Тема 5

Тема 5. Методи моделювання поверхонь (ЦМР)

1. Регулярні і нерегулярні ЦМР.

2. Математична інтерполяція. Просторова інтерполяція у ГІС.

3. Класифікація методів моделювання поверхонь на основі функцій інтерполяції.

4. Приклади методів інтерполяції рельєфу.

5. Точність побудови ЦМР

Цифрова модель рельєфу – це впорядкований набір висот точок земної поверхні у цифровому вигляді в сукупності з інтерполяційним алгоритмом, який дає можливість обчислити висоту будь-якої точки об’єкта з достатньою точністю.

Цифрова модель рельєфу – це цифрове і математичне зображення рельєфу місцевості на основі дискретної сукупності вихідних точок, які дають змогу із заданою точністю відтворити реальну поверхню та її структуру.

Точки ЦМР розташовують у вигляді сітки регулярної (GRID) або нерегулярної (TIN).

Нерегулярна сітка найчастіше подається у вигляді сукупності трикутників, вершини яких поміщаються в характерних точках місцевості, і на цих пунктах проводяться виміри висот. У такій сітці збережена топологія рельєфу.

Регулярна сітка точок представлена у вигляді квадратів, прямокутників або трикутників.

Регулярна сітка, як правило, є похідною від сукупності вимірів у характерних точках рельєфу та отримується шляхом інтерполяції.

Інтерполяція у математиці — спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретним набором відомих значень.

Багатьом із тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом чи методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, зі значеннями якої могли б з високою точністю збігатися інші отримувані значення. Така задача називається апроксимацією кривої. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних.

Використання відомих значень деякої величини у визначених точках для оцінки невідомих значень у невідомих точках, називається просторовою інтерполяцією.

У ГІС часто за допомогою просторової інтерполяції складають карти або моделі розподілу деякої величини у просторі. Наприклад, карта розподілу температур для якоїсь країни. Немає достатньої кількості метеостанцій, рівномірно розташованих по території країни. А просторова інтерполяція допомагає оцінити температури на всій території, використовуючи дані, взяті з метеостанцій. Результат такої інтерполяції часто називають статистичною поверхнею. Також цифрові моделі рельєфу, карти опадів, накопичення снігу, карти щільності населення – ось деякі приклади результатів просторової інтерполяції.

Карта температур на 16 липня

З огляду на дороговизну робіт, обмеженість часу та ресурсів, збір даних виконується переважно для обмеженої кількості точок. У ГІС просторова інтерполяція дозволяє побудувати растрове зображення, значення пікселів якого є новими оціночними значеннями, одержаних на основі вхідних даних.

Основні методи моделювання поверхонь є різними за математичним змістом і утворюють дві групи:

I. передбачає для моделювання рельєфу використовувати аналітичні функції,

II. ґрунтується на застосуванні таких функцій, що враховують статистичні характеристики рельєфу.

До першої групи (аналітичні функції) належать методи, побудовані на застосуванні: степеневих поліномів; ортогональних поліномів; сплайнів; радіальних базисних функцій; тріангуляції; скінченних елементів; R-функцій; рядів Фур'є.

До другої групи (статистичні характеристики) зараховують методи: середнього вагового; вагових функцій; випадкових функцій; колокації; Крайгінга.

Такий підхід до розв'язання питань моделювання рельєфу є дещо спрощеним, бо найкращі результати моделювання отримують на основі комбінування двох підходів: вилучають систематичну складову за допомогою аналітичних функцій, а додаткові поправки у висоти точок визначають на підставі статистичного аналізу поля.

Водночас глибший аналіз спеціальної літератури, що стосується методів інтерполяції та апроксимації функцій, що широко використовуються в інших галузях науки і техніки, приводить до висновку, що всі вони мають спільну математичну основу. Їхню спільність визначає критерій мінімізації середньоквадратичних помилок відновлення функцій

,

де f(x) - реалізація функцій; f ’(x) - оцінка функції після перетворення. Однак між ними існують і відмінності, які стосуються переважно практичної реалізації, зокрема знаходження функцій, які характеризують статистичні особливості поля.

