координат. Для цього достатньо дослідити формулу (5.30). Продиференціювавши дану формулу за координатами x і y , знаходимо
|
|
|
d |
x |
|
dym |
ym |
d x . |
|
||||
|
|
|
2R 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2R 2 |
|
||||||
|
Позначивши dym d x dp , отримаємо |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dp" |
|
|
2R 2 |
|
d " |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
ym x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|||||
Нехай: |
|
d 0.01"; ym 240 км (на краю |
|
||||||||||
|
для тріангуляції |
2-го класу |
шестиградусної зони); |
||||||||||
|
x 15км, тоді |
dp 10 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для тріангуляції 3-го класу d 01."; ym 240 км; x 10км, тоді |
dp 100 м. |
|||||||||||
|
Стосовно опрацювання кутомірних вимірювань нижчих класів (розрядів), то |
||||||||||||
поправки за кривину (в межах |
шестиградусних зон) можна обчислювати за наближеною |
||||||||||||
формулою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"12 "21 0,00253 xкм ym, км ,
анаближені координати пунктів можна вибрати із карти або схеми геодезичної мережі. Нижче наводиться таблиця абсолютних величин поправок (редукцій) за кривину
зображення геодезичної лінії для різних значень ym та x
Таблиця 5.1
ym , км |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
|
|||||
x ,км |
|
|
|
|
|
5 |
0.6” |
1.2” |
1.9” |
2.5” |
3.2” |
10 |
1.3” |
2.5” |
3.8” |
5.1” |
6.4” |
20 |
2.5” |
5.0” |
7.7” |
10.1” |
12.6” |
Як видно із таблиці 5.1, в знімальних мережах ( x 5км) поправками за кривину, через їх незначні величини, в порівнянні з похибками вимірювання кутів, можна нехтувати.
Перед виводом формул для редукцій відстаней розглянемо спочатку питання про різницю в довжинах зображення дуги геодезичної лінії на площині S та хорди d , шо стягує цю дугу.
q2
d S
q1
Рис.5.6
Нехай на рис.4.6 q1q2 - зображення дуги геодезичної лінії на площині; d - її хорда; - кут між хордою і початковим елементом дуги q1q2 . Тоді можемо записати
q2
d cos dS.
q1
Згідно таблиці 4.1, значення кута 15" при стандартних довжинах сторін геодезичних мереж. Тому для малих кутів можемо записати
cos 1 |
"2 |
1 3 10 9 . |
|
2 "2 |
|||
132 |
|
Отже, з похибкою на величину 3 10 9 |
можна прийняти, що cos 1 , тоді |
d S. |
|
Із (5.12) |
можемо записати інтеграл |
|
|
|
s |
|
|
|
d mds, |
|
(5.33) |
|
0 |
|
|
де масштаб m визначається формулою (5.29). |
|
|
|
Знайти |
інтеграл (5.33) в замкнутій формі надзвичайно трудно, оскільки масштаб |
||
зображення є досить складною функцією довжини геодезичної лінії. Проте такі фактори як порівняно невелика довжина геодезичної лінії (<30 км) і незначне віддалення від осьового меридіану ( l 3o ) спрощують задачу знаходження інтегралу (5.33), і її розв’язання можна буде шукати наближеними методами.
Одним із наближених методів обчислення вказаних означених інтегралів є чисельний метод. Конкретно для даного випадку можна застосувати формулу Сімпсона, розділивши інтервал інтегрування на дві частини. Тоді інтеграл (5.33) може бути представлений
наступним наближенням |
|
|
|
|
|
d |
s |
(m 4m |
m ), |
(5.34) |
|
|
|||||
6 |
1 |
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
де |
|
|
|
|
|
m |
1 |
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
4 |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
2R 2 |
|
|
|
|
24R |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
mm |
|
|
|
y |
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
4 |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
, |
(5.35) |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
24Rm |
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
2Rm |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
m2 |
1 |
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
4 |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
2R2 |
2 |
|
24R2 |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Якщо обчислення проводяться з геодезичними координатами, то для масштабів зображення можна використати формулу (5.27)
При довжинах ліній, що не перевищують 30 км, у всіх трьох виразах для масштабу зображення радіус кривини R можна обчислювати тільки для середньої точки, а в членах четвертого порядку прийняти y14 y2 4 ym 4 .
