§ 5. Степенные ряды в приближенных вычислениях
Вычисление значений функции.
Пусть дан степенной ряд функции
.
Задача вычисления значения этой функции
заключается в отыскании суммы ряда при
заданном значении аргумента. Ограничиваясь
определенным числом членов ряда, находим
значение функции с точностью, которую
можно установить путем оценивания
остатка числового ряда либо остаточного
члена
формул Тейлора или Маклорена. Если
данный ряд знакопостоянный, то ряд,
составленный из отброшенных членов,
сравнивают с бесконечно убывающей
геометрической прогрессией. В случае
знакочередующегося ряда используется
оценка
,
где
-
первый из отброшенных членов ряда.
5.1.Оценить погрешность приближенного равенства
Решение. Погрешность этого приближенного равенства
определяется суммой членов, следующих
после
в разложении
:
,
или
Заменив каждый из сомножителей
,…
меньшей величиной
,
получим неравенство
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:
,
т.е.
5. 2.Вычислить
с точностью до 0,00001.
Решение. Используя разложение в ряд, получаем
.
Определим число так, чтобы погрешность приближенного равенства
не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой
погрешности, данной в предыдущем примере.
Полагаем
,
тогда:
т.е.
.
Путем подбора определим, при каком значении будет
выполняться неравенство
.
Пусть
,
тогда
,
т.е.
.
Пусть
,
тогда
,
т.е.
.
Принимаем
.
.
Вычисляем каждое слагаемое с точностью
до 0,000001, для того чтобы при суммировании
не получить погрешность, превышающую
0,00001. Окончательно получаем
.
5.3. Вычислить
с точностью до 0,00001.
Решение. Имеем
.
Получен знакочередующийся ряд,
удовлетворяющий условиям сходимости
признака Лейбница, поэтому допускаемая
погрешность по абсолютной величине
должна быть меньше первого из отброшенных
членов ряда. Нетрудно видеть, что
,
поэтому первый из отброшенных членов
равен
и
.
Вычисляем сумму и получаем
.
5.4. Пользуясь разложением
в ряд, вычислить
с точностью до 0,0001 .
Решение.
.
Достаточно взять три члена ряда, так
как
Тогда
5.5. Вычислить
с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся разложением
в ряд, полагая
.
Имеем
.
Четвертый и следующие за ним члены
отбрасываем, так как четвертый член
меньше 0,0001. Итак
5.6. Вычислить
с точностью до 0,001.
Решение. Так как
является ближайшим к числу 130 кубом
целого числа, то целесообразно число
130 представить в виде суммы двух слагаемых:
.
Тогда
Четвертый член меньше
,
поэтому его и следующие за ним члены
можно отбросить. Итак,
,
т.е.
.
5.7. Вычислить
с
точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся разложением
в ряд:
,
или
,
откуда
Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.
5.8.
.
5.9.
5.10.
.
5.11.
.
5.12.
,
.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
,
5.17.
Ответы: 5.8. 3,017. 5.9. 0,340. 5.10. 0,84147. 5.11. 1,3956.
5.12. 1,140. 5.13. 0,302. 5.14. 0,464. 5.15. 1,0986. 5.16. 0,999. 5.17. 0,3679.
Вычисление интегралов. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.
5.18. Вычислить
с
точностью
Решение. Воспользуемся разложением
.
Заменив в нем
на
,
получим ряд
.
Данный ряд сходится на всей числовой
прямой, поэтому его можно всюду почленно
интегрировать. Следовательно,
,
поскольку уже третий член полученного
знакочередующегося ряда меньше
5.19. Найти интеграл
в
виде степенного ряда и указать область
его сходимости.
Решение. Воспользуемся разложением
,
получим ряд для подынтегральной функции
.
Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:
.
Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.
Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до .
5.20.
.
5.21.
.
5.22.
.
5.23.
.
5.24.
.
5.25.
.
5.26.
.
5.27.
.
5.28.
.
5.29.
Ответы: 5.20. 0,070. 5.21. 0,223. 5.22. 0,162 5.23. 0,480.
5.24. 0,054. 5.25. 0,484. 5.26. 0,487. 5.27. 0,156. 5.28. 0,059.
5.29. 0,103.
Приближенное решение дифференциальных уравнений. В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
,
используется ряд Тейлора
,
где
,
а остальные производные
находятся
путем последовательного дифференцирования
уравнения
и подстановки начальных данных в
выражения для этих производных.
Решение задачи Коши
для
дифференциального уравнения можно
также искать в виде разложения в степенной
ряд
с неопределенными коэффициентами
.
5.30. Найти пять первых членов разложения
в степенной ряд решения
,
если
.
Решение. Из данного уравнения находим,
что
.
Дифференцируем исходное уравнение:
и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд
Тейлора, получаем
.
5.31. Найти шесть первых членов разложения
в степенной ряд решения дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям
.
Решение. Подставим в уравнение начальные условия, получим:
Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем
.
5.32.Используя ряд
,
записать четыре первых ненулевых члена разложения в
степенной ряд решения задачи Коши
Решение. В ряде
полагаем
,
с учетом начального условия находим,
что
.
Продифференцируем ряд
и подставим полученную производную
,
а также
в
виде
ряда в данное дифференциальное уравнение. Тогда
+
Теперь в правой и левой частях последнего
равенства приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях разности
(т.е. при
.
Получаем уравнения:
из которых, учитывая, что , находим:
Следовательно, искомое разложение решения имеет вид
.
Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения
5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
5.37.
Методом последовательного
дифференцирования найти первые
членов разложения в степенной ряд
решения дифференциального уравнения
при указанных начальных условиях.
5.38.
5.39.
5.40.
5.41.
5.42.
Ответы: 5.33.
.
5.34.
.
5.35.
.
5.36.
.
5.37.
.
5.38.
.
5.39.
.
5.40.
.
5.41.
5.42.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления / Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 2001.Т.2.- 576 с.
2. Воробьев Н.Н. Теория рядов/ Н.Н. Воробьев. - М.: Наука, 1986. - 408 с.
3. Власова Е.А. Ряды / Е.А. Власова.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.-612 с.
4. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / П.И. Романовский. - М.: Наука, 1980.-336 с.
5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: «Оникс 21 век» «Мир и образование», 2003. Ч. 2.
6. Индивидуальные задания по высшей математике: Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: учеб. пособие/ А. П. Рябушко и др.; под общ. ред. А. П. Рябушко.- 3-е изд.- Минск.: Выш. шк., 2005.-367 с.
7. Зимина О.В. Высшая математика./ О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова.- М.: Физико-математическая литература, 2001.-368 с.
8. Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов/ А.В. Ефимов, Б. П. Демидович; под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука,1986. –Ч.2.-368 с.