Однак, враховуючи тенденції підбору математичних функцій для моделювання рельєфу, варто зауважити, що деякі з аналітичних функцій, зокрема радіальні базисні функції, використовуються для зміни коваріаційної функції у статистичних методах, тобто поділ на дві групи математичних методів для побудови ЦМР є умовним.

Лінійна інтерполяція — це інтерполяція функції f алгебраїчним двочленом P1(x) = kx + c у точках x0 та x1, які належать відрізку [a, b].

Для заданих двох червоних точок, синя лінія — лінійний інтерполянт між ними, і значення y в x можна знайти через лінійну інтерполяцію

Лінійна інтерполяція функції (сині прямі).

Інтерполяція із застосуванням багаточлена (Лагранжа) та

кубічна сплайнова інтерполяція

Сплайн-інтерполяція

У програмі SURFER для побудови та досліджень цифрових моделей рельєфу запропоновані такі методи інтерполяції:

Linear Interpolation –лінійна інтерполяція

Іnverse Distance to a Power (IDW) – обернені зважені відстані

Kriging

Minimum Curvature

Shepard`s Method – метод Шепарда

Nearest Neighbor – метод найближчих сусідів

Polynomial Regression –поліноміальна регресія

Radial Basis Function –радіальні базисні функції

Triangulation - тріангуляція

Kriging - метод геостатичного процесу інтерполяції, який включає два параметри: відстань й градус зміни між відомими точками. Між ними розраховується значення у вузлі поверхні в невідомому просторі. Графічні інструменти даної інтерполяції допомагають зрозуміти напрям зміни даних моделі (тобто північ-південь, схід-захід).

IDW – метод обернених зважених відстаней

Метод интерполяції IDW полягає в тому, що відбувається присвоєння ваг точкам таким чином, що вплив ваги точки зменшується із збільшенням відстані до невідомої точки, значення якої треба знайти. При цьому присвоюються коефіцієнти зважування по мірі наближення до точки, яка визначається.

Метод має недоліки і залежить від густоти розташування заданих точок.

TIN – нерегулярна тріангуляційна мережа

Інтерполяція методом TIN – ще один інструмент, популярний у ГІС. Алгоритм TIN називається тріангуляцією Делоне, яка повинна задовільняти певні умови. Недолік TIN – переривчастість характер схилів, горизонталі є ламаними, на краях ділянки – великі спотворення.

Точність побудови ЦМР

Аналіз колокаційної моделі вказує, що підвищення точності моделювання поверхні пов’язане:

1. з вибором розмірів локальних ділянок або радіуса пошуку, в межах якого буде здійснюватися моделювання, а також з вибором кількості та розташування вихідних точок;

2. з підбором аналітичної функції, якою здійснюють апроксимацію поверхні

Точність визначення висоти точки шляхом інтерполювання з ЦМР можна описати формулою проф. Акермана:

,

де m_A- середня квадратична похибка визначення висот точки з ЦМР,

m_B – середня квадратична похибка вимірів для створення ЦМР,

α- параметр, що описує тип рельєфу:

= 0.004-0.007 для рівнинної місцевості,

= 0.010-0.020 для горбистої місцевості,

= 0.022- 0.044 для сильно пересіченої (гірської) місцевості.

d- середня віддаль між точками, де проводяться виміри висот.

Для побудови ЦМР на цифровій станції за сканованими знімками з пікселем 15 мкм матимемо:

– для рівнинної та горбистої місцевості

• для гірської місцевості

Питання для самоконтролю

1. Просторова інтерполяція цифрових поверхонь.

2. Основні математичні методи моделювання поверхонь.

3. Лінійна інтерполяція цифрових поверхонь.

4. Особливості Kriging-інтерполяції.

5. Особливості TIN-інтерполяції.

6. Фактори, що впливають на точність побудови ЦМР.

7. Алгоритм побудови ЦМР у програмному середовищі SURFER.

8. Які ЦМР можливо створити у ПЗ і за допомогою яких команд?