Учебное пособие 800466

Наличие удвоенных и суммарных частот объясняет, почему спектр процесса расширяется именно до 2Fmax, а равное единице первое слагаемое указывает на неизбежное появление на выходе ненулевой постоянной составляющей, порождающей дельта-функцию на нулевой частоте.

4.2. Амплитудное и фазовое детектирование узкополосных нормальных случайных процессов

4.2.1. Понятие огибающей и фазы случайного процесса. Особенности использования преобразователя Гильберта для формирования ортогональной компоненты СП

Как уже говорилось в п. 2.5.6, узкополосными называют СП, центральная частота спектра которых существенно превышает их ширину, а реализации представляют собой квазигармонические колебания

При выполнении условия узкополосности закон изменения амплитуды сигнала определяет медленная функция времени A(t) , называемая огибающей СП, а правило изменения во времени фазы (t) называют полной фазой процесса.

Если ввести в рассмотрение вспомогательный процесс

то для расчета огибающей и полной фазы окажутся справедливыми правила

A(t) 2 (t) 2 (t) , (4.27)

(t) arctg (t) . (4.28)

(t)

80

Ряд свойств определяемой правилом (4.27) огибающей A(t) можно получить, даже не конкретизируя правило фор-

мирования вспомогательного СП. Для этого запишем подробнее производную огибающей СП

и отметим тот факт, что в моменты времени, когда (t) 0 , неравенство

Учет знаков производной и самого процесса показывает, что функция A(t) действительно огибает пиковые значения процесса

(t) и в точках соприкосновения скользит по касательной относительно реализаций (t) .

Свойствами (4.29), (4.30) огибающая (4.27) будет обладать независимо от способа формирования вспомогательного процесса (t) . Если же в соответствии с [4, 8, 11] формировать(t) как результат преобразования Гильберта (см. прил. 6), то анализ статистических характеристик огибающей заметно упрощается, поскольку сопряженный по Гильберту с исходным СП приобретает ряд интересных особенностей.

Во-первых, поскольку преобразователь Гильберта является фазовращателем и не изменяет интенсивности спектральных составляющих, то спектральные плотности мощности процессов на его входе и выходе останутся совпадающими. В соответствии с теоремой Винера-Хинчина (см. п. 2.3) это означает совпадение и дисперсий, и корреляционных функций этих процессов

81

Изменяя порядок суммирования (т.е. перенося операцию усреднения по ансамблю реализаций внутрь интеграла), и учитывая,

что m1 (t) (x) B (t x) , запишем

т.е. функция B ( ) с точностью до знака может быть рассчитана как преобразование Гильберта от B ( ) , а взаимная спектральная плотность мощности по правилу

С учётом четности спектральной плотности мощности несложно заметить, что косинусные компоненты двух интегралов будут компенсировать друг друга, а синусные – дополнять

82

Из (4.33) следует, что в совпадающие моменты времени, т.е. при 0 процессы на входе и выходе преобразователя Гильберта являются некоррелированными.

4.2.2. Амплитудное и фазовое детектирование нормального шума

Для выделения огибающей и фазы случайных процессов используют амплитудный и фазовый детекторы. Идеальным амплитудным детектором называют устройство, которое в ответ на воздействие узкополосного СП ξ(t) формирует на своем выходе его огибающую A(t). Напряжение на выходе идеального фазового детектора, формируемое в ответ на воздействие узкополосного СП ξ(t), определяется набегом фазы, т.е. пропорционально Δφ(t) = Θ(t) – 2π·f0·t. Устройствами, реализующими операции детектирования, могут служить амплитудный коллекторный детектор [6, c. 295-296], диодный детектор [6, c. 297], фазовый диодный детектор [6, c. 298-299] и другие устройства.

Для определения характеристик процессов, возникающих при детектировании нормального шума, обратим внимание на то, что:

а) процесс (t) , возникающий на выходе линейного преобразователя Гильберта в ответ на нормальное входное воздействие (t) , обязан также иметь нормальное распределение;

б) согласно (4.33) значения этих процессов в совпадающие моменты некоррелированы, что при нормальном законе распределения означает их независимость;

в) из равенства дисперсий этих процессов (см. (4.31)) следует, что совпадают и эффективные значения этих процес-

сов ;

г) наконец, мгновенные (т.е. соответствующее конкретному моменту времени t) значения огибающей и фазы формируются в соответствии с (4.27) и (4.28) из мгновенных значений самого СП (t) и процесса (t) , сопряженного с ним по Гильберту.

