Книги и конспекты / Шпоры / 23

23. Полнота. Теорема о функциональной полноте. Следствия.

Теорема 38. (о функциональной полноте). Для того, чтобы система функций P из P2 была полной необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1, S,M и L.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть система

P полна, т.е. [P] = P2. Допустим, что P содержится в одном из указанных классов — обозначим его через N, т.е. PN. Тогда в силу свойств замыкания и замкнутости N имеем P2 = [P] [N] = N.

Значит N = P2, что не так. Необходимость доказана.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть P целиком не содержится ни в одном из пяти указанных классов. Тогда из P можно выделить подсистему P′, содержащую не более пяти функций, которая также обладает этим свойством. Для этого возмем в P функции fi, fj , fk, fm, fl, которые не принадлежат соответственно классам T0, T1, S,M и L, и положим

P′ = {fi, fj , fk, fl, fm}.

Можно считать, что все эти функции зависят от одних и тех же переменных x1, ..., xn. Доказательство достаточности будет проводится в три этапа.

I. Построение при помощи функций fi, fj , и fk констант 0 и 1. Рассмотрим функцию fi / T0. Возможны два случая:

1.fi(1, ..., 1) = 1. Тогда ϕ (x) = fi(x, ..., x) есть константа 1, ибо ϕ (0) = fi(0, ..., 0) = 1, ϕ (1)= fi(1, ..., 1) = 1.

Вторая константа получается из fj : fj(1, ..., 1) = 0.

2.fi(1, ..., 1) = 0. Тогда ϕ (x) = fi(x, ..., x) есть x, ибо ϕ (0) = fi(0, ..., 0) = 1, ϕ (1) = fi(1, ..., 1) = 0.

Возьмем fk(fk S). Так как мы имеем x, то в силу леммы 7 из fk мы можем получить константу. Поскольку мы располагаем x, то находим и вторую константу. Итак, в обоих случаях мы получаем

константы 0 и 1.

II. Построение при помощи констант 0, 1 и функции fm функции x. Это осуществляется на основе леммы 8.

III. Построение при помощи констант 0, 1 и функции x и fl функции x1&x2. Это осуществляется на основе леммы

9.

Таким образом, мы при помощи формул над P′ (а значит и над P) реализовали функции x и x1&x2. Этим

достаточность доказана.

С л е д с т в и е 1. Всякий замкнутый класс M функций из

P2 такой, что M ≠ P2, содержится по крайней мере в одном из построенных классов. П р и м е р 30. Покажем, что система функций

f1 = x1x2, f2 = 0, f3 = 1, f4 = x1 + x2 + x3( mod 2) является полной.

Мы имеем: f3 T0, f2 T1, f2 S, f4 M, f1 L. С другой стороны, удаление любой из функций приводит к неполной системе:

{f2, f3, f4} L, {f1, f3, f4} T1,

{f1, f2, f4} T0, {f1, f2, f3} M.

С л е д с в и е 2. Из всякой полной в P2 системы P функций можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы видели, что из P можно выделить полную подсистему P′, содержащую не более

пяти функций.

Оказывается, что функция fi T0, кроме того, либо не самодвойственна (случай 1)), так как fi(0, ..., 0) = f(1, ..., 1),

либо не монотонна (случай 2)): fi(0, ..., 0) > fi(1, ..., 1).

Поэтому полной будет либо система {fi, fj , fm, fl}, либо система {fi, fj , fk, fl}.