Учебное пособие 800451
.pdf, |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найдем из |
||||||||||||||
|
|
|
|
целые числа, неравные нулю. Постоянную |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условия нормировки |
∫ |
|
∫ϐ |
|
|
|
|
|
|
=1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
∫ϐ sin |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
ϐ |
|
|
=1 , |
|
|
|
∫ (1− cos |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ϐ(1 −cos |
|
|
ϐ |
) |
|
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
ϐ =1 |
|
= |
|
|
ϐ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ϐ |
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
ϐ |
. |
|
|
|
= |
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Для собственных значений энергии имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Энергия частицы минимальна при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
соответствующая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
|
|
нахождения |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
-функция |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n .= n |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϐэнергией вϐобласти 0< < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
частицы с наименьшей |
⁄ |
sin |
|
|
sin |
|
sin |
= |
|
|
( ∫-ϐ sin |
ϐ |
)= |
|
|
|
- √ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
⁄ |
|
|
⁄= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϐ ∫ ⁄ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∫ |
|
sin |
|
|
|
|
∫ |
|
(1− cos |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0,195 = 19,5%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.133. Выполняя действия, аналогичные рассмотренным в задачах 5.131 и 5.132 , найдем собственные значения энергии и
собственные функции уравнения Шредингера. При |
=ϐ= |
||||||||||
Е |
= |
|
ħ |
(n + n + n ) , |
|
|
|||||
= |
|
|
sin |
|
sin |
|
sin |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь n ,n ,n = целые числа, неравные нулю. Порядок энергетического уровня определяется индексом (номером) элемента возрастающей числовой последовательности
81
наименьших |
значений суммы |
квадратов квантовых чисел |
||
n ,n ,n |
, т.е. |
Σ |
n + n + n |
). |
|
|
= ( |
Для первых шести энергетических уровней достаточно рассмотреть перестановки из трех чисел 1,2,3. Укажем эти перестановки, отвечающие минимальным значениям Σ и соответствующие последовательности энергетических уровней
Е ÷Е :
а) (111) →Σ =3→Е , (112) →Σ =6→Е , (122) →Σ =9→Е , (113) →Σ =11→Е , (222) →Σ =12→Е , (123) →Σ =14→Е .
б) Разность энергий 3-го и 4-го уровней
|
- |
Е |
= |
|
ħ |
|
|
- |
ħ |
= |
|
|
|
ħ |
. |
|
|
|
||||||
в) Разность энергийЕ6- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ = |
|
|
ħ . |
|
|
|||||||||
|
|
|
го уровня |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Кратность вырождения |
уровняЕ |
Е |
равна |
|
числу |
перестановок |
||||||||||||||||||
чисел 1,2,3, т.е. |
=3! =6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.134. |
|
|
|
|
Напишем |
волновое |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
уравнение для частицы, находящейся в |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
одномерном потенциальном поле, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
( - U(x)) . |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
Далее |
|
|
|
|
− ħ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
потенциальная |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положим, |
|
что |
|||||||||||||
функция U( ) |
имеет конечный скачок в точке |
= 0 |
(см. рис.). |
|||||||||||||||||||||
Представим уравнение (1) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
d( |
|
|
|
)= − |
ħ |
(Е- U) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а затем его проинтегрируем по физически бесконечно малому
промежутку (-δ, δ). При этом получим: |
|
|
|||||||
|
|
− |
|
= − |
|
|
∫ E − U Ψdx. |
|
|
В виду конечности величин E, U(x),ħ |
а также( |
Ψ(x),) |
(3) |
||||||
интеграл I в |
правой части равенства (3) можно представить так:
82
|
= |
( |
− |
)Ψdx = |
E − |
U |
Ψ(−δ) ∙2δ+O(Δx)∙2δ, |
|||||||
где |
O(Δx) |
- бесконечно малая |
более высокого порядка, чем δ. |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теперь очевидно, |
что |
|
|
|
|
|
Следовательно, левая часть |
|||||||
равенства (3) |
стремится к нулю при |
→0 |
|
это будет |
||||||||||
|
|
lim |
→ |
= 0. |
|
производной |
волновой |
|||||||
означать |
равенство левой и |
|
правой |
|
|
( → ±0) |
|
|||||||
функции |
в |
окрестности |
точки |
|
|
, т.е. непрерывность |
||||||||
производной |
/ |
в точке разрыва |
потенциальной функции. |
|||||||||||
= 0 |
|
|
|
|
U |
|
|
E |
U0 |
|
|
|
0 |
l |
x |
5.135. Для частицы, находящейся в одномерном потенциальном поле, показанном на рисунке, напишем волновые уравнения:
+ |
ħ |
= 0 для 0 < < , (1) |
|
|
|
|
|
+ |
ħ |
( |
− |
) |
= 0 для |
> |
. (2) |
||||||
|
|
Введем обозначения |
||||||||||||||||
и перепишем |
|
|
= √2 |
|
|
/ħ, |
= |
|
2 |
( |
− )/ |
|
|
|||||
|
|
|
уравнения (1), (2): |
+ |
|