83

Таким образом, расчет характеристик огибающей A(t) и фазы (t) фактически не отличается от определения свойств полярных координат точки, декартовы координаты которой подчиняются нормальному распределению. Используя результаты анализа из [1, c. 160-161], зафиксируем, что совместная двумерная плотность вероятности огибающей и фазы будет подчинятся соотношению

WA (r,) r W (r cos , r sin ), r0, , (4.34)

Из (4.34) по аналогии с [1, (6.49), (6.50)] можно установить: 1. Для нормального случайного процесса (t) с нулевым средним значением огибающая имеет релеевский закон распределения с параметром σ, равным эффективному значению воздействия

При этом, в соответствии со свойствами распределения Релея

4.2.3. Амплитудное и фазовое детектирование смеси нормального шума и гармонического сигнала

Пусть теперь детектированию подвергается смесь детерминированного гармонического сигнала и узкополосного нормального шума

84

где U0, ω0 и ψ0 – некоторые константы. Смесь шума с детерминированным сигналом также будет подчиняться нормальному распределению, однако процесс (t) уже не будет ста-

ционарным; его математическое ожидание будет изменяться во времени в соответствии с детерминированной компонентой

Ортогональный к исходному процесс г (t) , формируемый на

выходе преобразователя Гильберта, будет также состоять из двух компонент: детерминированного сигнала (см. (П6.4))

ние (4.34) в виде

Для выделения из (4.41) сведений, относящихся к огибающей

Здесь введено обозначение

85

для разности между потенциально возможным значением фазы и полной фазой детерминированной компоненты сигнала в момент времени t, а также обозначение ( 0t 0 ) для упро-

щения записи подлежащего интегрированию диапазона углов. Для завершения расчетов используем табличный интеграл

где I0 () – модифицированная функция Бесселя нулевого по-

рядка первого рода (функция Бесселя для мнимого аргумента). В итоге, плотность вероятности огибающей смеси гармонического сигнала с амплитудой U0 и нормального шума с

эффективным значением σ имеет вид

Это распределение называется обобщенным законом распределения Релея или законом Релея-Райса, а краткую таблицу значений модифицированной функции Бесселя можно найти в прил. 3.

Математическое ожидание распределения Релея-Райса равно

Расчет отклика на смесь сигнала и шума фазового детектора, формирующего на своем выходе набег фазы Δφ(t), потребует расчета интеграла

86

Добавлением в показатель экспоненты двух противополож-

Окончательно, для фазы смеси гармонического сигнала с нормальным шумом получаем плотность вероятности

Рис. 4.7. Вероятностные характеристики процессов на выходе амплитудного и фазового детекторов

Итак, при близких к нулю отношениях сигнал-шум распределение огибающей смеси гармонического сигнала с нормальным шумом оказывается близким к релеевскому, а распределение фазы почти не отличается от равномерного. Однако, по мере роста интенсивности сигнала на выходе амплитудного детектора возрастает вероятность наблюдения значений близких к U0, а на выходе фазового детектора, регистрирующего набег

87

фазы, т.е. её отклонение от линейной компоненты 0t , наиболее

вероятные значения будут концентрироваться в небольшой окрестности истинного значения 0 .

Отметим, что при использовании аппроксимации

распределение Релея-Райса может быть представлено в виде

т.е. характер случайного отклика амплитудного детектора незначительно отличается от нормального с параметрами a U0 ,

A .

Взавершение, проанализируем возможность использования амплитудного детектора для обнаружения гармонического сигнала на фоне узкополосного нормального шума. Поскольку мгновенные значения огибающей на выходе детектора как при воздействии на его вход лишь шума, так и при наличии сигнала являются случайными, то в качестве контролируемой величины будем рассматривать среднее значение отклика детектора на протяженном интервале времени.

При отсутствии полезного сигнала это среднее значение будет совпадать с математическим ожиданием распределения Релея

Для смеси шума с мощным гармоническим колебанием при расчете математического ожидания будем руководствоваться (4.45), (4.46), аппроксимацией (4.49) и соотношением

88

Подставляя (4.49), (4.53) в (4.45), получим

Таким образом, для больших отношений сигнал-шум имеем

т.е. величина отклика детектора на мощное гармоническое воздействие возрастает прямо пропорционально отношению сиг- нал-шум.

Если же амплитуда гармонического колебания будет мала, то при расчете математического ожидания можно считать

Учитывая особенности квадратичной зависимости, можно отметить, что при h 1 наличие гармонической компоненты в смеси с шумом почти не влияет на величину отклика детектора. Т.е. при амплитудном детектировании слабые сигналы подавляются помехой.

89