Учебное пособие 800466

УДК 621.37:519.21(075.8) ББК 32:22.19я7

T 51

Токарев А.Б. Теория вероятностей и случайные процессы в радиотехнике: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (2,9 Мб) / А.Б. Токарев. – Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017. Ч. 2. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA с разрешением 1024x768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. – Загл. с экрана.

Учебное пособие предназначено для освоения студентами дисциплины «Теория вероятностей и случайные процессы в радиотехнике». Оно определяет математический аппарат, применяемый при анализе характеристик случайных процессов, наблюдаемых в радиотехнических цепях, а также принципы обработки случайных сигналов в радиотехнических устройствах различного назначения.

Издание соответствует рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и случайные процессы в радиотехнике» для студентов направления 11.03.01 «Радиотехника», направленности «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов».

Табл. 1. Ил. 45. Библиогр.: 12 назв.

Рецензенты: кафедра инфокоммуникационных систем и технологий Воронежского института МВД РФ (начальник д-р техн. наук, проф. О.И. Бокова); д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Пастернак

©Токарев А.Б., 2017

©ФГБОУ ВО «Воронежский

государственный технический университет», 2017

ВВЕДЕНИЕ

Научный подход к описанию явлений окружающего нас мира предполагает, в частности, необходимость установления количественных закономерностей между разными сторонами анализируемого явления, а также возможность предсказания направления развития наблюдаемых явлений при продолжении или повторении наблюдений. Во многих научно-технических областях подобные закономерности и методы предсказания опираются на принцип детерминизма. Детерминистический подход предполагает, что при воздействии любого конкретного сигнала на систему с известными свойствами, реакция системы может быть рассчитана со сколь угодно высокой точностью для произвольного по длительности интервала наблюдения.

Преимуществами детерминистического подхода являются относительная простота математического аппарата, четкость и однозначность получаемых формулировок и выводов. Однако, ситуации, когда и исследуемая система, и воздействия на неё точно известны, встречаются на практике далеко не всегда. Например, детальный контроль всей наблюдаемой на практике совокупности воздействий на радиотехническую систему принципиально невозможен, а потому и исследование свойств подобных систем и действующих в них сигналов возможно лишь со статистических позиций.

В настоящем пособии рассматриваются типовые характеристики случайных сигналов, наблюдаемых в радиотехнических цепях, а также анализируется изменение этих характеристик при линейных и нелинейных преобразованиях; рассматриваются типовые для радиотехнической практики виды помех, анализируются основы оптимальной обработки сигналов при передаче и приёме информации в цифровой и аналоговой форме. В центре внимания оказываются стационарные случайные процессы, обрабатываемые в соответствии со спектральной и корреляционной теориями. Для приобретения зна-

3

ний об особенностях обработки нестационарных случайных процессов рекомендуется обратиться к специализированным источникам, некоторые из которых приведены в списке литературы в конце настоящего учебного пособия.

4

1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1.1. Детерминированные и случайные сигналы

При описании сигналов, наблюдаемых в радиотехнических системах, могут быть использованы детерминистический и статистический подходы. Первый предполагает, что сигнал может быть задан конкретной математической функцией, т.е. является точно известным для любого, произвольно выбранного момента времени вдоль всей временной оси. Однако для целей передачи информации подобные сигналы бесполезны, поскольку полностью детерминированный сигнал информации не содержит. Статистический подход предполагает неопределенность в отношении значений, принимаемых сигналом, из-за которой «поведение» сигнала возможно описать лишь с вероятностных позиций. Многократные наблюдения за случайными сигналами в неизменных условиях дают, тем не менее, каждый раз новые зависимости контролируемой величины (напряжения, тока и т.п.) от времени. Эти, соответствующие конкретному опыту зависимости – детерминированные функции времени, называемые реализациями, условимся в дальнейшем обозначать (1) (t) , (2) (t) … (i) (t) , где верхний индекс, записываемый в круглых скобках (например, «(i)»), будет означать порядковый номер реализации. Существует конечное или даже бесконечное множество потенциально возможных реализаций (форм или «траекторий») случайного сигнала и до проведения опыта невозможно установить, какие именно значения сигнала реализуются на практике.

Итак, случайный процесс (СП) – это явление, развивающееся вдоль оси времени случайным образом. Предсказать

5

заранее форму реализации СП невозможно; можно лишь найти статистические данные, характеризующие с вероятностных позиций возможность наблюдения тех или иных реализаций. Причем указанная неопределенность касается как поведения СП в отдельной временной точке или, как ещё говорят, в отдельном «временном сечении», так и взаимосвязи совокупности значений, соответствующих отдельной реализации СП при её изменении вдоль оси времени. Даже регистрация продолжительного фрагмента какой-то реализации процесса (t), как правило, не может обеспечить возможность точного предсказания значений этой же реализации в последующие моменты времени; можно говорить лишь о вероятностных свойствах процесса в одном или нескольких последующих временных сечениях. Характеристики СП, характеризующие его свойства в отдельном временном сечении, принято называть одномерными, а аналогичные характеристики сразу для нескольких временных сечений – многомерными.

(t) , В

(1) (t)

(2) (t)

(i) (t)

Рис. 1.1. Пример возможных реализаций случайного процесса и двух его временных сечений

6

1.2. Одномерные вероятностные характеристики случайных процессов

Одномерная функция распределения вероятностей СП

характеризует зависимость от аргумента x1 вероятности наблюдения в момент времени t1 значений этого СП, меньших чем x1

ства функции распределения случайной величины (см. первую часть настоящего пособия [1]). Наиболее важные из них состоят

вследующем:

1.Функция распределения вероятностей (ФРВ) принимает значения

Примечание: Обратите внимание, что во всех приведенных выше соотношениях t1 играет роль внешнего параметра. Каких-либо общих

«правил поведения» ФРВ СП вдоль оси времени не существует, т.е. влияние этого параметра на изменение F (x1;t1 ) может быть произ-

вольным и определяется лишь физической сутью проводимого эксперимента.

7

Примечание: Если для случайных величин функция распределения или плотность вероятности несут в себе всю информацию об их свойствах, то для случайных процессов аналогичные им одномерные законы распределения содержат лишь часть сведений о процессе. Они характеризуют ситуацию лишь в отдельном временном сечении, не позволяя узнать ни что было с реализацией процесса до контролируемого момента времени t1, ни что с ней будет после этого момента, т.е. формируют одномоментное, «статическое» представление о процессе. Одномерные законы распределения

принципиально не могут содержать никаких сведений о динамике развития процесса во времени, а потому многие обладаю-

щие идентичными одномерными характеристиками случайные процессы могут весьма существенно отличаться друг от друга по своему виду (по динамике развития).

1.3. Многомерные вероятностные характеристики случайных процессов

Многомерная функция распределения вероятностей СП характеризует для произвольной выборки СП вероятность наблюдения в моменты времени t1 , t2 ,… tn значений меньших

чем x1 , x2 ,… xn

Подобная функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Она безразмерная и принимает значения

F (x1,... xi1... xn ;t1... ti ... tn ) F (x1,... xi 2... xn ;t1... ti ... tn ) . (1.11)

9