= 0. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
Общие решения уравнений (3) и |
(4) имеют вид: |
|
|
|||||||||||||||
+ |
= |
= 0. |
+ |
|
. |
|
||||||||||||
По |
= |
|
+ |
|
, |
(5) |
|
|
|
|
|
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
смыслу |
|
При определении коэффициентов |
, |
и |
|||||||||||||
|
|
|
свойствами непрерывности и дифференцируе- |
|||||||||||||||
воспользуемся= 0. |
|
|
|
( ) = {, |
( |
), |
( |
)} в точках. |
= 0 и |
|||||||||
мости: |
волновой функции, |
|||||||||||||||||
= |
|
(0) = 0 |
|
( ) = ( ) |
|
′( ) = ′( ) |
|
|
||||||||||
При этом получим систему уравнений: |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= − |
, |
2 |
|
|
sin |
= |
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При делении (8) на2(7) |
получим |
= − |
|
. |
|
|
|
|
(8) |
||||||
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для дальнейшего анализа преобразуем |
уравнение (9): |
|
|
||||||||||||
|
= − |
/ . |
|
|
|||||||||||
|
= |
/ |
1+ |
|
= |
|
/ |
+1 |
( |
)ħ |
= |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
= ± |
ħ |
=. |
± |
. |
(10) |
||||
Сделаем |
обозначения: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= ± |
= |
ħ |
|
|
|
|
|||||||
|
sin , |
|
, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
M '1 |
|
|
|
M 3 |
|
|
M 'n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
M 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 2 |
5 |
3 |
|
(n 1 ) |
|
n |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение |
(10) примет |
вид |
определяют |
(11). Корни |
|
трансцендентного |
уравнения |
(11) |
собственные |
||
= ± |
значения и собственные волновые функции частицы. Нас интересует первое.
Некоторые сведения о корнях уравнения (11) получим, обратившись к графику. На рисунке приведены графики
зависимостей |
и |
|
|
. Точки пересечения лучей с |
|||
синусоидой |
,=с учетом, |
|
условия |
|
соответствуют |
||
|
= ± |
|
< 0, |
|
|
||
корням уравнения (11). |
|
|
|
|
|
||
Варьирование величины γ, т.е. характеризующей l и U0 |
|||||||
поля, изменяет углы лучей |
|
|
|
с осью ξ и, следовательно, |
|||
число корней уравнения и |
соответствующие значения энергии |
||||||
, |
= ± |
|
|
|
|
||
частицы. При этом значимыми точками пересечений |
являются |
||||||
|
|
|
84 |
|
|
|
|
точки, расположенные в четных четвертях круга. Из рисунка
видно, |
|
что |
правая |
предельная |
точка |
|
В′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отвечает |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
самом |
|
|
|
|
|
деле: |
||||||||||
минимумам |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
l U0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
+0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
= |
|
|
|
ħ |
|
∙ |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
= |
|
|
ħ |
|
и |
|
= |
ħ |
, |
т. е. |
|
|
|
|
|
(12) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Последняя |
|
|
|
|
точка пересечения луча с синусоидой для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
∙ |
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
заданных l, U |
|
|
и E<U |
|
|
будет иметь координату |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
− |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда0 |
получаем0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 − 1)∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
( |
|
|
) ħ |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5.136. Согласно формулам (4) и (5) задачи |
5.135 волновые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
(2 |
|
|
|
− 1) |
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
функции частицы |
= |
|
|
|
2 |
|
sin |
для 0< |
< |
|
и |
= |
|
|
|
|
|
|
> . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь |
|
= |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
/ |
|
и |
, |
|
|
> |
|
|
. |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
При |
условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√2 Е ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (U −Е) ħ U Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волновая функция |
( ) |
||||||||||||||||||
= = |
|
|
|
|
|
|
/ = |
|
|
|
|
|
|
|
Е / |
|
U=/2 |
|
. |
|
|
. |
|
|
|
U |
|
|
|
(3 |
|
⁄4) ħ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
принимает вид |
|
|
= |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
при этом U |
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
ħ |
|
|
|
⁄4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть и |
|
|
|
|
- Вероятности нахождения частицы внутри и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вне |
потенциальной ямы. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
= ∫ ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
( - |
|
|
|
) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
∫ |
|
sin |
= |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫ ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
( |
|
- |
|
) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
3 ⁄4). |
|
|
|
ВероятностьP |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
2 |
