Теория вероятностей и математическая статистика

•Нам уже известно, что биномиальным называют

распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Мы также знаем, что закон назван «биномиальным» потому, что правую часть формулы Бернулли можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

+

31

Теория вероятностей и математическая статистика

Первый член разложения = рn определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях;

второй член = npn-1q определяет вероятность наступления события n - 1 раз; . . . ;

последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

*

32

Теория вероятностей и математическая статистика

В виде таблицы (ряда распределения) биномиальный закон выглядит так:

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Р е ш е н и е . Вероятность появления «герба» при каждом бросании монеты р = 1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q = 1 - 1/2 = 1/2 .

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: х1 = 2, х2

= 1 , х3 = 0.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

•Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли ():

Р2(2)= = (1/2)2 = 0,25, Р2(1) = = 2 (1/2) (1/2) = 0,5. Р2(0) = = (1/2)2 = 0,25.

35

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.

Р е ш е н и е. Вероятность появления события А в каждом испытании р = 0,6, следовательно, вероятность непоявления А q = 1 – 0,6 = 0,4.

При трех испытаниях событие А может появиться либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: х1 = 3, х2

= 2 , х3 = 1, х4 = 0.

37

Теория вероятностей и математическая статистика

•Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли ():

Р3(3) = = 0,63 = 0,216 Р3(2)= = 30,62= 0,432 Р3(1) = = 3 0,6 0,42 = 0,288 Р3(0) = = 0,43 = 0,064

38

Теория вероятностей и математическая статистика

•Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли ():

Р3(3) = = 0,63 = 0,216 Р3(2)= = 30,62= 0,432 Р3(1) = = 3 0,6 0,42 = 0,288 Р3(0) = = 0,43 = 0,064

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1

39

Теория вероятностей математическая статистика

Пример. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение. Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения:

х1 = 0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2 = 1 (отказал один элемент), х3 = 2 (отказали два элемента) и х4 = 3 (отказали три элемента).

40