Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичні рекомендації. Обчислення ефемериди незбуреного руху ШСЗ

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
28.06.2022
Размер:
814 Кб
Скачать

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ "ЛЬВIВСЬКА ПОЛIТЕХНIКА"

ОБЧИСЛЕННЯ ЕФЕМЕРИДИ СУПУТНИКА

(НА ОСНОВІ НЕЗБУРЕНОГО РУХУ ШСЗ)

МЕТОДИЧНI ВКАЗIВКИ

до лабораторної роботи з курсу “Супутникова геодезія” для студентів базових напрямів „Геодезія, картографія та землевпорядкування” і „Фотограмметрія”

Затверджено на засіданні кафедри вищої геодезії та астрономії, протокол № 6-02/03 від 15.01.2003 р.

Львів 2003

Обчислення ефемериди супутника (на основі незбуреного руху ШСЗ): Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Супутникова геодезія” для студентів базових напрямів: „Геодезія, землевпорядкування та кадастр” і „Фотограмметрія” інституту геодезії та геоінформатики /Автори: Дульцев А.Т., Цюпак I.М., Янків-Вітковська Л.М.- Львів: Національного університету “Львівська політехніка”, 2003.- 12 с.

Автори

Дульцев А.Т., канд.техн.наук, доц.

 

Цюпак І.М., канд.техн.наук, доц.

 

Янків-Вітковська Л.М., канд.фіз.-матем.наук, доц.

Відповідальний за випуск Заблоцький Ф.Д., д-р техн.наук, доц.

Рецензенти

Двуліт П.Д., д-р техн.наук, проф.

 

Костецька Я.М., д-р техн.наук, проф.

Мета роботи: Ознайомити студентів з теоретичними основами розрахунку ефемериди штучного супутника Землі (ШСЗ) з використанням для обчислення його положень теорії незбуреного руху та навчити студентів виконувати обчислення ефемериди супутника.

Лабораторна робота виконується індивідуально за вихідними даними свого варіанту завдання, виданого викладачем. До роботи необхідно зробити рисунки, записати робочі формули, результати обчислень навести у таблицях.

1. Теоретичні відомості

Ефемеридою ШСЗ називають або елементи орбіти супутника на певний момент часу, за допомогою яких можна спрогнозувати положення ШСЗ на моменти спостережень, або самі координати (координати і складові вектора швидкості супутника на осі координат) на певні моменти часу, які використовуються для пошуку і стеження за ШСЗ під час спостережень, або для визначення координат пункту за спостереженнями ШСЗ, як наприклад, в способі GPS (Global Positioning System – Глобальна система визначення місцеположення). Для обчислення ефемериди ШСЗ необхідно знати закони його руху, знати сили, які визначають його рух у просторі. Відомо, що рух ШСЗ в навколоземному просторі визначається наступними факторами: гравітаційним притяганням Землі, Місяця, Сонця і інших планет Сонячної системи, місячно-сонячними припливами, атмосферним гальмуванням (для супутників, висота орбіти яких над поверхнею Землі до 1500–2000 км), тиском сонячного світла, дією магнітного поля Землі і ін. Вплив гравітаційного притягання Землі (геопотенціалу) є визначальним, тому при розгляді задач про рух ШСЗ в першому наближені обмежуються спрощеною моделлю його руху, в якій приймається, що Земля має сферичну форму (середній радіус R = 6371,1 км і

гравітаційний параметр = 398600,5 км3 с2 ) з рівномірним розподілом мас в середині. В цьому випадку геопотенціал співпадає з полем притягання матеріальної точки, маса якої дорівнює масі Землі.

При таких умовах рух ШСЗ відбувається за законами Кеплера і цей рух прийнято називати незбуреним або кеплерівським. Незбурена орбіта супутника — плоска крива другого порядку (коло, еліпс, парабола, гіпербола), в одному із фокусів якої знаходиться центральне тіло, навколо якого рухається супутник (перший закон Кеплера).

При незбуреному русі секторальна швидкість ШСЗ є величина стала (ІІ-ий закон Кеплера).

