2. Метод трапеций

Алгоритм метода трапеций, представленный на рис. 2.4-2, должен быть дополнен процедурой-функцией f(x), в которой вычисляется значение подынтегральной функции.

Рис. 2.4-2. Алгоритм метода трапеций

Алгоритм метода основан на замене подынтегральной функции f(x) в пределах элементарного отрезка [x_i;x_i+1] интерполяционным многочленом первой степени[3]. Вычисление интеграла проводится с использованием формулы:

Оценка погрешности проводится с использованием метода двойного просчета, где формуле Рунге k=2.

3. Метод Симпсона

Схема алгоритма метода Симпсона, представленная на рис. 2.4-3, должна быть дополнена процедурой-функцией f(x), в которой вычисляется значение подынтегральной функции.

Рис. 2.4-3. Алгоритм метода Симпсона

Алгоритм метода Симпсона основан на замене подынтегральной функции f(x) в пределах двух элементарных отрезков [x_i;x_i+2] интерполяционным многочленом второй степени[3]. Количество отрезков должно быть четным (n=2m). Вычисление интеграла проводится с использованием формулы:

Оценка погрешности проводится с использованием метода двойного просчета, где формуле Рунге k=4.

5. Алгоритмы методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Схема алгоритма решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) методами Рунге-Куттыс заданной точностью представлена на рис. 2.5-1.

Рис.2.5-1. Алгоритм решения ОДУ методами Рунге-Кутты

В зависимости от порядка метода схема алгоритма дополняется соответствующей процедурой, в которой производится вычисление функции y(x_i), по формулам соответствующим порядку метода Рунге-Кутты (рис.2.5-2).

Рис.2.5-2. Решение ОДУ методами Рунге-Кутты с постоянным шагом

Заданная погрешность обеспечивается дополнением алгоритмов решения методом двойного просчета, в котором оценка погрешности производится по формуле Рунге:

где p – порядок метода Рунге-Кутты.

Если условие выполняется, то шаг для следующей точки выбирается равным величине h, иначе шаг уменьшается вдвое и продолжается уточнение y_iв точке х_i.

6. Алгоритмы методов одномерной оптимизации

   1. Метод дихотомии

Схема алгоритм метода дихотомии, представленная на рис. 2.6-1, требует дополнения процедуры-функции f(x), в которой вычисляется значение целевой функции.

Рис.2.6-1. Алгоритм метода дихотомии

В методе дихотомии используется функция f(x), унимодальная на отрезке [a;b][3].На отрезке [a₀;b₀], где a₀=a, аb₀ = b, выбираются две точки симметричные относительно середины отрезка:

где d - параметр метода, величина которого (0<d<e/2.).

Вычислим и сравним значения функций f(a₁) и f(b₁). В силу унимодальности функции можно провести сокращение отрезка неопределенности по следующему правилу:

Еслиf(a₁) £f(b₁), то x*Î[a₀;b₁] ;

Если f(a₁) >f(b₁), то x*Î[a₁;b₀].

Сокращение отрезка проводятся до тех пор, пока не выполнится неравенствоΔ_n=|b_n-a_n|≤ε.

2. Метод золотого сечения

Схема алгоритма метода золотого сечения, представленная на рис. 2.6-2, требует дополнения процедуры-функции f(x), в которой вычисляется значение целевой функции.

Рис.2.6-2. Алгоритм метода золотого сечения

В методе дихотомии используется функция f(x), унимодальная на отрезке [a;b] [3].В основу метода положено разбиение отрезка неопределенности [a;b] в соотношении золотого сечения:

или ,

где k₁=0.382, а k₂=0.618.

Сравнение значений функции в точках х₁ и х₂ позволяет, в силу унимодальности функции f(x), отбросить ту часть отрезка, где заведомо нет точки минимума. Известно, что и точка х₁и точка х₂дваждыосуществляет золотое сечение на отрезке[a;b]. Это приводит к тому, что значение целевой функции на каждой итерации (кроме первой) вычисляется один раз.

После каждой итерации длина отрезка неопределенности сокращается в 1.618 раза. Сокращение отрезка проводятся до тех пор, пока не выполнится неравенствоΔ_n=|b_n-a_n|≤ε.