2. Алгоритмы методов интерполяции функции

   1. Метод Лагранжа

Схемы алгоритмов, используемые при вычислении значения функции по формуле Лагранжа, представлены на рис.2.2-1 и 2.2-2.

Рис.2.2-1. Алгоритм интерполяции функции с заданной точностью

Рис.2.2-2. Алгоритм интерполяции функции

с заданным количеством узлов

При интерполяции по методу Лагранжа функция f(x) может быть задана в (n+1)узлах, произвольно расположенных на отрезке [a;b]: y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), … y_n = f(x_n).

Общий вид интерполяционной формулы[3]

Поскольку точность интерполяции функции зависит от количества используемых узлов, то оценку погрешности интерполяции в точке принято проводить по следующей формуле:

где m– число узлов, используемое в формуле.

В этом случае, для того чтобы добиться заданной точности, при решении задачи интерполяции нужно использовать две процедуры (рис. 2.2-1 и 2.2-2). Если функция интерполируется при заданном количестве узлов, используется только процедура, представленная на рис. 2.2-2.

Для того чтобы уменьшить погрешность интерполяции, используется прием перенумерации узлов исходной таблицы [3].

2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Первая интерполяционная формула Ньютона используется, если требуется найти значение функцииy=f(x), заданной в равноотстоящих узлах так, что = x₀ +ih, где h – шаг интерполяции, а i = 0, 1, …, n, в точке, расположенной в начале таблицы.

Формула имеет следующий вид [3]:

Здесь Δy₀, Δ²y₀, …Δⁿy₀ – соответствующие конечные разности.

Если интерполируемая функция задана таблично, то оценку погрешности интерполяции можно произвести по формуле:

Схема алгоритма интерполяции в точкепо первой формуле Ньютона приведена на рис. 2.2-3. При необходимости получения значений интерполяционного полинома при разном количестве узлов, в процедуре рекомендуется вставить промежуточную печать.

Рис. 2.2-3. Алгоритм интерполяции в точке по 1-й формуле Ньютона

3. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Вторая интерполяционная формула Ньютона используется, если требуется найти значение функции y=f(x), заданной в равноотстоящих узлах так, что = x0 +ih, где h – шаг интерполяции, а i = 0, 1, …, n, в точке, расположенной в конце таблицы.

Формула имеет следующий вид [3]:

Здесь Δy_n-1, Δ²y_n-2, … Δⁿy₀ – соответствующие конечные разности.

Если интерполируемая функция задана таблично, то оценку погрешности интерполяции можно произвести по формуле:

Схема алгоритма интерполяции в точке с заданной степенью точности по второй формуле Ньютона приведена на рис. 2.2-4. Здесь точность интерполяции достигается путем добавления узлов. Если исчерпаны все узлы заданной таблицы, а точность не достигнута, то за результат принимается значение интерполяционного многочлена при максимальном количестве узлов. В качестве выходного параметра выступает массив значений полинома в точке хх, где индекс массива – текущая степень интерполяционного полинома.

Рис. 2.2-4.Алгоритм интерполяции в точке по 2-й формуле Ньютона

Рис. 2.2-5. Заполнение матрицы конечных разностей

Рис. 2.2-6. Вычисление значения полинома степени iв точке хх

Рис. 2.2-7. Вычисление значения полинома степени m