Учебники 80163

C0 так, что соответствующая интегральная кривая y = ∫ f (x)dx +C0 проходит

через точку.

Соотношение (3.1) представляет собой общее решение уравнения y′ = f (x) в данной полосе.

ПРИМЕР: Правая часть уравнения y′ = 3x2 непрерывна в промежутке −∞ x ∞.

собой общее решение уравнения, выделена парабола, проходящая через точку (1, 3) - частное решение уравнения (рис. 5 ).

3.2. Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение y′ = f (x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

т.е. если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых не зависит от y , а другая отx .

Предположим, что функции ϕ(x) и ψ( y) непрерывны на интервалах

11

12

и, следовательно, определить соответствующий частный интеграл данного уравнения

ния относительно x и у , так как

f (tx,ty) = (tx)3 +3(tx)2 (ty) = t3(x3 +3x2 y) = t3 f (x, y).

Аналогично устанавливается, что функции

являются однородными функциями соответственно первого, нулевого и второго измерений. Функции x3 −3x2 y + y, ex−y + 2, x sin(x / y) однородными не являются, так как для них условие (3.8) не выполняется ни при каких t .

Однородные функции, как следует из определения, обладают следующими свойствами:

•Сумма однородных функций одинакового измерения есть однородная функция того же измерения.

•Произведение однородных функций есть однородная функция, измерение которой равно сумме измерений сомножителей.

•Частное однородных функций есть однородная функция. Ее измерение равно разности измерений делимого и делителя.

Дифференциальное уравнение y′ = f (x, y) называется однородным, если его правая часть f (x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Однородным будет также всякое уравнение вида

P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 ,

где P(x, y) и Q(x, y) - однородные функции одинакового измерения.

13

с помощью специальной подстановки сводится к интегрированию уравнения с разделяющимися переменными.

Действительно, так как f (x, y) - однородная функция нулевого измерения, то для любого t

f(tx,ty) = f (x, y) .

Вчастности, полагая t = 1x , получаем

f(x, y) = f 1, y .

x

Это значит, что правая часть уравнения (3.9) фактически зависит от одно-

Это - уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u .

Предположим, что функция ϕ(u) непрерывна на интервале a u b и

ϕ(u) −u ≠ 0.

Разделяя переменные в уравнении (3.11) и интегрируя, находим общие интегралы этого уравнения в областях {a u b, x 0}и {a u b, x 0}в виде

∫ϕ(udu) −u = ∫ dxx +C,

гдеС - произвольнаяпостоянная.

Заменяя в этом соотношении вспомогательную функцию и ее выражением через x иy , находимвквадратурахобщиеинтегралыданногоуравнениявобластях

14

Лекция 3

4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальное уравнение y′ = f (x, y) называется линейным, если

оно линейно относительно искомой функции у и ее производной у', т.е. если оно может быть записано в виде

y′+ x2 y = x5 , y′+ x +ex y = 0, y′ = y и т.д.

Если в уравнении (3.12) правая часть Q(x) не равна тождественно ну-

лю, то это уравнение называется линейным неоднородным уравнением, или

линейным уравнением с правой частью. Если же Q(x) = 0, то уравнение (3.12) называется линейным однородным уравнением, или уравнением без

правой части.

Уравнение y′+ P(x) y = 0, полученное из уравнения (3.12) заменой функции

Q(x) нулем, называется линейным однородным уравнением, соответствую-

щим данному неоднородному уравнению.

Будем рассматривать линейное уравнение y′+ P(x) y = Q(x)

на интервале a x b непрерывности функции P(x) и Q(x). Покажем, что такое уравнение интегрируется в квадратурах. Возьмем сначала линейное однородное уравнение

соответствующее данному неоднородному.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим

получить из соотношения y = Ce−∫P(x)dx при C = 0 , заключаем, что соотношение

16

где С - произвольная постоянная, есть общее решение уравнения (3.13) в по-

лосе {a x b, −∞ y +∞}.

Для отыскания решений линейного неоднородного уравнения (3.12) при-

меним метод вариаций произвольной постоянной. А именно, будем искать ре-

шение уравнения (3.12) в том же виде (3.14), что и решение соответствующего однородного уравнения. Тогда С придется считать не постоянной, а функцией от x , C = C(x) . Эта функция С(х) должна быть такова, чтобы при подстановке

в уравнение (3.12) оно обращалось в тождество на интервале a x b .

Для определения функции С(х) получаем уравнение с разделяющимися переменными:

C′(x)e−∫ P( x)dx = Q(x)

Интегрируяего, находим

C ( x ) = ∫ Q ( x )e ∫ P ( x ) dx dx + C ,

где С - произвольная постоянная.

Такимобразом, длялюбогозначенияпостояннойСфункция

Следовательно, соотношение (3.15) является общим решением уравнения (3.12) в области {a x b, −∞ y +∞}. Заметим, что общее решение линейного неоднородного уравнения (3.12)

y = e−∫P( x)dx (∫Q(x)e∫P( x)dx dx +C)

оказывается равным сумме общего решения соответствующего однородного уравне-

ния (Сe−∫P( x)dx ) и частного решения данного неоднородного уравнения

(e−∫P( x)dx ∫Q(x)e∫P(x)dxdx.

Рассмотренный выше метод вариации произвольной постоянной применяется обычноприотысканиирешенийлинейныхнеоднородныхуравнений.

17

ПРИМЕР, y′−2xy = (x +1)ex2 - линейное неоднородное уравнение.

Функции P(x) = −2x и Q(x) = (x +1)ex2 непрерывны всюду.

Решаем сначала линейное однородное уравнение y′− 2xy = 0, соответствующее данному уравнению:

Ищемобщеерешениеданногоуравненияввиде: y = C(x)ex2 .

решения линейного дифференциального уравнения y′ = P(x) y = Q(x) возмо-

и наложим условие; чтобы v было таким, при котором выражение в скобках обратится в 0, это, очевидно, возможно.

Тогда уравнение (3.18) распадется на два уравнения; т.е. на систему дифференциальных уравнений:

нением с разделяющимися переменными, найдем какое-либо частное решение v = v(x), при этом постоянную величину С не учитываем. Затем найден-

ную функцию v(x) подставляем во второе уравнение системы (3.19),

18

u(x) И v(x) подставляем в (3.16) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения (3.12).

19

где α ≠1 и α ≠ 0, т.е. уравнение Бернулли относится уже к нелинейным. Уравнения такого типа подстановкой z = y1−α преобразуются в линейные.

Однако, их можно решать аналогично вышеизложенному, т.е. подстановкой

y = uv.

ПРИМЕР: Решить уравнение y′− xy = xy2 , (α = 2). Обозначим y = uv , тогда

6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка (некоторые из них были изложены выше) пригодны лишь для сравнительно небольшой части уравнений, встречающихся на практике.

В связи с этим большое значение приобретают методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений.

20