⁄ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
. |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Отношение |
/ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
⁄ . |
|
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Из |
граничного условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P P |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
=sin |
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
sin |
|
|
|
= |
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
√2 |
|
|
|
|
⁄= |
|
.√2 |
|
|
⁄ |
|
(√2 |
) |
|||||||||||||||||||
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
этого соотношения |
|
|
= 1+ |
|
|
и =(1+ |
|
) . |
||||||||||||||||||
С учетом |
|
|
|
|
|
|
|
|
достоверного |
события |
|
|
=1. |
|||||||||||||||||||
Далее |
учтем |
|
|
вероятность |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
P ⁄P |
|
3 |
⁄2 |
|
|
P |
3 |
⁄2 P |
|||||||||||||||||||||
Отсюда получаем |
|
= 2/ +4) = 0,5 и |
= 1- |
|
|
=0,85. P +P |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5.137 ВолновоеP (3уравнение частицыP P |
|
находящейся |
|
в |
||||||||||||||||||||||||
заданной потенциальной яме, имеет вид |
/ |
|
|
+ |
|
|
|
= 0, где |
||||||||||||||||||||||||
|
= |
2 |
Е |
/ |
ħ |
|
, |
общее |
решение которого |
= |
|
|
+ |
B |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Вероятности нахождения частицы в каждом из состояний |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
и |
B |
|
|
|
равны вследствие |
|
симметрии конечной |
одномерной |
||||||||||||||||||||||||
ямы, |
|
= |
B |
и |
= |
( |
+ |
|
|
|
)= |
2 |
cos |
|
|
. |
Пси-функция |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вещественная и её значения в середине и на краю ямы равны
|
|
|
|
= ½, |
|
|
|
( |
|
= |
|
cos |
|
= ( +2n), n= 0, 1, 2,… |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
(0)=2 |
|
|
, |
|
|
|
|
)=2 |
⁄3 |
|
2 |
|
. По условиям |
( |
)/ |
|
(0)= ½ . Отсюда |
||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
( +2n) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.+2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Получаем : |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
/ |
|
|||||||||||
Е |
= |
|
|
|
|
( |
|
ħ |
+. |
2n) |
|
|
Для основного состояния частицы (n=0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
энергия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
5.138. Частица помещена в сферически-симметричную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
потенциальную яму |
|
(r)=0 при r < |
|
|
|
|
и ( |
)= |
. В сферической |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
системе |
|
|
координат,Uкогда |
|
не |
зависит |
|
от |
|
|
|
|
, волновое |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
U r |
|
∞ |
|
|
|
= 0 , |
где |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид |
|
|
|
|
( |
|
) |
+ |
|
|
|
|||||||||
уравнение |
|
частицы |
имеет |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 0 (1)r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
=Е |
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
|
/ |
|
|
, или |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. Прибегнем к замене |
|||||||||||||||||||||
|
(r) |
|
R( |
r |
)/ |
r |
и |
представим |
уравнение |
через |
переменную |
R. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Предварительно напишем :
86
|
|
= |
|
|
|
(R/r) = - |
|
|
R + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-=0 (2)+. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R. Подставляя в уравнение, =(1), будем иметь- |
|
|
+ |
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда R= |
|
|
|
|
+ B |
|
|
|
|
|
и |
= |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
+ B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
точке r=0 |
функция |
|
|
|
. |
|
будет |
|
иметь конечное значение, если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
= |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinαr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
+В=0, т.е. B=- и |
= |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Модуль |
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
постоянную |
2: |
|
sin αr r |
|
|
Нормируя волновую функцию, найдем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
r |
dr |
=1 , 16 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
r dr |
=1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Нормированная( ) |
волновая функция имеет общий вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условию· . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Удовлетворим |
(3) |
граничному |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
)=0. |
|
|
Отсюда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ħ sin |
|
(4);r |
|
|
r |
=n |
, |
|
|
|
|
n= 1,2,… , |
r |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
ħ |
= n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим: |
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· sin |
|
|