В еліптичному незбуреному русі відношення квадрата періоду Т обертання супутника по орбіті до куба її великої півосі а є величина стала для даної планети (ІІІ-ій закон Кеплера), а саме:

T 2

 

4

2

const .

a3

 

 

 

 

 

Положення орбіти в просторі і самого супутника на орбіті визначаються елементами орбіти: a - велика піввісь орбіти, e - ексцентриситет орбіти, Ω - довгота висхідного вузла орбіти, i - кут нахилу орбіти, ω - аргумент перицентру, - момент проходження через перицентр (рис. 1). При незбуреному русі ці шість елементів орбіти є незмінними. Для обчислення положення супутника на орбіті треба задатися моментом часу, на який можна розрахувати його положення за допомогою кутових величин, які мають назву аномалій:

середньої M, ексцентричної E та істинної v. Всі ці кутові величини вимірюються від напрямку на перигей (найближча точка орбіти до фокуса еліпса, де знаходиться центр мас Землі).

 

 

 

 

 

A

 

v

П

x J2000.0

 

Рис. 1. Елементи орбіти

Геометричний зміст середньої M, ексцентричної E та істинної аномалій v зображено на рис. 2.

m

m

m

b

A A

a

 

O OE

M v

П

FF

 

Рис. 2. Зв’язок динамічних елементів ШСЗ в еліптичному русі

Отримавши істинну аномалію супутника на певний момент часу, тобто відомо його положення на орбіті, можна обчислити його параметри орбіти у прямокутній системі координат (інерціальній). В цій системі параметрами орбіти є координати x, y, z і складові вектора швидкості x , y , z супутника у цей момент.

Спостереження супутника здійснюється з пункту на поверхні Землі, координати якого відомі у земній (грінвіцькій) системі. Нагадаємо, що осі інерціальної системи координат зафіксовані у просторі на певну фундаментальну епоху, наприклад, J2000.0 точкою весняного рівнодення і земним екватором, і не обертаються, а осі земної (грінвіцької) системи координат (рис. 3) скріплені з тілом Землі і приймають участь в добовому обертанні, при цьому вісь OZ направлена у точку середнього полюса. Тому отримані вище координати ШСЗ, віднесені до певного моменту часу, треба переобчислити з інерціальної у земну (грінвицьку) систему координат. Для такого переходу необхідно врахувати:

рух середньої осі обертання Землі разом з її тілом у просторі (прецесію і нутацію);

добове обертання Землі, що визначається зоряним часом S, відносно осей інерціальної системи координат;

рух полюса Землі, відносно його середнього положення.

Перетворивши координати ШСЗ у земну систему координат, обчислюють його координати відносно точки спостереження, тобто його топоцентричні координати. Але, крім цього, прилад для спостережень орієнтується, як правило, у горизонтальній системі координат, тому топоцентричні екваторіальні координати ШСЗ переобчислюють у горизонтальну систему координат (рис. 3). За обчисленими величинами азимута A і зенітної відстані z (або кута висоти над горизонтом h) на певний момент часу t можна навести відповідно орієнтований прилад на супутник (рис. 4) і виконувати супутникові виміри.

Z

u

 

n

 

L

e

M

 

O B

Y

X

Рис. 3. Зв’язок екваторіальної і горизонтальної систем координат

На рис. 3 позначено через OXYZ – геоцентричну земну (грінвіцьку) систему координат, B і L – відповідно геодезичні широта і довгота пункту М, горизонтальна прямокутна система координат позначена, як Mneu, де вісь Мn направлена по дотичній до меридіана пункту на Північ, Мe направлена на Схід, а вісь Mu направлена по нормалі в геодезичний зеніт пункту.

z

 

PN

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

A

h

N

 

S

 

 

 

 

 

W

PS

z

Рис. 4. Горизонтальна система координат

На рис. 4 зображено небесну сферу і небесний меридіан zSPSz NPN, площина математичного горизонту NESW, вертикал світила, або ШСЗ – дуга великого кола z z , точка z

– зеніт, точка z - надир, лінія, що з’єднує ці точки називається вертикальною лінією. Точки PN і

