Учебники 80163

10. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Здесь мы рассмотрим уравнения второго порядка, которые с помощью замены переменной сводятся к уравнениям первого порядка. Такое преобразование уравнения называется понижением порядка. Простейшими уравнениями второго порядка, допускающими понижение порядка, являются следующие:

y′ = F(x) +C1. Отсюда, интегрируя еще раз, находим общее решение уравне-

ния (10.1):

y= ∫F(x)dx +C1x +C2

Пр име р 1. Найти общеерешениеуравнения y′′ = sin x.

РЕШЕНИЕ. Полагая y′ = v(x) , получаемуравнение v′(x) = sin x . Интегрируя,

находим v(x) = −cos x +C1. Заменяя v(x) на y′и интегрируяещераз, находим общее решение уравнения: y = −sin x +C1x +C2.

2. Уравнение. y′′ = f (x, y′). Это уравнение не содержит явно искомой функции y . Вводя, какивпредыдущем случае, новуюфункцию v(x) = y′и, замечая, что y′′ = v′(x), получаемуравнениепервогопорядкаотносительнофункции

v′(x) :

v′(x) = f (x, v).

Допустим, чтонайдено общее решение этого уравнения

v =ϕ(x,C1).

Заменяя вэтомрешениифункцию v на y′, получаем

y′ =ϕ(x,C1).

41

Отсюдаобщеерешениеуравнения (10.2) будет иметь вид

y= ∫ϕ(x,C1)dx +C2.

Пр и м е р 2. Найти общее решение уравнения

(1+ x2 ) y′′−2xy′ = 0

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

y / x=1 = 0, y′/ x=1 =1.

РЕШЕНИЕ: Положим y′ = v(x) . Тогда y′′ = v′(x). Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим уравнение первого порядка

(1+ x2 )v′−2xv = 0.

Разделяявэтом уравнении переменные, находим

Так как v = y′, то y′ = C1(1+ x2 ). Интегрируя еще раз, получаем общее решение данного уравнения:

y= C1 x + x3 +C2.

3

Выделим из этого общего решения частное решение. Используя первое на-

4 / 3 С1 +С2 = 0 .

42

ными

dydx =ϕ( y,C1) .

Интегрируя его, находим общий интеграл первоначального уравнения (10.3):

∫ϕ( ydy,C1) = x +C2 .

Пр и м е р 3. Найти общее решение уравнения 1+ y′2 = 2 yy′′.

РЕШЕНИЕ. Вводим новую неизвестную функцию v( y) , полагая y′ = v( y);

43

тогда, согласно равенству (10.4), y′′ = dydv v. Подставляя выражения для y′и

y′′в данное уравнение, получим

1+v2 = 2yv dydv .

В этом уравнении первого порядка переменные разделяются:

Лекция 7 11. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Большое количество задач математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к особому виду дифференциальных уравнений, так называемым линейным уравнениям.

Ниже будет изложена теория линейных уравнений второго порядка.

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

44

Здесь коэффициенты уравнения a0 (x), a1(x), a2 (x) и свободный член b(x) -заданные функции аргумента x . Если b(x) ≡ 0, то линейное уравнение принимает вид

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением без правой части). Если же b(x) ≡ 0, то уравнение (11.1) называет-

ся неоднородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением с правой частью).

Например, уравнения

xy′′+5xy′+ 2 y = ex и y′′+ y′+ x3 y = 0

будут линейными уравнениями, причем первое из них неоднородное, а второе -

не принадлежат к виду (11.1) и не будут линейными. Первое из них содержит квадрат производной, а второе - член с произведением второй производной на искомую функцию.

единственности решения Коши.

Действительно, допустим, что коэффициенты уравнения

a0 (x), a1(x), a2 (x) и свободный член b(x) непрерывны на некотором интервале (α, β), причем коэффициент a0 (x) не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Тогда правая часть уравнения (11.3)

будут непрерывными функциями при любых значениях переменных y и y′и при значениях x , принадлежащих интервалу (α, β) . Поэтому уравнение (11.3) удовлетворяет условиям теоремы Коши. На основании сказанного сформулиру-

45

ем теперь теорему существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения (11.1).

Теорема. Если коэффициенты a0 (x), a1(x), a2 (x) и правая частьb(x) линейного уравнения (11.1) непрерывны на интервале (α, β), причем коэффициент a0 (x) не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия y / x=x0 = y0 , y′/ x=x0 = y0′ , где точка x0

принадлежит интервалу (α, β), существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

11.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Если функции y1 = y1(x) и y2 = y2 (x) являются решениями линейного однородного уравнения (11.2), то и функция y = C1 y1(x) +C2 y2 (x) также является решением этого уравнения при любых значениях постоянных C1 и C2 .

