Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800672

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

28.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 356 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Рис. 2.10. Размещение критической области при различных альтернативных гипотезах

Замечания.

1.Обычно на этапах 4—7 используют статистику, квантили которой табулированы: статистику с нормальным распределением N(0, 1), статистику Стьюдента, или Фишера. Однако интерпретацию решения и вычисление вероятностей ошибок, допускаемых при проверке гипотез, удобно проводить для статистики, являющейся непосредственно оценкой параметра , т. е. статистики .

2.В табл. 2.1 и 2.2 приводятся критерии значимости для проверки гипотез о дисперсиях и средних нормально распределенных генеральных совокупностей.

Таблица 2.1. Критерии значимости для проверки гипотез

о дисперсиях нормально распределенных генеральных совокупностей

Про-

Область при-

Альтернативная

веряе

гипотеза

Предпо-

Статисти-

Распределе-

нятия

ряе-

ложение

гипотезы

и область

мая

ка Z-

ние

принятия

относи-

для

ги-

критерия

/ )

гипотезы

для

тельно m

двустороннего

поте-

правостороннего

критерия

за

критерия

извест-

( )

m но

(

) <

( )

)

(

m неиз-

( −1)

(

−1)

вестно,

(

−1)

(

−1)

(

−1)

(

−1)

Продолжение табл. 2.1.

;

( , )

известны

( ,

)

( , )

(

−1,

;

ны,

−1)

= ,

( −1,

неизвест-

− 1)

−1)

КритерийБартлеттадлясравнениядисперсийнесколькихсовокупностей

Предположение

Статистика

Распределение

Областьпринятия

относительно

Z-критерия

гипотезы

( /

)

неизвестны,

∑

(

−

( −1)

в >

( −1)

i=1,2,…,l

−1)

=1 −1

= 1+

(

)

∑

−

1=1(

−1),

∑(

)

Таблица 2.2. Критерии значимости для проверки гипотез о средних нормально распределенных генеральных совокупностей

Прове-
ряемая	Предположение		Статистика		Распределение
гипотеза	относительно m		Z-критерия		:(	/ )
		известна			(0,1)
		известна			(0,1)
				−
=		неизвестна,		/√	(	−1)


				−
				/√
				/√

Продолжение табл. 2.2.

известны

(0,1)

−

(

− 2)

ны, причём гипо-

неизвест-

теза

−

прини-

= (

(

− 1)

−2+

=мается,

(

−1)

ны,и

−

−2

(

),где

теза

неизвест-

причём гипо-

(

)

отклоня-

= ,

(

)

(

)

ется,

Продолжение табл. 2.2.

Альтернативная гипотеза

Область принятия

и область

принятия

гипотезы

для

гипотезы

для правостороннего критерия

двустороннего критерия

−

/√

−

/√

| −

( −1)

/√

−

< ( −1)

−

√

−

( + −2)

Продолжение табл. 2.2.

−

(

+ −2)

−

< ( )

−

( )

3. В статистических пакетах обычно не используется значения задаваемого уровня значимости . Как правило в выходных данных содержатся выборочные значения zB статистики критерия Z и вероятность того, что случайная величина Z (при условии, что верна гипотеза ) превышает выборочное значение zB, т. е. значение

=> | в|

Эта вероятность называется р-значением (иногда она обозначается как p-level).

2.3.4. Проверка гипотез о виде распределения

	, ,…,	по критерию
Пусть		— выборка наблюдений	случайной
величины X.
	Проверяется гипотеза , утверждающая, что X
имеет функцию распределения F(x).
Проверка гипотезы Н0 при помощи критерия			осуще-

ствляется по следующей схеме. По выборке наблюдений находят оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения случайной величины X. Далее, область возможных значений случайной величины X разбивается на r мно-

жеств	например, r -интервалов в случае, когда X —
непрерывная, ,	случайная величина, или r групп, состоящих из
отдельных значений, для дискретной случайной величины X.
Пусть пк — число элементов выборки, принадлежащих
множеству	к,к=1, 2, ...,r	Очевидно, что	∑	=	. Исполь-
		54

зуя предполагаемый закон распределения случайной величины X, находят вероятности рк того, что значение X принадлежит

Очевидно, что= [		], .= 1,2,…, .
множеству к, т. е.			Полученные результаты
можно представить в	виде табл. 2.3:
	∑	= 1

