Теория вероятностей математическая статистика

•Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n = 3, р = 0,1 (следовательно,

q = 1 - 0,1 = 0,9), получим:

Р3(0) = q3 = 0,93 = 0,729; P3(1) = = 3 0,1 0,92 = 0,243; Р3(2) = = 3 0.12 0,9 = 0,027; Р3(3) = р3 = 0,001.

Напишем искомый биномиальный закон распределения X: Х 0 1 2 3

р0,729 0,243 0,027 0,001

Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

41

Теория вероятностей и математическая статистика

5.3. Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли.

Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа (теорема Муавра-Лапласа).

Однако формула Муавра-Лапласа непригодна, если вероятность события мала (р 0,1) .

В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

42

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем вероятность того, что при очень большом

числе испытаний, в каждом из которых

вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз.

43

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем вероятность того, что при очень большом

числе испытаний, в каждом из которых

вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз.

Будем считать, что среднее число появлений события

А в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n, остается неизменным.

44

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем вероятность того, что при очень большом

числе испытаний, в каждом из которых

вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз.

Будем считать, что среднее число появлений события

А в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n, остается неизменным.

Для этого сделаем важное допущение: будем полагать, что произведение n·р сохраняет постоянное значение, а именно

n·р = .

45

Теория вероятностей и математическая статистика

Пуассон получил приближенное значение отыскиваемой вероятности:

Рn(k) ke- /k!

Эта формула выражает закон распределения Пуассона

вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий.

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти Рn(k), зная k и .

47

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти Рn(k), зная k и .

48

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на 5-ти веретенах.

49

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на 5-ти веретенах.

Решение. По условию, n = 1000, р = 0,004, k = 5. Найдем

:

= nр = 1000 0,004 = 4.

50