1 курс / 1 курс 2 семестр / ТВиМС Программа экзамена 2022

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.Случайные события. Достоверные, невозможные и случайные события. Равновозможные, несовместные случайные события. События, образующие полную группу. Противоположные события.

2.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Аксиомы, определяющие вероятность.

3.Основные формулы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

4.Относительна частота. Устойчивость относительной частоты. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности.

5.Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

6.Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

7.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

8.Теорема сложения вероятностей совместных событий.

9.Формула полной вероятности.

10.Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.

11.Формула Бернулли. Локальна теорема Лапласа. Интегральная теорема

Лапласа.

12.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

13. Случайна величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

14.Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.

15.Математическое ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений событий в независимых испытаниях.

16.Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины.

Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии. Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях.

17. Среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.

18.Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины.

19. Начальные и центральные теоретические моменты.

20.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Сущность теоремы Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.

21.Функция распределения вероятностей случайной величины. Определение функции распределения. Свойства функции распределения. График функции распределения.

22.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Определение плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

23.Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения.

24.Закон равномерного распределения вероятностей.

25.Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

26.Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм.

27.Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

28. Показательное распределение. Определение показательного распределения. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины. Числовые характеристики показательного распределения.

29.Функция надежности. Показательный закон надежности. Характеристическое свойство показательного закона надежности.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

30.Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора.

31.Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

32.Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Генеральная средняя. Выборочная средняя.

33.Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних. Групповая и общая средние. Отклонение от общей средней и его свойства.

34.Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Формула для вычисления дисперсии. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии. Сложение дисперсий.

35. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.

36.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .

37.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .

38.Оценка истинного значения измеряемой величины. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения. Оценка точности измерений.

39.Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте.

40.Метод моментов для точечной оценки параметров распределения. Другие характеристики вариационного ряда.

41.Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода.

42.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.

43.Отыскание правосторонней критической области. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей. Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия.

44.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

45.Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.

СТРУКТУРА БИЛЕТА

1.Теоретический вопрос – 10 баллов

2.Теоретический вопрос – 10 баллов

3.Задача (номер задачи*) – 20 баллов

*список задач будет подготовлен Синкевичем А.И.

РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА

Правила формирования рейтинговой оценки

4.1.Качество усвоения студентом каждой дисциплины оценивается по 100балльной шкале.

4.2.Интегральная рейтинговая оценка (балл) по каждому модулю (периоду обучения) складывается из оценки текущей работы студентов на семинарских, практических и лабораторных занятиях, выполнения индивидуальных творческих заданий и др. и оценки за выполнение студентом учебного задания при рейтинговом контроле успеваемости. При этом доля баллов, выделенных на рейтинговый контроль не должна превышать 50 % общей суммы баллов данного модуля (периода обучения).

4.3.Максимальная сумма рейтинговых баллов по учебной дисциплине, заканчивающейся экзаменом, по итогам семестра составляет 60.

Студенту, набравшему 40-54 балла, при подведении итогов семестра (на последнем занятии по дисциплине) в экзаменационной ведомости и зачетной книжке может быть выставлена оценка «удовлетворительно».

Студенту, набравшему 55-57 баллов, при подведении итогов семестра (на последнем занятии по дисциплине) в графе экзаменационной ведомости «Премиальные баллы» может быть добавлено 15 баллов и выставлена экзаменационная оценка «хорошо».

Обучающемуся, набравшему 58-60 баллов, при подведении итогов семестра (на последнем занятии по дисциплине) в графе экзаменационной ведомости «Премиальные баллы» может быть добавлено 27 баллов и выставлена экзаменационная оценка «отлично».

В каких-либо иных случаях добавление премиальных баллов не допускается.

Студент, набравший до 39 баллов включительно, сдает экзамен. При наличии подтверждённых документально уважительных причин, по которым были пропущены занятия (длительная болезнь, обучение в другом вузе в рамках студенческой мобильности и др.), студент имеет право отработать пропущенные занятия и получить дополнительные баллы в рамках установленных баллов за модуль.

4.4. Ответ студента на экзамене оценивается суммой до 40 рейтинговых

баллов. Итоговая оценка складывается из суммы баллов, полученных за семестр, и баллов, полученных на экзамене. Студенту, который сдает экзамен, премиальные баллы не начисляются.