Теория вероятностей и математическая статистика
•Пример. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести очков. Найти вероятность того, что первое выпадение шестерки произойдет при втором бросании игральной кости.
Решение. По условию, р = 1/6, q = 5/6, k = 2. Искомая вероятность по формуле (*) (P(X=k)= qk-1p)
Р = qk-1 р = ()1 = 0,139.
61
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
62
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Р е ш е н и е . По условию, р = 0,6, q = 0,4, k = 3. Искомая вероятность по формуле (*) (P(X=k)= qk-1p)
Р = qk-1 р = 0,42 0,6 = 0,096.
63
Теория вероятностей и математическая статистика
5.5. Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима).
64
Теория вероятностей и математическая статистика
Обозначим через X случайную величину — число m стандартных изделий среди n отобранных.
Очевидно, возможные значения X таковы: 0, 1, 2, ... , min(М, n).
65
Теория вероятностей и математическая статистика
•Найдем вероятность того, что X = m, т. е. что среди n отобранных изделий ровно m стандартных. Используем
для этого классическое определение вероятности.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь n изделий из N изделий, т. е. числу сочетаний .
*
66
Теория вероятностей и математическая статистика
•Число исходов, благоприятствующих событию X=m (среди взятых n изделий m стандартных), равно числу сочетаний (m стандартных изделий можно извлечь из M стандартных изделий). При этом, оставшиеся n-m изделий должны быть нестандартными. Взять n-m нестандартных изделий можно способами.
Следовательно число исходов, благоприятствующих событию X = m, т. е. что среди n отобранных изделий ровно m стандартных, равно по правилу умножения (см. следующий слайд, на котором воспроизведен последний слайд раздела Комбинаторика лекции 2).
67
Теория вероятностей и математическая статистика
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m n способами.
68
Теория вероятностей и математическая статистика
•Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х = m, к числу всех элементарных исходов
Р(Х=m) = . (*)
Формула (*) определяет распределение вероят- ностей, которое называют гипергеометрическим.
69
Теория вероятностей и математическая статистика
Если n значительно меньше N (если n < 0,1N), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.
70