Книги и конспекты / Шпоры / 10

10. Произведение, сумма, композиция графов. Три теоремы о петлях. Общий вид записи операций произведения, суммы и композиции.

Граф Q=(Z,U) называется произведением графов G=(X,F) и H=(Y,P) и обозначается Q=G×H,

если Z=X×Y для каждого z из Z: Uz=Fx × Py, xєX, yєY, z=(x, y)

Теорема. Пусть G=(X,Y) и H=(Y,P) два графа. Тогда вершина z=(x,y) графа Q=(Z,R)=G×H имеет петлю тогда и только тогда, когда вершины xєX и yєY имеют петли. (zєRz тогда и только тогда, когда xєFx & yєPy)

Доказательство:

Если (z=(x,y)єZ) є Rz =Fx×Py, то из определения декартова произведения следует, что xєFx & yєPy. И наоборот,

если xєFx & yєPy, то z=(x, y)є Fx×Py = Rz.

Граф N = (Z,L) называется суммой графов G и H и oобозначается N=G+H , если Z=X×Y и Lz=(Fx×{y}) U ({x}×Py), где z=(x,y)єZ; xєX; yє Y;

Теорема. Пусть N=(Z,L)=G+H и G=(X, F), H=(Y,P). Тогда (z =(x,y)єZ) є Lz тогда и только тогда, когда xєFx yєPy.

Доказательство.

Если z=(x,y)єLz=Fx×{y}U{x}×Py, то (x,y)єFx×{y} и тогда xєFx, либо (x,y)є{y}×Py, и тогда yєPy.

И наоборот, если xєFx, либо yєPy, то (x,y)єFx×{y}, либо (x,y)є{x}×Py. Следовательно, z=(x,y)єFx×{y}U{x}×Py =Lz.

Граф K=(Z,R) называется композицией графов G и H и обозначается K=G H, если Z=X×Y и Rz=(Fx×Y)U(X×Py),

где z=(x,y), xєX, yєY

Теорема. Пусть T=(Z,M)= G H и G=(X,F), H=(Y,P). Тогда (z=(x,y))єMz тогда и только тогда, когда (xєFx yєY) V (yєPy xєX).

Доказательство:

Из того, что z=(x,y) Mz = Fx × Y X ×Py, следует, что (x,y) Fx×Y и, значит x Fx y Y, либо (x,y) X×Py, и тогда y Py x X.

И наоборот, если x Fx y Y, то (x,y) Fx×Y. А если y Py x X, то (x,y) X×Py. Следовательно, z=(x,y) Fx × Y X × Py = Mz.

Оказывается, операции умножения, суммирования и композиции обладают некоторыми общими свойствами, позволяющими выделить их в общий класс.

Пусть G=(X,F) и H=(Y,P) — два графа Бержа. Обозначим через A множество операций {×,+, }, а произвольную операцию из A — через ◦.

Граф Ω= G◦H=(Z,B) тогдa и только тогда, когда Z=X×Y и Bz=(Fx×Y′) U (X′×Py). Здесь z=(x,y)єZ, xєX, yєY, X′ X, Y′ Y.