Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на 5-ти веретенах.

Решение. По условию, n = 1000, р = 0,004, k = 5. Найдем

:

= nр = 1000 0,004 = 4.

По формуле Пуассона искомая вероятность

приближенно равна

Р1000(5) ke- /k! = 45 е-4/5! = 1024/(54,8 120) 0,156.

51

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002.

Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

52

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002.

Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, n = 5000, р = 0,0002, k = 3. Найдем :

= nр = 50000 0,0002 = 1.

53

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002.

Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, n = 5000, р = 0,0002, k = 3. Найдем :

= nр = 50000 0,0002 = 1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

Р5000(3) ke- /k! = е-1/3! = 1/6е 0,06 .

54

Теория вероятностей и математическая статистика

5.4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0<р<1) и, следовательно, вероятность его непоявления q=1—р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А.

Таким образом, если событие А появилось в k-м

испытании, то в предшествующих k—1 испытаниях оно не появлялось.

55

Теория вероятностей и математическая статистика

Обозначим через X дискретную случайную величину

— число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А.

Очевидно, возможными значениями X являются натуральные числа: x1=1, x2=2, …

56

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть в первых k—1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м появилось.

Вероятность этого сложного события по теореме умножения вероятностей независимых событий равна

57

Теория вероятностей и математическая статистика

Полагая в формуле P(X=k)= qk-1p (*) k = 1, 2, …, получим

геометрическую прогрессию* с первым членом p и знаменателем q (0<q<1):

p, qp, q2p, …, qk-1p,… (**)

По этой причине распределение (*) называют геометрическим.

58

Теория вероятностей и математическая статистика

*Геометрической прогрессией называется

последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это

числовая последовательность, заданная соотношениями

bn+1 =bn·q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

q – знаменатель прогрессии q = bn+1/bn

59

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести очков. Найти вероятность того, что первое выпадение шестерки произойдет при втором бросании игральной кости.

60