Первая квадратичная форма поверхности.

Опр1: Квадратичная форма = наз первой квадратичной формой поверхности F₀ (или её линейным элементом). Таким образом, первая квадратичная форма поверхности имеет значение квадрата линейного элемента ds (дифференциала длины дуги s гладкой линии на этой поверхности при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии).Формула для вычисления длины дуги линии с концами M₁(t₁); M₂(t₂):

s=

1. написать ур-е плоскости, проходящей через т и перпендикулярной к прямой . Написать ур-ие пл-ти, содержащей т и прямую .

Решение.

, .

,

Построим плоскость , содержащую и т .

,

: .

Теперь построим плоскость, пох-ую ч-з и : плоскости = прямой

-уравнение искомой плоскости.

---------------------------------------------------------------

2.составить ур-ие пл-ти, касательной к сфере . В точке

Решение:

Подставим координаты т в ур-ие сферы:

сфере

:

3.

Найти ур-ие плоскости, проходящей ч-з прямую перпендикулярно к плоскости

Решение:

По уравнению прямой видно, что искомой плоскости

:

.

Составим определитель вида , где , ,

.- ур-ие искомой пл-ти.

Задача 4 определить тип поверхности

Решение:

Сгруппируем

Упростим и получим выражение вида

Рассмотрим общий вид уравнения эллипсоида

Где a,b,c- полуоси,(0,0,0)- центр.

Следовательно уравнение это уравнения эллипсоида со смещенным центром (2,-1,2)и полуосями .

---------------------------------------------------------------

5.парабола с параметром расположена на плоскости так, что директриса совпадает с осью . написать ур-ие поверхности, образованной вращением параболы вокруг оси

Решение:

Найдем ур-ие пов-ти вращения. В общем виде:

.

найдем из ур-ия линии , ,

Подставим в общее ур-ие

- искомое ур-ие пов-ти в общем виде.

Для :

Ответ: .

6.привести к каноническому виду ур-ие пов-ти .

Решение.

Сделаем замену: .

------------------------------------------------------------------------------------------------

7.являются ли непрерывными и гомеоморфными отображения:

А), где - единичная окружность, заданная по правилу :

Решение:

, ,

существует

Опред. Отображение наз непрер в , если для окрестности точки найдется окрестность :

По определ имеем ,.

Определение выполняется для точки отображение непрерывно.

Опред. Отображение наз гомеоморфным, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно

Очевидно, что - непрерыв.отображ, но и обратное отобр.

нет явл непрерыв, т.к.происходит разрыв в т окружности .

обратное отображение не явл непрерывным

не явл гомеоморфизмом.

Б), где - полуокружность единичной окружности , расположенная в полуплоскости , заданная по правилу:

Решение

: отображ непрер. Аналогично обратное отображение

также непрерывно

Ответ : это гомеоморфизм по определению.

8.Показать что интервал гомеоморферфен числовой прямой, полуинтервал гомеоморфен лучу, а интервал - открытому лучу.

Решение.

Рассмотрим функциюс, , .

График функции задает отображение , где -ось . отображение явл биективным (взаимно однозначным).

Докажем это. Действит-но, каждая т на оси соответствует 1 и только одной точке интервала.

Непрерывность очевидна из графика. По определению для окрестности для окрестность точки , такая , что .

отображение непрер для точки отображение непрер. Ч.т.д.

Аналогично обратное отображение также непрерывно. -гомеоморфизм ( - гомеоморфен). Сужение этого отображения на дает гомеоморфизм. - замкнутый луч (мн-во всех неотриц чисел). Сужение дает гомеоморфизм - открытый луч.