а) x=5(2cost-cos2t),

y=5(2sint-sin2t), 0 x ;

б) y=lnx

от x1=

то =2,4.

6.Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры,

ограниченной линиями x= ; y=0; x=2 вокруг оси OY .
	√
7. Исследовать сходимость несобственных интегралов.
а) ∫+∞ dx;	б) ∫21 .
1 1+2	0 ∙ 2

8. Прямой круговой конус с вертикальной осью погружен в воду так, что

его вершина находится на поверхности воды. Определить работу, необходимую для извлечения из конуса воды, если его высота 10 дм, диаметр основания 20 дм, и плотность 3 г⁄см3 .

ВАРИАНТ 7.

Вычислить определенный интеграл.

√

3+1

а)

∫1

;

б) ∫1

dx;

2+5 +4

2√4−2

г) ∫

22;

√1+

в) ∫4

dx;

Найти производную

от

интеграла с переменными пределами

J(x)=∫2

dt.

3. Вычислить определенный интеграл

1 x 3 dx приближенно с помощью

формулы Симпсона с точностью 0,001.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертёж.

а) y= 2-4, x-y=2.

б) y= 2-5x+6, x=0, y=0,

в)

a 2 cos2

Вычислить длину дуги кривой.

а) x=4(t-sint),

y=4(1-cost), 0 t ;

б)

x 3 2

между точками

A(2;1), B(3;0).

6.Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры,

ограниченной линиями y=tgx, y=0, x=							вокруг оси OX .
ограниченной линиями y=tgx, y=0, x=							вокруг оси OX .
						4
7. Исследовать сходимость несобственных интегралов.
		−1
а) ∫	+∞ 2			б) ∫
			dx ;			.

					√
1				1	√

8. Квадрат со стороной 8 м вертикально погружен в воду так, что одна из его сторон лежит на поверхности воды. Определить силу давления воды на весь квадрат и на каждую из частей, на которые он разделяется диагональю.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
28.06.20221.91 Mб8978-5-7996-1814-8_2016.pdf
#
28.06.2022378.64 Кб4DiffEq.pdf
#
28.06.2022767.47 Кб3Дифур.pdf
#
11.08.20229.52 Mб4Дифференциальные уравнения1.ppt
#
11.08.2022416.26 Кб6Дифференциальные уравнения5.ppt
#
28.06.20221.06 Mб7ИД Ои.pdf
#
28.06.2022286.21 Кб6Лекция 7 Экономические циклы.pdf
#
28.06.2022467.43 Кб1Матан вопросы.docx
#
28.06.2022836.4 Кб11Математический анализ шпаргалка.docx
#
28.06.2022954 Кб4Определенный интеграл.pdf
#
28.06.2022570.37 Кб12Приложение определенного интеграла.ppt