PS – відповідно північний і південний полюси Світу, лінія, що з’єднує ці точки називається віссю Світу. Точки N i S – відповідно точки Півночі і Півдня, лінія, що з’єднує ці точки називається Полуденною лінією, E і W – точки Сходу і Заходу, відповідно. В горизонтальній системі координат основною площиною є площина математичного горизонту NESW, а відліковими точками – точки зеніту z і Півдня S. Положення точки на небесній сфері визначається двома координатами: зенітною відстанню z (дуга вертикалу z ) і астрономічним азимутом Aа, який вимірюється дугою математичного горизонту від точки Півдня S до вертикалу світила за годинниковою стрілкою. На рис. 4 показано геодезичний азимут А від точки Півночі за годинниковою стрілкою до вертикала світила . Зазначимо, що азимут вимірюється в межах від 0 до 360 , а зенітна відстань дугою вертикала від точки зеніту z до світила від 0 до 180 . Зенітну відстань z можна замінити висотою h світила над горизонтом, яка відраховується від площини математичного горизонту по вертикалу до світила в межах від 0 до 90 . Таким чином, зв’язок між зенітною відстанню z і висотою h світила виражається формулою

zh 90 .

2.Зміст роботи

Вихідними даними для обчислення ефемериди є:

-елементи початкової орбіти на момент t0: a0, e0, 0, i0, 0, 0;

-моменти спостережень t1, t2 і зоряний час S0 на початок доби спостережень;

-гравітаційний параметр моделі сферичної Землі з рівномірним розподілом мас у

середині = 398600.5 км32;

- геодезичні координати B, L, H пункту спостереження відносно загальноземного (геоцентричного) еліпсоїда з параметрами:

aе = 6378.137 км;

e2 =6.69437999 10-3

Для обчислення ефемериди ШСЗ необхідно визначити положення супутника на задані моменти часу, що в даній задачі виконується на основі незбуреного руху. Обчислення складаються з наступних етапів.

1.Обчислення середнього руху n і фокального параметра p

n

0

 

1

 

0

,

(1)

a03

a0

 

a0

 

 

 

 

 

p a0 1 e02 .

 

(2)

Середній рух n – це середня кутова швидкість руху супутника по колу радіусом великої півосі орбіти а. Одиниці вимірювання середнього руху – радіан за секунду (рад./с).

2. Обчислення істинної аномалії vi та аргументу широти ui ШСЗ

Параметр середній рух n дозволяє визначити кутове положення уявної точки, яка рухається по коловій орбіті (радіуса а0) з середньою швидкістю відносно перигею (рис. 2), якщо відомо момент ti, на який треба обчислити положення супутника відносно початкового моменту t0, що співпадає з моментом проходження ШСЗ через перигей 0. Тобто обчислимо кут між напрямками на перигей і на уявну точку на, зазначеному вище, колі. Цей кут називається

середньою аномалією M і визначається в радіанах, якщо різницю моментів ti i 0 виразити у секундах часу, маємо

Mi n ti 0 ;

i 1, 2 .

(3)

Обчислення за формулою (3) виконується легко, якщо моменти ti і 0 виразити в долях години, а їх різницю помножити на 3600 і на значення середнього руху n. Якщо обчислення виконуються за допомогою калькулятора, то не скидаючи, отриманого значення середньої аномалії Мі, заносимо її у пам’ять калькулятора, переключаємо калькулятор на обчислення тригонометричних функцій від кутів, виражених у радіанах, і визначаємо ексцентричну аномалію Еі з рівняння Кеплера

Ei n M i e0 sin Ei n 1 .

(4)

Тут зазначимо, що рівняння Кеплера розв’язується послідовними наближеннями. Для початкового наближення при невеликих значеннях ексцентриситету ( e0 0,3 ) можна

прийняти, що

Ei n 1 M i .

Далі обчислення виконуємо за формулою (4) доти, поки виконається умова

Ei(n) Ei(n 1) 1 10 8 .

Якщо перехід від кута М на уявну точку, обчислюваного з кінематичних міркувань, до кута Е на уявну точку, утвореного з геометричної побудови, здійснюється наближеннями, то перехід від ексцентричної аномалії Еі до істинної v виконується за допомогою строгого співвідношення

 

 

 

 

 

 

E n

 

 

1 e

0

 

 

 

v 2 arctg

 

 

tg

i

.