Таблица 2.3. Исходная таблица для проверка гипотез о виде распределения

по критерию

	Число наблюдений		Всего
		…
Наблюдаемое		…	n
Ожидаемое		…	n

Выборочное значение статистики критерия вычисляется по формуле

( − )

в =

Гипотеза Н0 согласуется с результатами наблюдений на уровне значимости , если

с			(	− −1)		—	в <	( −	−1)	,
							квантиль порядка 1 - распределения
где	(	−		−1)
					степенями свободы, а				— число неизвестных

параметров распределения, оцениваемых по выборке; если же

в	( −	− 1), то гипотеза Н0 отклоняется.
	Пример 1.1. Проверить гипотезу о нормальном распре-
делении по выборке 55 наблюдений:
	18,3	15,4	17,2	19,2	23,3	18,1	21,9
	15,3	16,8	13,2	20,4	16,5	19,7	20,5
	14,3	20,1	16,8	14,7	20,8	19,5	15,3
					55

19,3	17,8	16,2	15,7	22,8	21,9	12,5
10,1	21,1	18,3	14,7	14,5	18,1	18,4
13,9	19,1	18,5	20,2	23,8	16,7	20,4
19,5	17,2	19,6	17,8	21,3	17,5	19,4
17,8	13,5	17,8	11,8	18,6	19,1

Принять = 0,1.

Решение. Объем выборки п = 55. Для проверки гипотезы о нормальном распределении нужно найти оценки математического ожидания и дисперсии. Имеем

=		=	1		17,87

	1			(		)
= =		− 1			−		8,62

Воспользуемся результатами группировки выборки, расширив первый и последний интервалы. Результаты группировки приведены во втором и третьем столбцах табл. 2.4.

Таблица 2.4 Промежуточные результаты для проверки гипотезы о нор-

мальном распределении по данным примера 1.1

Номеринтервала, k	Границыинтервала,	Наблюдаечастотамая ,	Вероятность попаданияв интервал, ,	Ожидаемая частота,	−
				−	−

1	- -12	2	0,0228	1,254	5,274	0,725	0,010
2	12-14	4	0,0731	4,020
3	14-16	8	0,1686	9,273	9,273	-1,273	0,175
4	16-18	12	0,2576	14,168	14,168	-2,168	0,332
5	18-20	16	0,2484	13,662	13,662	-2,338	0,400
6	20-22	10	0,1519	8,354	12,633		0,011

					Продолжение табл. 2.4.
7	22-+	3	0,0778	4,279		0,336
				56

Сумма

1,0001

0,928

В четвертом столбце табл. 2.4 приведены вероятности рк, вычисляемые по формуле

где ак и bк —= [	] = Ф	−Ф	,k=1,2,…,7,

соответственно нижняя и верхняя границы интервала к, а значения функции Ф(х) берутся таблицы (см. Приложение 1). В пятом столбце приводятся ожидаемые частоты прк, а в шестом — значение прк после объединения первых двух и последних двух интервалов.

Так как после объединения осталось r=5 интервалов, а по выборке определены оценки двух параметров – математического ожидания и дисперсии, т.е. l=2, то число степеней свободы равно 5-2-1=2. По таблице квантилей распределения хи-

квадрат находим	Выборочное значение стати-
стики критерия равно, (2) = 4,61.	следовательно, гипотеза о

в = 0,928,

нормальном распределении принимается.

2.4. Методы статистического анализа и аппроксимация результатов статистического моделирования (на примере регрессионного анализа)

Во многих случаях исследуются объекты, характеризующиеся несколькими признаками. Например, системы связи характеризуются следующими показателями:

—информационными (помехоустойчивость, скорость, пропускная способность и задержка передачи информации);

—технико-экономическими (стоимость, габаритные размеры, масса);

—технико-эксплуатационными показатели (среднее время безотказной работы, температурный диапазон работы и т.д.).

Совокупность данных такого типа представляет выборку из многомерной генеральной совокупности. Для таких данных интерес представляет не только определение характери-

стик распределения каждого признака, но и то, насколько тесно эти признаки связаны между собой, можно ли по значению одного признака сделать какие-либо выводы о предполагаемом значении другого признака и т. д.

Регрессионный анализ — это один из наиболее известных статистических методов, применяемых для решения задач такого рода. Основная цель регрессионного анализа состоит в определении связи между некоторой характеристикой Y на-

блюдаемого явления или объекта и величинами						,
которые обусловливают, объясняют изменения Y.				Переменная
				, ,…,
F называется зависимой переменной (откликом), объясняющие
переменные			называются предикторами, регрессо-
рами или	факторами.
		, ,…,
Например, в качестве показателей эффективности сис-
темы связи используются:
- коэффициент использования канала по мощности (					);
- коэффициент использования канала по полосе					частот
( );

- коэффициент использования канала по пропускной способности ( ).

Нас может интересовать, как зависят эти показатели от показателей функциональной и технической эффективности (например, диапазона частот помехового сигнала, МГц ( ), полосы пропускания приемного устройства ( ), погрешность измерения уровня сигнала ( ) и т.д.); конструктивных показателей, показателей состава и структуры, показателей надёжности и т.д.

Для ответа на этот вопрос необходимо собрать данные по системам связи со сходными параметрами.

В данном случае нужно выяснить, как эти факторы связаны с одним из коэффициентов использования канала, какой фактор является наиболее важным при прогнозе эффективности передачи сообщения, имеется ли в исходных данных системы связи, обладающие какими-либо специфическими свойствами (выбросы).

Если в рассматриваемом примере в качестве объясняющих факторов использовать только три определенных выше фактора , , , то регрессионная модель может быть записана в виде

					,
где f ( , , ) —	детерминированная составляющая отклика
где f ( , , ) —	=	(	, ,	) +
Y, зависящая от ,	, , — случайная составляющая.

Случайная составляющая обусловлена влиянием на эффективности передачи сообщения множества неучтенных факторов, а также ошибок наблюдений или измерений зависимой переменной.

Существуют различные регрессионные модели, опреде-

ляемые выбором функции

регрессия

)

простая линейная(

,…,

;

множественная

регрессия

;

+ +

полиномиальная регрессия

+ ;

= +

+ +

регрессионная модель общего вида:

, ,…, )+ ;

= + ( , ,…,

)+ +

(

торов.(

, ,…,

), i= 1, 2, ..., k-1, — заданные функции фак-

где

Коэффициенты , ,…,

называются параметра-

ми регрессии.

В приведенных регрессионных моделях ры , ,…, , входят линейно. Такие модели называют ли-

нейными (по параметрам) моделями, а математические ме-

тоды анализа этих моделей — линейным регрессионным анализом.

Модель		нелинейна по парамет-
рам. В некоторых=случаях	нелинейные модели с помощью
рам. В некоторых=случаях	+

специальных линеаризирующих преобразований могут быть преобразованы в линейные. Рассмотрим несколько примеров.

Функция

при x>0 c помощью логарифми-

рования

замены

переменных

преобразуется

так:

ln =

Произведя

замену

переменных

получим линейную по параметрам

функцию

ln ;

= ln

;

= ln

преобразуется так:

Функция

или

После замены переменных

полу-

чим

3. Логистическая функция

при помощи

преобразования

принимает вид:

После выбора вида регрессионной модели, используя результаты наблюдений зависимой переменной и факторов, нужно вычислить оценки (приближенные значения) параметров регрессии, а затем проверить значимость и адекватность модели результатам наблюдений.

2.4.1. Простая линейная регрессия

Так называется простейшая регрессионная модель описывающая зависимость переменной Y от одного фактора х.

Пусть ( , ) i= 1, 2, 3, ..., п — выборка наблюдений из двумерной генеральной совокупности. Предварительное представление о зависимости между случайными величинами Х и Y можно получить, отображая элементы выборки как точки на

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 356 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202223.31 Mб25Учебное пособие 800668.pdf
#
01.05.202225.44 Mб18Учебное пособие 800669.pdf
#
01.05.2022409.79 Кб4Учебное пособие 80067.pdf
#
01.05.202225.75 Mб4Учебное пособие 800670.pdf
#
01.05.202226.29 Mб6Учебное пособие 800671.pdf
#
01.05.202228.85 Mб24Учебное пособие 800672.pdf
#
01.05.202229.01 Mб7Учебное пособие 800673.pdf
#
01.05.202230.3 Mб3Учебное пособие 800674.pdf
#
01.05.202231 Mб2Учебное пособие 800676.pdf
#
01.05.202241.17 Mб17Учебное пособие 800677.pdf
#
01.05.202250.34 Mб3Учебное пособие 800679.pdf