Учебное пособие 800672

Рис. 5.5. Иллюстрация к ординарности потока событий

В математике символом о(х) обозначается бесконечно малая высшего порядка по сравнению с той, которая стоит в

Для ординарного потока можно пренебречь возможностью совмещения на элементарном участке двух или более событий, в частности, возможностью одновременного появления двух или более событий. Примерами ординарных потоков событий могут служить поток деталей, поступающих на конвейер для сборки, поток отказов технического устройства, поток автомашин, прибывающих на станцию техобслуживания. Примером неординарного потока может служить поток пассажиров, прибывающих в лифте на данный этаж. Мы будем в дальнейшем рассматривать лишь ординарные потоки событий.

Введем новое важное понятие — интенсивность потока. Рассмотрим ординарный поток событий. Обозначим ( , )случайное число событий, попадающих на элементарный участок ( , + )(рис. 5.5). Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

[ ( , )] = 0 ( , ) +1 ( , )+ ( , ),

где а — сколь угодно большая, но не стремящаяся к бесконеч-

ложениях естественно предположить, что это именно так), то он называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока событий в момент ,

Очевидно, среднее число событий ординарного потока, приходящееся на интервал времени , примыкающий к точке t (рис. 5.6), равно

[ ( , )] = ∫ ( ) (5.5)

202

Рис.5.6.Среднеечисло событийординарного потока (иллюстрация кформуле5.5)

В частности, при постоянной интенсивности потока

ется потоком без последействия, если для любых неперекры-

эти участки, представляют собой независимые случайные величины, т. е. вероятность попадания любого числа событий на один из участков не зависит от того, сколько их попало на другие.

Рис 5.7. Иллюстрация потока без последействия.

Отсутствие последействия в потоке означает, что для любого момента времени будущие моменты наступления событий потока (при t > ) не зависят от того, в какие моменты наступали события в прошлом (при t < , см. рис. 5.8). Доказано, что если поток без последействия, ординарен и имеет постоянную интенсивность , то число событий X(t, ), попа-

Можно доказать, что и при непостоянной интенсивности потока ( ) число событий X(t, ), попадающих на участок времени т, примыкающий к моменту t, также распределено по закону Пуассона (5.7), но в нем параметр а зависит не только от длины участка , но и от того где этот участок расположен:

следействие, называется пуассоновским потоком. Его связь с распределением Пуассона ясна из формул (5.7), (5.9). В дальнейшем, имея дело с пуассоновскими потоками, мы часто будем встречаться с пуассоновскими распределениями тех или других с. в.

3. Стационарность. Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий иа участок длины зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени 0t этот уча-

Отсюда следует, в частности, что для стационарного потока

Рис. 5.10. Иллюстрация стационарности потока.

Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, т. е. ординарный, стационарный и без последействия, называ-

ется простейшим (или стационарным пуассоновским) пото-

ком. Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке времени длины х наступит ровно k событий, определяется по формуле (5.7), где = , — интенсивность потока.

Простейшим этот поток назван потому, что исследование систем, находящихся под воздействием простейших потоков, проводится самым простым образом.

Следующей ступенью сложности по сравнению с про-

стейшим является поток с ограниченным последействием. Бу-

бытиями представляют собой независимые случайные величины. Иногда поток с ограниченным последействием называют рекуррентным; это связано с тем, что при его моделировании применяется рекуррентная (последовательная) процедура:

пределения интервала времени Т между любыми двумя соседними событиями (рис. 5.11). Найдем сначала функцию распределения F(t) с.в. Т. По определению

Рис. 5.11. Распределение интервала времени Т между любыми двумя соседними событиями

Для выполнения условия (5.10) надо, чтобы интервал Т принял значение меньшее, чем t (как показано на рис. 5.11); а для этого нужно, чтобы на участке времени длиной t появилось хотя бы одно событие потока. Введем в рассмотрение событие А={хотя бы одно событие наступило на участке t). Найдем вероятность противоположного события: A»{ни одного события не наступило на участке t). Но мы знаем, что число событий X(t), попадающих на интервал t (где бы он ни находился), распределен по закону Пуассона (5.7), т. е. { ( ) =

= − / !, где = , т. е.

Это распределение называется показательным распределением. График плотности (5.12) дан на рис. 5.12.

Рис.5.12.Плотностьвероятностипоказательного распределения

,

следует из отсутствия последействия в простейшем потоке. Таким образом, интервалы времени между соседними

событиями простейшего потока распределены одинаково по показательному закону (5.13) и независимы между собой; значит, простейший поток представляет собой поток Пальма. Поток Пальма, отличный от простейшего, получится, если интервал между соседними событиями представляет собой неотрицательную случайную величину с отличным от показательного распределением (например, представленном на рис. 5.13).

Рис. 5.13. Распределение отличное от показательного

207

для получения потока отличного от простейшего (поток Пальма)

Последействие в таком потоке имеется, потому что условный закон распределения оставшейся части времени до появления ближайшего следующего события зависит от того, какое время т уже прошло; в этом мы убедимся в дальнейшем.

5.4.УравненияКолмогорова.Предельныевероятностисостояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса из примера 1, граф которого изображен на рис. 5.1. Будем полагать, что все пере-

воздействием потока "окончаний ремонтов" первого узла и т.п. [17, 86].

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 5.14). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: , , , .

208

Рис. 5.14. Граф системы состояний случайного процесса

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 5.14) можно суммарным простейшим потоком с интенсивно-

него за время Δt), равна по теореме умножения вероятностей: