11) Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

Здесь  - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси . - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с  значения не имеет. Действительно (рис. 3.4),  где  - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения,  - плечо силы  относительно оси.

Рис. 3.4.

Поскольку  ( - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо  можно записать

(3.8)

или

(3.9)

поскольку в случае твердого тела 

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид:

(3.10)

Вектор  всегда направлен вдоль оси вращения, а  - это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае  получаем  соответственно и момент импульса относительно оси  сохраняется. При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол  между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А движется по конический поверхности с углом полураствора  однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

12) Момент инерции. Моментом инерции материальной точки массы mотносительно оси называется величина, равная:

I = m·r²,        (6.5) где r - кратчайшее расстояние от оси вращения до точки.

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции его частей:

I = m_i·r_i²      (6.6)

Следовательно, момент инерции твердого тела зависит от:

	массы тела;
	формы и размеров тела;
	распределения массы относительно оси вращения (при переносе оси вращения или отдельных частей тела его момент инерции изменяется).

Для симметричных тел момент инерции рассчитывается с помощью интегрального исчисления.

13)

14) Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Не следует путать с центром тяжести.

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где

— радиус-вектор центра масс,

— радиус-вектор i-й точки системы,

— масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

где:

— суммарная масса системы,

— объём,

— плотность.

Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

15) Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции  тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела  относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела  на квадрат расстояния  между осями:

где

 — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

 — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор  можно расписать как сумму двух векторов:

,

где  — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где  — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

16) Работа есть физическая величина, численно равная произведению силы на перемещение в направлении действия этой силы и ей же вызванное.  Соответственно формула A = F*s. Если перемещение по направлению не совпадает с направлением действия силы, то появляется косинус угла.

17) Теорема окинетической энергии

ЕслиработаA=Fs=mas, можно выразить перемещениеи ускорение через скорость. При равноускоренном одномерном движенииa=(v_к-v_н)/t,s=v_cpt=(v_к+v_н)(v_к-v_н)/2a=(v_к²-v_н²)/2a.ПоэтомуA= ½(mv_к²-mv_н²)=E_{к н}-E_кк=∆Е_к. Величина ½mv²называетсякинетической энергией, т.е.энергией движения (от греч.kinema,Е_кможет также обозначаться К или Т).

Вывод,что работа результирующей силы равна изменению кинетической энергии тела,справедлив и при изменении ускорения и сил, не только для равноускоренногопрямолинейного движения, и известен кактеоремаоб изменении кинетической энергии.

Этопонятие связано с законом сохранения «силы» или энергии.

 Понятия силы, энергиии импульса с Галилея мало различали до их связи с разными величинами в 19 веке.По Гельмгольцу (1847), «в законе сохранения живой силы, количество работы,которое получается или затрачивается…равноmgh. Чтобы подняться свободно на высотуh, тело должно обладать начальнойскоростьюv=√2gh, эту же скорость телополучает при обратном падении на землю. Т.о., ½mv²=mgh…- может быть мерой величины работы”.Здесь формула кинетической энергии получается из закона падения Галилея:телополучает скоростьv=at=gtпри высотеh=v_срt=v_срv/g=v²/2g,поэтому работаA=Fs=mgh=mv²/2.Теорема об изменениикинетической энергиидает более общий вывод для ускорения не толькосвободного падения, любых сил и работы.

Кинетической энергией называют величину, равную работе при достижении телом данной скорости или для остановкиего, равную половине произведения массы тела на квадрат его скорости, Е_к=½mv².

Как и работа, кинетическая энергия является скалярнойвеличиной, но не зависит от направления движения, определяясь квадратомскорости. Как и скорость тела, она зависит от выбора системы отсчета,относительна.

 Видно, что увеличениескорости в 2 раза увеличит его кинетическую энергию в 4 раза, в 10 – в100. На опыте можно определить работуперемещения тела, например, на столе при ударе катящимся по наклонной шаром. Перемещениебудет расти с массой шара линейно (~m) и со скоростью, нелинейно, по параболе (~v²).

 

*В истории механики долго спорили о сохранении количества движенияmvДекарта или “живойсилы”mv²Лейбница, позже связанной с кинетической энергией (12.5). Из сохранения иимпульса и энергии следует распределение их и скорости тел при взаимодействииили ударе. Действительно, если изменение импульса обоих равно, то большеизменить скорость и потому энергию должно менее тяжелое тело. Поэтому большаячасть энергии передается более легкому – пуле, снаряду. Изm₁v₁=m₂v₂,E_k1/E_k2=m₁v₁²/m₂v₂²=m₂/m₁,при массе 1 г и 1 кг 99.9% энергии передаетсяпуле и только 0.1% - ружью, отдаче.

 

Величинакинетической энергии, как и скорости, относительна. Тело в машине обладает ейотносительно окружения, а не машины.Поэтому столкновение двигающихсянавстречу машин гораздо тяжелее, чем при ударе сзади. Неподвижные относительноЗемли, мы обладаем кинетической энергией относительно космических тел, Солнца ипланет, как и она.

 Кинетической энергиейобладают все движущиеся тела – брошенный камень или мяч, машина и ветер, ее жемы используем при ударе, запасаем, приводя тела в движение, например, вмаховике. Но обычно энергия запасается в форме потенциальной, в неподвижныхтелах.

18) Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы^[1]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

19) Зако́н сохране́ния эне́ргии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов физики от момента времени, в который рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

В различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулировался независимо, в связи с чем были введены различные виды энергии. Говорят, что возможен переход энергии одного типа в другой, но полная энергия системы, равная сумме отдельных видов энергий, сохраняется. Ввиду условности деления энергии на различные виды, такое деление не всегда может быть произведено однозначно.

Для каждого вида энергии закон сохранения может иметь свою, отличающуюся от универсальной, формулировку. Например, в классической механике был сформулирован закон сохранения механической энергии, в термодинамике — первое начало термодинамики, а в электродинамике — теорема Пойнтинга.

С математической точки зрения закон сохранения энергии эквивалентен утверждению, что система дифференциальных уравнений, описывающая динамику данной физической системы, обладаетпервым интегралом движения, связанным с симметричностью уравнений относительно сдвига во времени.

20)  Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:

,

(6.4.1)

       Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью , то линейная скорость i-й точки , R_i – расстояние до оси вращения. Следовательно,

,

(6.4.2)

       Сопоставив (6.4.1) и (6.4.2), можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.         В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью  v_c  и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела

,

(6.4.3)

       Здесь I_c – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

21) Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньюто́на (Зако́н всео́бщего тяготе́ния Ньюто́на) — закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном в 1666 году. Он гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы  и , разделёнными расстоянием , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — то есть:

Здесь — гравитационная постоянная, равная  м³/(кг с²).