Книги и конспекты / Шпоры / 19
.pdf
19 Элементарная конъюнкция. Дизъюнктивно-нормальная форма. Совершенно дизъюнктивнонормальная форма. Теорема о разложении. Теорема о представлении функции алгебры логики. Элементарная дизъюнкция. Конъюнктивно-нормальная форма. Совершенно конъюнктивно-нормальная форма.
Введем обозначение, |
|
|
|
где – параметр, равный 0 или 1. |
Очевидно, что
Элементарная конъюнкция – конъюнкция конечного множества логических переменных и их инверсий.
Элементарная конъюнкция
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) содержит элементарные конъюнкции, связанные между собой операциями дизъюнкции
Дизъюнктивная нормальная форма |
– дизъюнкция элементарных конъюнкций. |
Теорема о разложении. Любую функцию алгебры логики |
при любом m, |
, можно представить в следующей форме: |
|
Где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных |
. |
Доказательство. Рассмотрим произвольный набор значений переменных |
и покажем, |
что левая и правая части соотношения (*) принимают на нем одно и то же значение. Левая часть дает , правая –
Следствия |
|
|
1) |
|
|
|
|
|
2) |
|
– совершенно дизъюнктивно-нормальная |
форма (СДНФ) |
|
|
Теорема о представлении функции алгебры логики. Каждая функция алгебры логики может быть выражена в виде формулы через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию.
Доказательство
1) |
Пусть |
. Тогда очевидно, что |
2) |
Пусть |
. Представим ее в виде СДНФ |
Таким образом, в обоих случаях функция f выражается в виде формулы через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Чтд.
Это разложение есть выражение типа |
|
|
|
|||||
Построим разложение типа |
при условии |
. Для этого разложим функцию |
||||||
|
. |
|
|
|
|
|
||
Применяя операцию * к данному равенству, получаем |
||||||||
Левая часть представляет собой |
, а правая может быть преобразована |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом получаем разложение
Это выражение носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).
Элементарная дизъюнкция – дизъюнкция конечного множества логических переменных и их инверсий.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) содержит элементарные дизъюнкции, связанные между собой операциями конъюнкции.