Для ординат можемо записати такі очевидні співвідношення
2y |
m |
y y |
2 |
, |
|
|
|
|
|
4y |
2 |
y 2 |
2y y |
2 |
y |
|
2 |
, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
y y |
m |
|
y |
, |
|
y |
|
y |
m |
|
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
2 |
y |
|
2 |
y |
|
y |
( y)2 |
|
|
|
y |
2 |
y |
|
2 |
y |
|
|
y |
|
( y)2 |
||||||||||||
|
|
m |
m |
|
|
|
, |
|
|
|
2 |
|
m |
|
m |
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y1 y2 ym 2 ( y)2 . 4
133
Підставивши в |
рівняння (5.34) вирази для масштабів (5.35) та використавши |
|||||||||||
приведені вище співвідношення, отримаємо остаточну формулу |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
( y) |
2 |
4 |
|
|
|
|||
d s 1 |
ym |
|
|
|
ym |
|
|
. |
(5.36) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2R |
2 |
|
24R |
|
2 |
|
24R |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||||||
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
||
Із отриманої формули видно, що лінія на площині в проекції Гаусса-Крюгера завжди довша від ліній, що зображуються з еліпсоїда. Третій і четвертий члени формули (5.36) при ym 320 км (максимально можливі значення на краю шестиградусної зони) і s 20 км складають 6 і 8 мм відповідно, тому в роботах, де не вимагається висока точність або коли розміри зони є меншими (l 30 ), можна користуватися формулою
d s s |
y |
2 |
|
|
|
|
m |
. |
|
(5.36’) |
|
2R2 |
|
||||
|
|
|
в (5.36) ординату ym середньої |
||
Підрахуємо тепер, з якою похибкою допустимо знати |
|||||
точки редукованої лінії. |
|
|
|
|
|
При похибці в ym , рівній ym , отримаємо в d |
похибку d , згідно (5.36’), рівну |
||||
d s ym2 ym , 2R
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
ym |
|
2R2 |
d . |
|
|
ym s |
|||
|
|
|
|
|
|
Якщо |
поставити |
вимогу, щоб d |
|
не |
перевищувало 0.001 м, то, приймаючи |
R 6400 км, |
ym 330 км |
і s 20 км, отримаємо, |
що ym 12 м. |
||
134
5.6.Практика застосування проекції Гаусса-Крюгера.
Областю зображення або |
областю розповсюдження системи плоских прямокутних |
координат є к о о р д и н а т н а |
з о н а, обмежена двома меридіанами, з різницею довгот в |
2l 0 , переважно в 6о - шестиградусна зона. Номерація зон, а відповідно і довгота осьового меридіана, пов’язана з прийнятою номенклатурою карт. Кожна шестиградусна зона відповідає одній колоні листів карти масштабу 1:1 000 000 і, якщо N є номером колони, то номер шестиградусної зони n визначається за формулою n N 30.
Осьовий меридіан шестиградусної зони проекції Гаусса-Крюгера збігається із середнім меридіаном відповідної колони карти масштабу 1:1 000 000. Звідси виходить, що довгота осьового меридіана може бути знайдена за формулою Lo 6n 3o . Довгота
межового меридіана шестиградусної зони відносно осьового рівна l 3o .
В топографічних роботах крупного масштабу застосовуються триградусні зони, а в спеціальних роботах можуть і ще вужчі, але при цьому координати опорних пунктів даються і в шестиградусній зоні.
Прямолінійне зображення осьового меридіана і екватора, які приймаються за осі декартових координат, дозволяють створити в кожній координатній зоні самостійну систему плоских координат, яка використовується у всіх видах геодезичних і топографічних робіт, що виконуються в межах однієї зони.
Системи координат в кожній зоні проекції Гаусса-Крюгера абсолютно ідентичні: плоскі координати x і y, обчислені за геодезичними координатами B, l в будь-якій координатній зоні, мають одні і ті ж значення.
Для однотипного способу аналітично виражати положення будь-якої точки земної поверхні Баумгардт (1919) вніс пропозиції:
оптимальним вважати поділ на триградусні зони;
виключити з вжитку від’ємні ординати шляхом додавання до них 500 000 м;
за осьові меридіани прийняти меридіани 3, 6, 9, 12о, … східної довготи, відносячи їх до Грінвіча, а перед ординатою вказувати відповідні їм номери
Таблиця 5.2
Lo |
0о |
3о |
6о |
9о |
12о |
15о |
… |
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
Врезультаті цих пропозицій, отримана вище вказаним чином ордината називається
ум о в н о ю о р д и н а т о ю. Наприклад, Y=7 490891,297 означає, що точка з цією ординатою розташована в 7 зоні, її істинна ордината рівна y=-9108,703, а довгота осьового
меридіана Lo 7 3 210 .
Пропозиції Баумгарта були прийняті багатьма державами.
В Україні на даний час за осьові прийняті меридіани 3, 9, 15, 21о, … східної довготи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
н |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Київ |
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||
|
|
|
|
і |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
6 |
|
7 |
|
8 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
||||||
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
27 |
33 |
|
39 |
5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
м |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
|
й |
6 |
0 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
E |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
4 |
||||||||
|
1 |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
8 |
24 |
|
30 |
|
36 |
42 |
48 |
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5.7 |
|||||||||||||||||
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |