В.7. Производная функции комплексного переменного. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Условия Коши – Римана. Аналитическая функция.

Пусть в области комплексной плоскости z задана функция f(z). Если для точки существует при предел разностного отношения , то этот предел называется производной функции f(z) по комплексной переменной в точке и обозначается , т.е. (1)

Функция f(z) в этом случае называется дифференцируемой в точке .

Т.1. Если функция дифференцируема в точке , то в точке существуют частные производные функций и по переменным , причем имеют место следующие соотношения:

(2) – условие Коши – Римана.

Т.2. Если в точке функции и дифференцируемы, а их частные производные связаны соотношениями (2), то функция является дифференцируемой функцией комплексной переменной z в точке .

Если функция f(z) дифференцируема во всех точках некоторой области , а её производная непрерывна в этой области, то функция f(z) называется аналитической функцией в области .

Н. и Д. условием аналитичности функции в области является существование в этой области непрерывных частных производных функций и , связанные соотношениями Коши – Римана(2).

Соотношение (2) позволяют получить различные выражения для производной функции комплексной переменной

Пусть f(z) – аналитическая функция в некоторой области . Выберем любую точку и проведем через нее произвольную кривую . Функция f(z) производит отображение области комплексной плоскости z на некот. обл. комплексной плоскости .

Пусть точка переходит в точку , а кривая - в проходящую через кривую .

Существует производная функции в точке . Пусть и представим в комплексной форме: (3)

Выберем такой способ стремления к нулю, при котором точки лежит на кривой . Соответствующие им точки лежит на кривой . Комплексной числа и изображаются векторами секущих к кривым и соответственно. Заметим, что и имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей x и u, а и - длины этих векторов. При векторы секущихся переходят в векторы касательных к соответствующим кривым. Из (3): (4) т.е аргумент производной имеет геометрический смысл разности угла вектора касательной к кривой в точке с осью u и угла вектора касательной к кривой в точке с осью x.

Т.к. производная не зависит от способа предельного перехода, то эта разность будет той же и для любой другой кривой, проходящей через точку . Отсюда следует, что при отображении, осуществимом аналитической функцией , удовлетворяющей условием , угол между любыми кривыми и , пересекающимися в точке , равен углу между их образами (кривыми и ), пересекающимися в точке . При этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми и и их образами, но и направление углов. Это свойство называется свойство сохранения углов.

Из (3) получим (5)

Ге6ометрический смысл этого соотношения состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию , бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем определяет коэффициент преобразования подобия. Это свойство называется свойством постоянного растяжения.