(5)

1 e

 

2

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

При обчисленні на калькуляторі отримане останнє наближення ексцентричної аномалії поділити Ei( n) на 2, обчислити тангенс від кута в радіанах і помножити на обчислену величину

квадратного кореня, що стоїть перед тангенсом. Перед обчисленням арктангенса необхідно переключити калькулятор на обчислення кутів у градусах, тобто встановити „Deg”. Якщо арктангенс отримано в радіанах, то результат треба помножити на 180 і поділити на . Тепер знайдемо аргумент широти ui для кожного положення ШСЗ

ui 0 vi .

(6)

Тут елемент орбіти 0 – аргумент перигею заданий у вихідних даних.

3. Обчислення координат ШСЗ і складових його вектора швидкості в інерціальній системі Параметри орбіти в прямокутній системі координат легко обчислюються за елементами орбіти, якщо відомий радіус-вектор супутника ri, його напрямні косинуси xi, yi, zi і часткові

похідні напрямних косинусів по аргументу широти xi , yi , zi , а саме:

ri

 

 

p

,

(7)

 

 

 

e0 cos vi

 

1

 

 

xi cos ui cos Ω0

sin ui sin Ω0 cos i0

yi cos ui sin Ω0

sin ui cos Ω0 cos i0

,

zi sin ui sin i0

 

 

 

 

 

 

xi

sin u

 

cos Ω

 

cos u

 

sin Ω

 

cos i

 

 

 

 

i

0

i

0

0

 

xi

 

ui

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

sin ui sin Ω0

cos ui

cos Ω0 cos i0

.

ui

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zi

 

zi

cos ui sin i0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тепер обчислимо координати і складові вектора швидкості ШСЗ за формулами:

xi

 

 

xi

 

 

y

 

r

 

 

 

,

 

i

 

yi

 

i

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

zi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

sin v

 

 

 

 

1 e

 

cos v

 

 

 

 

.

 

y

i

 

e

0

i

 

yi

0

i

 

yi

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zi

 

 

 

 

 

 

zi

 

(8)

(9)

(10)

(11)

4. Обчислення координат ШСЗ в земній системі Для спрощення обчислень в даній роботі робиться припущення, що небесний і земний

екватори на моменти спостережень співпадають. Таким чином, при перетворенні координат супутника з інерціальної системи координат в земну (грінвіцьку) необхідно враховувати тільки добове обертання Землі відносно інерціальної системи, яке характеризується зоряним часом Si на моменти спостережень ti

~

ti

h

Si S0 1

.

Тут зоряний час S0 на початок доби заданий у вихідних даних, ~

(12)

= 0.0027379 – коефіцієнт

переобчислення одиниць середнього сонячного часу UT1 (шкала Всесвітнього часу, приведеного до середньої осі обертання Землі) до одиниць середнього зоряного часу, величина

ti h – означає момент спостереження, виражений в годинах. Зоряний час, обчислений за

формулою (12), необхідно перевести з годинної міри в градусну. Для цього його треба помножити на 15, а тоді обчислити синус і косинус зоряного часу і переобчислити координати супутника в земну (грінвіцьку) систему координат

xiyizi

( з)

( з)

( з)

 

cos Si

 

sin Si

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

sin Si

0

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

cos Si

0

yi

,

(13)

0

1

z

 

 

 

 

 

 

i

 

 

де xi ( з) , yi ( з) , zi ( з) – координати ШСЗ в земній (грінвіцькій) системі.

5.Обчислення просторових прямокутних координат пункту

У вихідних даних положення пункту задане геодезичними координатами B, L, H відносно геоцентричного загальноземного еліпсоїда, а для подальших перетворень координат ШСЗ координати пункту необхідні у системі прямокутних просторових координат X, Y, Z, які обчислимо за наступними формулами:

 

ae

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

;

W (1 e

2

sin

2

B ,

(14)

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (N H ) cos B cos L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15)

 

Y (N H ) cos B sin L .

 

 

 

 

 

 

2

) H ]sin B

 

 

 

 

 

Z [N (1 e

 

 

 

 

Тут N – радіус кривини першого вертикалу, е2 – квадрат першого ексцентриситету еліпсоїда. 6. Обчислення топоцентричних координат супутника

Тепер приведемо координати супутника відносно пункту спостереження, тобто у топоцентричну систему координат

xi

 

 

xi ( з)

 

y

 

 

 

y

( з)

 

 

 

i

i

 

 

z

 

 

z

( з)

 

i

 

 

 

i

де xi , yi , zi – топоцентричні координати ШСЗ.

