Книги и конспекты / Шпоры / 18

Эквивалентность. Общий вид записи конъюнкции, дизъюнкции и сложения по mod 2, свойства. Правило поглощения. Двойственная функция. Теорема о двойственной функции. Принцип двойственности.

Определение: Формулы A и B над P называются эквивалентными, в этом случае мы пишем A = B, если соответствующие им функции fA и fB равны.

Обозначим через (x1 ◦ x2) любую из функций (x1&x2), (x1 x2), (x1 + x2).

1.Функция (x1 ◦ x2) обладает свойством ассоциативности: ((x1 ◦ x2) ◦ x3) = (x1 ◦ (x2 ◦ x3)).

2.Функция (x1 ◦ x2) обладает свойством коммутативности: (x1 ◦ x2) = (x2 ◦ x1).

3.Для конъюнкции и дизъюнкции выполняются дистрибутивные законы:

((x1 x2)&x3) = ((x1&x3) (x2&x3)), ((x1&x2) x3) = ((x1 x3)&(x2 x3)).

4. Имеют место следующие соотношения между отрицанием, конъюнкцией и дизъюнкцией: x = x, (x1&x2) = (x1 x2), (x1 x2) = (x1&x2).

5. Выполняются следующие свойства конъюнкции и дизъюнкции:

Определение: Функция [f(x1, ..., xn)] = f(x1, ..., xn),называется двойственной функцией к функции f(x1, ..., xn).

Теорема: Если Φ(x1, ..., xn) = f(f1(x11, ..., x1p1), ..., fm(xm1, ..., xmpm)), то Φ (x1, ..., xn) = f (f1 (x11, ..., x1p1), ..., fm (xm1, ..., xmpm)).

Принцип двойственности: Если формула A = C[f1, ..., fs] реализует функцию f(x1, ..., xn), то формула

C[f1 , ..., fs ] реализует функцию f (x1, ..., xn).

Эту формулу мы будем называть формулой, двойственной к A ,и обозначать через A .

Таким образом,A = C[f1 , ..., fs ].