Книги и конспекты / Шпоры / 13

Представление графа G H . Теорема о представлении композиции графов. Общий вид записи операций

произведения, суммы и композиции. Теорема о представлении графа V G# H .

Пусть ΠG = (TX, AF) и ΠH = (TY , AP ) — представления графов

G и H , где TX = {(α, β)x}x X, TY = {(γ, δ)y}y Y .Очевидно, представление графа Ω = (Z, B) = G ◦ H есть пара ΠΩ = (TZ, AB), где AB : TZ → TZ и для любой пары (ξ, η)z TZ имеют место равенства

ξ = α|Y ′| + γ|X′| − |(Fx × Y ′) ∩ (X′ × Py|, η = β|Y ′| + σ|X′| − |(F −1x × Y ′) ∩ (X′ × P −1y|.

Теорема . Представление графа K = (Z, R) = G H есть пара ΠK = (TZ, AR), такая, что TZ = TX TY , где TZ — множество всевозможных композиций пар из TX и TY , определенных

следующим образом: если (α, β)x TX, (γ, δ)y TY ,

то (α, β)x (γ, δ)y = (αl+γk−αγ, βl+δk−βδ)z, k = |X|, l = |Y |, а AR : TZ → TZ

таково, что AR(ξ, η)z = {(AF(α, β)x TY ) (TX AR(γ, δ)y)}, где (ξ, η)z = (α, β)x (γ, δ)y, z = (x, y) Z, x X, y Y .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Действительно, по определению

ξ = |(Fx×Y ) (X ×Py)| = |Fx||Y |+|X||Py|− |(Fx×Y )∩ (X ×Py)|. Очевидно, что X=Fx F¯x Y=Py P¯y

дополнения Fx до X и Py до Y соответственно.Используя эти равенства, вычислим следующую величину:t1 = |Fx × Py ∩ Fx × Py| = |Fx × Py| = αγ.

Аналогично вычисляется величина t2: t2 = |F −1x × Y ∩ X × P −1y| = βδ. Таким образом, ξ = αl + γk − αγ, η = βl + δk − βδ.

Пусть (ξ, η)z = (α, β)x (γ, δ)y = (αl + γk − αγ, βl + δk − βδ)z.

Тогда AR(ξ, η)z = {(ξ′, η′)z′}z′ F x×Y X×P y = {(ξ′, η′)z′}z′ F x×Y {(ξ′, η′)z′}z′ X×P y

Так как декартову произведению X × Y в прдставлении композиции графов G и H

соответствует TX TY , то декартову произведению Fx × Y будет соответствовать TF x TY , а декартову произведению X × Py — TX TP y. Но TX = {(α, β)x}x X; TY = {(γ, δ)y}y Y ,

TF x = {(α′, β′)x′}x′ F x, TP y = {(γ′, δ′)y′}y′ P y.

Следовательно, AP (ξ, η)z = TF x TY TX TP y = AF(α, β)x TY TX AP (γ, δ)y, где

(ξ, η)z = (α, β)x (γ, δ)y, z = (x, y) Z, x X, y Y .

Теорема. Представление графа V = (Z, B) = G#H естьпара ΠV = (TZ, AB), такая, что TZ = TX♦TY , где операция ♦ такова, что для любой пары (α, β)x из TX и любой пары (γ, δ)yиз TY (ξ, η)z = (α, β)x♦(γ, δ)y = (αn + γm − p1, βn + δm − p2)z, а AB : TZ → TZ на элементах из TZ определяется следующим образом

AB(ξ, η)z = (AF(α, β)x, TN)♯(TM, AP(γ, δ)y) = (AF(α, β)x♦TM) (TN♦AP(γ, δ)y).

В этом случае будем писать ΠV = ΠG♯ΠH; ΠG = (TX, AF); ΠH = (TY , AP).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если n = m =0, −p1 = αγ, −p2 = βδ,

то мы имеем дело с теоремой о представлении произведения графов; при n = l, m = k, p1 = αγ, p2 = βδ —

это есть теорема о представлении композиции графовграфов; при

m = n = 1, p1 = p2 = 0 1 мы имеем дело с теоремой о представлении суммы графов.

Определение: Граф Q = (Z, U) называется произведением графов G = (X, F) и H = (Y, P ) и обозначается

Q = G × H, если Z = X × Y и для каждого z из Z

Uz = Fx × Py, x X, y Y, z = (x, y).

Определение:Граф N = (Z, L) называется суммой графов G и H и обозначается N = G + H, если Z = X × Y и Lz = (Fx × {y}) ({x} × Py), где z = (x, y) Z; x X; y Y .

Определение: Граф K = (Z, R) называется композицией графов G и H и обозначается K = G H, если Z = X × Y и Rz = (Fx × Y ) (X × Py), где z = (x, y) Z, x X, y Y .