 

X

 

 

 

Y

 

,

(16)

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Обчислення координат супутника в горизонтальній системі Топоцентричні координати ШСЗ перетворюються в горизонтальну систему за допомогою

матриці обертання, елементи якої обчислюються за геодезичними координатами B i L, а саме:

ni

sin B cos L

 

 

 

 

ei

 

sin L

u

 

 

cos B cos L

 

i

 

 

sin B sin L

cos B

xi

 

 

cos L

0

 

y

,

(17)

 

 

 

i

 

 

cos B sin L

sin B

z

 

 

 

 

 

i

 

 

де ni, ei, ui – прямокутні горизонтальні координати ШСЗ (рис. 3). 8. Обчислення сферичних горизонтальних координат ШСЗ

Від прямокутних координат ШСЗ в горизонтальній системі легко перейти до сферичних, тобто обчислимо азимут Аі, висоту hi над горизонтом, або зенітну відстань zi, і топоцентричний радіус-вектор ri

 

 

 

 

 

 

e

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

(18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ai arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui

 

 

 

 

 

 

 

h arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

n2

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

z

i

90 h

,

 

 

 

 

 

(20)

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

n2

e2

u

2

 

.

 

(21)

i

 

 

i

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

3. Приклад оформлення завдання Застереження: кожний пункт, наведеного нижче, завдання виконано за іншими

вихідними даними. Тому його не можна застосувати для відлагоджування комп’ютерної програми.

1. Вихiднi данi:

 

a0

 

 

15951.3 km

 

e0

 

 

0.1432

 

i0

 

 

62 43 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

135 27 14

 

0

 

97 12 38

 

0

 

 

9h04m42s

 

t1

 

 

10h32m34s

 

t2

 

11h04m23s

 

So

 

 

5h24m51s

 

B

 

 

58 18 12.41

 

L

 

46 47 06.22

 

H

 

 

2.6311 км

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

398600.5 км3/c2

 

aе

 

6378.245 км

 

e2

 

6.693422 10-3

2. Обчислення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1. Середнього руху ШСЗ і фокального параметра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 3.133821 10-4 рад./c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p = 15624.2125 км

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Прогнозування незбуреного руху ШСЗ на два моменти часу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (рад.)

 

 

1.652151

 

 

2.250397

 

 

 

 

 

 

E(o) (рад.)

 

 

1.652151

 

 

2.250397

 

 

 

 

 

 

E(1) (рад.)

 

 

1.794877

 

 

2.361781

 

 

 

 

 

 

E(2) (рад.)

 

 

1.791770

 

 

2.351087

 

 

 

 

 

 

E(3) (рад.)

 

 

1.791869

 

 

2.352171

 

 

 

 

 

 

E(4) (рад.)

 

 

1.791865

 

 

2.352061

 

 

 

 

 

 

E(5) (рад.)

 

 

-

 

 

2.352072

 

 

 

 

 

 

E(6) (рад.)

 

 

-

 

 

2.352071

 

 

 

 

 

 

E (рад.)

 

 

1.791866

 

 

2.352071

 

 

 

 

 

 

v

 

 

110 34 31

 

140 19 57

 

 

 

 

 

 

u

 

 

207 47 09

 

237 32 35

 

 

 

 

 

 

r (км)

 

 

16452.1835

 

17559.8339

 

 

 

 

 

 

xs (км)

 

 

12838.8940

 

11479.5661

 

 

 

 

 

 

ys (км)

 

 

-7705.2215

 

-1771.1129

 

 

 

 

 

 

zs (км)

 

 

-6816.6492

 

-13169.3010

 

 

 

 

 

 

rконтроль

 

 

16452.1835

 

17559.8339

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Обчислення координат пункту

 

 

 

N (км)

 

6394.0871

 

 

 

 

X (км)

 

2194.1393

 

 

 

 

Y (км)

 

2418.5309

 

 

 

 

Z (км)

 

5463.6937

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Обчислення координат ШСЗ в земній системі координат

 

 

 

 

 

 

S

 

16h02m09.40s

16h37m04.12s

 

x (км)

 

 

175.0862

-2458.4646

 

y (км)

 

 

15232.5930

11169.1093

 

z (км)

 

 

-6691.3154

-13894.0676