3. |
1 |
1 |
- 1 |
0 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
- 1 |
- 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
1 |
2 |
4 |
31 |
5 |
1 |
2 |
20 |
3 |
- 1 |
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
1 |
- 1 |
2 |
- 7 |
1 |
1 |
1 |
- 2 |
2 |
3 |
- 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
2 |
1 |
- 2 |
- 2 |
1 |
- 2 |
2 |
3 |
2 |
- 2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
1 |
1 |
- 1 |
1 |
8 |
3 |
- 6 |
2 |
4 |
1 |
- 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
1 |
2 |
1 |
4 |
3 |
- 5 |
3 |
1 |
2 |
3 |
- 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
1 |
1 |
1 |
6 |
1 |
2 |
3 |
10 |
2 |
3 |
- 4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
4 |
- 3 |
2 |
9 |
2 |
5 |
- 3 |
4 |
5 |
6 |
- 2 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
1 |
- 2 |
3 |
6 |
2 |
3 |
- 4 |
20 |
3 |
- 2 |
- 5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
3 |
2 |
1 |
5 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
2 |
2 |
1 |
3 |
2 |
- 1 |
- 1 |
4 |
1 |
1 |
- 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
1 |
- 1 |
2 |
4 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
- 1 |
- 1 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
- 1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
1 |
1 |
1 |
- 2 |
1 |
- 1 |
2 |
- 7 |
2 |
3 |
- 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
1 |
1 |
1 |
9 |
- 2 |
2 |
1 |
9 |
3 |
- 3 |
- 2 |
- 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
1 |
3 |
4 |
7 |
3 |
- 3 |
2 |
4 |
- 5 |
7 |
4 |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
3 |
4 |
2 |
8 |
2 |
- 4 |
- 3 |
- 1 |
1 |
5 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
1 |
1 |
- 1 |
2 |
4 |
- 3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
- 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
2.1.Краткие сведения, необходимые для выполнения задания
Даны два вектора A(xA; yA; zA ) и B(xB; yB; zB ). Пусть ϕ - угол между ними. Тогда для векторов определены следующие операции векторной алгебры.
Длина вектора |
|
A |
|
вычисляется по формуле |
|
A |
|
= |
x2 |
+ y2 |
+ z2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
Скалярное произведение векторов
A B = A 
B cos(ϕ) = xAxB + yA yB + zAzB .
9
Векторное произведение двух векторов можно определить по их коорди-
натам
|
|
i |
j |
k |
, |
A × B = |
xA |
yA zA |
|||
|
|
xB |
yB |
zB |
|
где i, j,k - единичные векторы вдоль декартовых осей координат x, y, z соот-
ветственно. Векторное произведение можно определить как вектор C , удовлетворяющий следующим условиям :
1.Вектор C перпендикулярен каждому из векторов векторного произведения.
2.Направление его таково, что из конца вектора C наикратчайший поворот от
вектора A (первый вектор произведения) к вектору B (второй вектор произведения) виден происходящим против часовой стрелки.
3. Длина вектора C = A 
B sin(ϕ)
Рис. 1. К определению векторного произведения (а); чертеж пирамиды к примеру 1(б)
Модуль векторного произведения имеет величину, равную площади параллелограмма со сторонами, образованными векторами OA и OB (рис.1а).
Смешанное произведение трех векторов A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB ) и C (xC ; yC ; zC ) - скалярная величина , которую можно определить через проекции векторов на оси координат
|
|
|
|
xA |
yA |
zA |
|
||||||
(A × B ) C = |
|
xB |
yB |
zB |
||
|
|
|
|
xC |
yC |
zC |
Смешанное произведение можно определить, как величину, модуль которой равен объему параллелепипеда, ребра которого параллельны векторам, входящим в произведение.
10
Пользуясь приведенными выше формулами, решим пример.
Пример 1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(3; 4; 0), B(– 1; 2; 4), C(5; 0; 2), D(7; – 2; 6). Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра BC,
2) проекцию AB на AD , 3) угол между ребрами AB и AC , 4) площадь грани ABC, 5) объем пирамиды, 6) длину высоты, опущенной на грань ABC. Сделать чертеж.
Решение.
(1) Найдем координаты вектора BC по формуле
BC = (xC − xB; yC − yB; zC − zB ),
BC = ( 5 – (– 1) ; 0 – 2 ; 2 – 4) = (6 ; – 2 ; – 2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Длина вектора |
|
|
|
|
|
62 + (−2 )2 + (−2 )2 = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
BC |
= |
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(2) |
Координаты векторов AB и AD : AB = (– 4; – 2; 4), |
AD =(4; –6;6). Длина |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вектора AD : |
|
|
|
|
|
42 + (−6 )2 + 62 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
AD |
= |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Из определения скалярного произведения следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB AD |
|
−4 4 +(−2 ) ( |
−6 )+ 4 |
6 |
|
|
|
10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Пр (AB ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
AD |
|
|
|
|
|
AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
||||||||||||||
(3) Найдем координаты вектора AC и его длину: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AC = (2; – 4; 2) , |
|
|
|
AC |
|
= |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя координаты вектора AB получим его длину: |
|
AB |
|
= 6. Косинус угла |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
между векторами AB и AC : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
cos(ϕ) = |
|
AB AC |
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
; ϕ = arccos |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
AC |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(4) |
Найдем площадь грани ABC, используя координаты векторов AB и AC |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и свойство векторного произведения - модуль векторного произведения двух векторов имеет величину, равную площади составленного из этих векторов па-
1
раллелограмма. Поэтому площадь треугольника SABC = 2 AB × AC . Векторное
11
произведение |
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
AB × AC = |
−4 |
−2 |
4 |
=12i |
+16 j + 20k . |
|||
|
|
|
2 |
−4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно, вычислив модуль вектора и разделив его на 2, получим искомую площадь: SABC =10
2 .
(5) |
Объем пирамиды найдем, используя координаты векторов AB , |
AC и AD |
||||||||
и |
свойство |
смешанного |
произведения. Объем пирамиды на |
Рис. 1б: |
||||||
VABCD = 16(AB × AC ) AD . |
|
|
|
|
||||||
|
Смешанное произведение |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
−4 |
−2 |
4 |
|
= 72 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
(AB × |
AC ) AD = |
|
2 |
−4 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
−6 |
6 |
|
|
|
Искомый объем VABCD =12 .
(6)Найдем длину высоты, опущенной на грань ABC:
h = 3 |
VABCD |
= 3 |
12 |
= |
9 |
|
.■ |
|||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
SABC |
10 2 |
|
5 |
|
|
||||
2.2. Вопросы для самоконтроля
1.Длина вектора.
2.Скалярное произведение двух векторов.
3.Угол между двумя векторами.
4.Векторное произведение двух векторов.
5.Площадь треугольника и параллелограмма
6.Смешанное произведение трех векторов.
7.Объем пирамиды и параллелепипеда.
2.3.Варианты заданий
Задание. Даны координаты вершины пирамиды ABCD. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра BC, 2) проекцию ребра AB на AD, 3) угол между ребрами AB и AC, 4) площадь грани ABC, 5) объем пирамиды, 6) длину высоты, опущенной на грань ABC. Сделать чертеж.
12