Книги и конспекты / Шпоры / 14

14.Раскраска графа. Хроматическое число. m-раскрашиваемый, m- хроматический граф. Критические и реберно-критические графы. Теорема о хроматическом числе композиции графов.

Вершинной раскраской графа называется такое приписывание цветов его вершинам, что никакие 2 смежные вершины не окрашиваются в один цвет.

Раскраской графа G = (X,F) в m цветов, или m-раскраской, называется разбиение его вершин X на классы C1 , С2 ,..., Сm попарно несмежных вершин.

Классы Ci называются одноцветными классами.

Хроматическое число (G) графа G определяется как наименьшее m, для которого граф G имеет m-раскраску.

Граф G называется m-раскрашиваемым, если (G) m , и m-хpоматическим, если (G) m .

Хроматическое число для некоторых простых графов легко вычисляется. Если Fm — полный m-вершинный граф, то (Fm ) m , (Сk ) 3 , где Сk -

простой цикл нечетной длины k, (С2n ) 2 .

Граф G называется критическим, если (G x) (G) для любой вершины x;

если при этом (G) m , то граф G называется m-критическим.

Другое определение: граф называется критическим, если при удалении из него любой его вершины изменяется его хроматическое число.

Очевидно, что если G — критический граф, то (G) 1 (G x) для каждой его вершины x.

Критический граф может обладать еще одним свойством: (G u) (G) 1

для любого ребра u графа G. В этом случае граф G называется реберно-

критическим. При (G) n граф G называется n-реберно-критическим.

Другое определение: рѐберно-критический граф – граф, если при удалении из которого любого ребра меняется его хроматическое число.

Теорема о хроматическом числе композиции графов.

n m цветов (Q) n m (G) (H )

◄