Учебники 80163

В дальнейшем мы ограничимся изучением только системы уравнений

Система уравнений (13.2) называется системой в нормальной форме, или нормальной системой

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.

Решением системы (13.2) называется совокупность функций y1(x), y2 (x), y3(x),K, yn (x), удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Рассмотрим, например, нормальную систему из трех уравнений с тремя неизвестными функциями x, y, z :

Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть правые части уравнений системы (13.3), т.е. функции fi (t, x, y, z) (i =1,2,3) непрерывны по всем переменным в некоторой области

G и имеют в ней непрерывные частные производные: dfdxi , dfdyi , dfdzi . Тогда ка-

ковы бы ни были значения t0 , x0 , y0 , z0 , принадлежащие области G , сущест-

61

вует единственное решение системы x(t), y(t), z(t), удовлетворяющее на-

чальным условиям:

x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0 , z(t0 ) = z0.

Для интегрирования системы (13.3) можно применить метод, с помощью которого данная система, содержащая три уравнения относительно трех искомых функций, сводится к одному уравнению третьего порядка относительно одной неизвестной функции. Покажем на примере применение этого метода. Для простоты ограничимся системой из двух уравнений. Пусть дана система уравнений

Для нахождения решения системы поступаем следующим образом. Дифференцируя первое из уравнений системы по t , находим

получим линейное однородное уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции:

62

Подставляя выражения для x и dxdt в равенство (13.5) и приводя подобные члены, получим

являются решением данной системы.

Итак, интегрируя нормальную систему двух дифференциальных уравнений, мы получили ее решение, зависящее от двух произвольных постоянных

С1 и С2 . Можно показать, что и в общем случае для нормальной системы, со-

стоящей из n уравнений, ее общее решение будет зависеть от n произвольных постоянных.

13.2.Системы линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

Кроме рассмотренного метода интегрирования нормальной системы уравнений, мы укажем сейчас еще один метод, применимый только к нормальным системам линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть дана нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для простоты ограничимся системой трех уравнений с тремя неизвестными функциями:

63

Мы должны определить коэффициенты α, β,γ и показатель степени k так, чтобы функции (13.9) были решением системы (13.8). Подставляя эти функции

систему (13.8) и сокращая на множитель ekt ≠ 0, получим

kα = a11α + a12β + a13γ, kβ = a21α + a22β + a23γ, kγ = a31α + a32β + a33γ.

Перенося все члены в одну сторону, получим следующую систему алгебраических уравнений относительно неизвестных:

Система (13.10) является однородной системой уравнений. Как известно, для того чтобы однородная система имела отличные от нуля решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю. Таким образом, для того чтобы система (13.10) имела отличные от нуля решения, должно иметь место равенство

Равенство (13.11) представляет собой уравнение третьей степени относительно к и называется характеристическим уравнением для сис-

тем (13.8). Ограничимся случаем, когда характеристическое уравнение имеет различные действительные корни k1, k2 , k3. Для каждого из этих корней напишем соответствующую систему уравнений (13.10) и определим коэффициенты α1, β1, γ1, α2 , β2 , γ2 , α3, β3, γ3. Если обозначить частные решения системы, соответствующие корню характеристического уравнения k1 через x1, y1, z1; соответствующие корню k2 - через x2 , y2 , z2 и корню k3 - через x3, y3, z3; то,

как можно показать, общее решение системы дифференциальных уравнений (13.8) запишется в виде

x(t) = C1x1 +C2 x2 +C3x3, y(t) = C1 y1 +C2 y2 +C3 y3, z(t) = C1z1 +C2 z2 +C3z3.

64

Эта система имеет бесчисленное множество решений, так как второе уравнение есть следствие первого. Полагая, например, β1 =1, находим α1 = 3. Итак, корню характеристического уравнения k1 = −3 соответствуют частные

решения x1 = 3e−3t и y = e−3t .

Система уравнений (13.10) для определения α2 и β2 при k =1 имеет вид

−3α2 −3β2 = 0,

−α2 − β2 = 0.

65

В качестве решений этой системы можно взять α2 =1, β2 = −1. Тогда

корню характеристического уравнения k =1 соответствуют частные решения

x2 = et и y2 = −et .

Общее решение данной системы (13 5), согласно формуле (13 12), запишется в

виде

x(t) = 3C1e−3t +C2ee , y(t) = C1e−3t −C2et .

Если среди корней характеристического уравнения (13 11) имеются комплексные, то соответствующие им частные решения преобразуются по формулам Эйлера подобнотому, какэтоделалосьдляодноголинейногоуравнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Освоив данный курс лекций «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Вы фактически ознакомились с классической теорией решения дифференциальных уравненийопределенноговида.

Трудно переоценить значение теории дифференциальных уравнений в познаниисущностипроцессов, происходящих каквнеживом, такибиологическомвиде. К сожалению, в настоящее время, используя известные методы решений, многие уравнения далеко не всегда удается решить, что существенно затрудняет понять суть исследуемыхпроцессов.

Каждый, кто желает внести свой вклад в развитие теории дифференциальных уравнений, может попытаться это сделать. В случае успеха человечество и наука будутВамблагодарнызаэто.

66

2.Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, и их геометрический смысл.

67

11.1.Определенияиобщиесвойства...................................................................…44

11.2.Линейныеоднородныедифференциальныеуравнения

второгопорядка................................................................................................…46

11.3. Линейныенеоднородныедифференциальныеуравнения второгопорядка................................................................................................…50

Теорема1 (Оструктуреобщегорешения неоднородногоуравнения) ............................................................…50

порядкаспостояннымикоэффициентами.................................................…52

12.2. Линейныенеоднородныедифференциальныеуравнениявторого порядкаспостояннымикоэффициентами.................................................…56

13.1.Общиепонятия................................................................................................…59

13.2.Системылинейныхдифференциальныхуравнений

спостояннымикоэффициентами.................................................................…63

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………….66

Учебное издание

Ханкин Евгений Иванович

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Курс лекций

Подписано в печать 17.07.2009. Формат 60х84х 1/16. Уч.-изд. л. 4,2.Усл.-печ. л. 4,3. Бумага писчая.

Тираж 100 экз. Заказ № .

Отпечатано: отдел оперативной полиграфии Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

68