1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_16_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Левосторонняя критическая область определяется неравенством К < kкр (kкр < 0).

Критическую точку находят исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет значение, меньшее kкр, была равна принятому уровню значимости:

P(K < kкр) = .

41

Теория вероятностей и математическая статистика

Двусторонняя критическая область определяется неравенствами K<k1, К> k2 , где k2 > k1.

Критические точки находят исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы сумма вероятностей того, что критерий примет значение, меньшее k1, или большее k2, была равна принятому уровню значимости:

Р(К< k1) + Р(К> k2) = . (*)

42

Теория вероятностей и математическая статистика

Ясно, что критические точки могут быть выбраны бесчисленным множеством способов.

43

Теория вероятностей и математическая статистика

Если распределение симметрично относительно нуля, то выбирают симметричные относительно нуля точки:

-kкр и kкр(kкр >0),

вэтом случае P(K<- kкр) = P(K> kкр).

Учитывая, что Р(К< k1) + Р(К> k2) = , получим

44

Теория вероятностей и математическая статистика

соответствующим таблицам.

45

Теория вероятностей и математическая статистика

15.7. Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия

Мы строили критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания в нее критерия была равна

при условии, что нулевая гипотеза справедлива.

Целесообразно ввести в рассмотрение вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза неверна и, следовательно,

справедлива конкурирующая.

46

Теория вероятностей и математическая статистика

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Другими словами, мощность критерия есть

вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

47

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть для проверки гипотезы принят определенный уровень значимости и выборка имеет фиксированный объем.

Остается произвол в выборе критической области.

Покажем, что критическую область целесообразно построить так, чтобы мощность критерия была максимальной.

48

Теория вероятностей и математическая статистика

Для этого убедимся, что если вероятность ошибки второго рода (принять неправильную гипотезу) равна , то мощность равна 1— . Действительно, если — вероятность ошибки второго рода, т. е. события «принята нулевая гипотеза, причем справедлива конкурирующая», то мощность критерия* равна 1— .

*

49

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть мощность 1— возрастает; следовательно, уменьшается вероятность совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем мощность больше, тем вероятность ошибки второго рода меньше.

50