второго порядка содержит две произвольные постоянные C1 и C2 , то возника-

46

y′′+ 4 y = 0 удовлетворяет условиям теоремы существования и единственно-

сти решения при любых начальных условиях. Это уравнение имеет, как легко проверить, частные решения y1 = sin 2x и y2 =10sin 2x . Однако их линейная комбинация y = C1 sin 2x +C210sin 2x, являясь решением данного уравне-

ния, не будет его общим решением Действительно, нетрудно убедиться в том,

y′′+ 4 y = 0. Однако это решение нельзя получить из линейной комбинации

y = C1 sin 2x +C210sin 2x, так как уже первое начальное условие y / x=0 =1 для функции y = C1 sin 2x +C210sin 2x не выполняется ни при каких значениях C1 и C2 : C1 sin 0 +C210sin 0 ≠1.

Заметим, что все частные решения вытекают из общего решения диффе-

родного линейного дифференциального уравнения второго порядка образуют фундаментальную систему решений на некотором интервале (α, β), если ни в одной точке этого интервала определитель

не обращается в нуль.

Определитель W (x) называется определителем Вронского (или врон-

скианом).

47

П р и м е р 1. Выше мы указали, что уравнение y′′+ 4 y = 0 имеет своими частными решениями функции y1 = sin 2 x, y2 =10 sin 2 x, y3 = cos 2.

Легко убедиться, что первое и второе решения не образуют фундаментальной системы, а первое и третье образуют фундаментальную систему на всей числовой оси.

Действительно,

Пр и м е р 2. Легко проверить, что уравнение

x2 y′′−2xy′+ 2 y = 0

т.е. определитель Вронского не обращается в ноль при x ≠ 0.

З а м е ч а н и е . Очевидно, всякое линейное однородное уравнение имеет решение y1 ≡ 0. Однако это решение ни с одним другим частным решением y2 = y2 (x) фундаментальной системы не образует, так как в этом случае определитель Вронского тождественно равен нулю:

Ответ на поставленный выше вопрос о виде общего решения однородного линейного уравнения дает следующая теорема.

Теорема 2 (о структуре общего решения однородного уравнения). Ес-

ли два частных решения уравнения y1 = y1(x) и y2 = y2 (x) уравнения (11.2) образуют на интервале (α, β) фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид

48

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего заметим, что при любых C1 и C2 функция y = C1 y1(x) +C2 y2 (x) на основании теоремы 1 является общим ре-

шением уравнения (11.2), остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Пусть y = y(x) - какое-либо частное решение уравнения (11.2), удовлетворяющее начальным условиям (11.5). Покажем, что оно может быть выделено из решения (11.4) надлежащим выбором постоянныхC1 и C2 .

частные решения y1(x) и y2 (x) образуют фундаментальную систему частных решений на интервале (α, β) , которому принадлежит точка x0 , то W (x0 ) ≠ 0. Поэтомудлянеизвестных C1 и C2 получимследующиеединственныезначения:

y1(x) y2 (x) образуют фундаментальную систему частных решений, то общее ре-

шениеимеетвид

y = C1 y1(x) +C2 y2 (x).

Из доказанной теоремы следует, что для нахождения общего решения достаточнознатьдваегочастныхрешения, образующиефундаментальнуюсистему.

49

Пример 3. Рассмотрим уравнение x2 y′′−2xy′+ 2 y = 0. Как мы видели в

нийна любом интервале, не содержащем точку x = 0. Поэтому на основании теоре-

мы2 общее решение этого уравнения имеет вид y = C1x +C2 x2. Найдем частное

решение данного уравнения при следующих начальных условиях:

y / x=1 = 0, y′/ x=1 = 0.

y′ = C1 + 2C2 x, то, подставляяначальныеусловия, получимсистему уравнений для определения постоянных C1 и C2 :

0 = C1 +C2 ,

1 = C1 + 2C2.

Решая эту систему, находим C1 = −1, C2 =1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид y = x2 − x.

11.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь основные свойства линейного неоднородного дифференци-

ального уравнения второго порядка (11.1)

a0 (x) y′′+ a1(x) y′+ a2 (x) y = b(x).

Линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (11.1), в дальнейшем будем называть соответствующим однородным уравнением.

Теорема 1 (о структуре общего решения неоднородного уравнения).

Если y(x) - частное решение линейного неоднородного уравнения (11.1), а Y (x) - общее решение соответствующего однородного уравнения, то функция y = y(x) +Y (x) является общим решением неоднородного дифференциального уравнения (11.1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как y(x) есть решение уравнения (11.1), то

a0 (x) y′′(x) + a1(x) y′(x) + a2 (x) y(x) ≡ b(x).

Аналогично, вследствие того что Y (x) есть решение соответствующего однородного уравнения,

a0 (x)Y ′′(x) + a1(x)Y ′(x) + a2 (x)Y (x) ≡ 0.

В таком случае имеем

50