(5). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Для=основного состояния (n=1)· sin( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сферическом поле радиуса |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вероятность нахождения частиц в· sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при этом |
dr |
|
|
= 4 |
|
|
|
|
dP |
|
= 4 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
толщиной |
|
|
для n=1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, плотность вероятностиr |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Наиболее dP dr |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· sin |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
от |
|
|
|
|
|
|
вероятное расстояние частицы в основном состоянии |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
центра ямы найдем из условия |
|
|
( |
|
|
|
)=0, т.е. |
|
|
(1- |
|
|
|
|
|
) =0 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
в |
|
|
|
|
в |
|
|
|
rв |
|
|
r ⁄2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
Вероятность нахождения частицы в основном состоянии в
|
= |
|
|
r r=в |
|
= 0,5P(50%)r. |
|
rв |
|
∫ |
в |
( |
|
)dr |
|
|
∫ |
⁄ |
(1 −cos ) |
|||
области |
< |
равна (0< |
< |
|
) = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||
dr |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.139 (см.решение задачи 5.138)
5.140. Задано сферически-симметричное поле, в котором потенциальная энергия частицы U(r)=0 при r<r и U(r)=U при r>r . Волновые уравнения частицы для указанных областей пространства имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Е/ħ |
|
|
|
|
|
|
=0 (1) |
|
и |
|
|
ħ Е U |
|
|
|
|
=0. (2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Здесь |
|
|
|
= |
, |
+ |
|
= |
2 (U − Е) |
/ |
+. Для сферически- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,, , |
< |
|||||||||||||||||||||||||||||||
симметричного |
поля |
|
пси-функция |
|
|
|
не |
|
зависит |
от |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замене |
||||
следовательно, |
оператор Лапласа |
= |
|
|
|
|
|
|
(r |
|
|
|
). При |
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(r)= |
|
|
(r)/r уравнения (1) и (2) получаем d |
|
|
|
dr |
+ |
|
|
=0 (3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
=0 (4) (см. решение 5.138). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Общие |
|
решения уравнений (3) и (4): |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
, |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
=( |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
. Соответствующие волновые |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
r |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ |
B |
|
|
)/ |
r |
(5), |
|
|
|
= ( |
|
|
|
+ |
|
B |
|
|
|
)/ |
|
(6). Из условия |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
конечности волновой функции |
|
( ) в точке =0 и функции |
|
|
( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
r |
→ |
∞ |
следует |
|
+ |
B |
|
=0 и |
|
|
=0.r |
Тогда |
|
|
r = ( |
− |
|
|
|
|
r |
||||||||||||||||||||||||||
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)/r |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
sindr |
, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Те |
|
|
же |
|
|
состояния частицы |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/r (8), где |
|
|
и |
|
|
- вещественные |
|
|
|
= |
|
|
|
sindr |
/ |
r |
(7) |
, |
|||||||||||||||||||||||
определяются |
|
волновыми |
|
|
функциями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
BИз условий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянные. |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
непрерывности и гладкости функций для |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
B |
|
|
|
) |
|= |
|
- |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
sindr) |
|
B |
(10). |
|||||||||||||||||||
(9), r |
|
|
( |
|
|
|
(r ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
)= |
|
cos |
|
, |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
|
|
|
|
= |
|
|
r |
|
r |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
− sinr /r |
|
88 |
|
B |
|
|
|
|
|
+1⁄r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совместно) |
(9) |
и (10) дают=: |
- |
( |
cos |
|
r |
−sinr=/r- |
) |
= |
(11)- (. |
|
+ |
|||||||||||||||||
1⁄r |
В sin |
r |
cos |
|
r |
|
|
|
|
sin |
|
|
r |
|
tg |
|
r |
⁄ |
|
sin |
r |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
равенстве (11) перейдем к непрерывной функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
С |
|
sin |
r |
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
и |
|
|
|
|
имеем |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
учетом |
|
|
выражений |
|
|
|
для |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
( |
Е) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12). |
|||
sin |
r = ± |
r |
|
r |
( ħ |
|
+ |
|
|
) |
± |
r |
ħ ⁄2 |
r |
|
U |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
Корни уравнения (12) определяют энергетический спектр частицы. Основному состоянию частицы соответствует условие
|
r = |
4 |
ħЕ |
r |
= |
|
|
Е = |
|
|
ħ |
. На основании (12) |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
получаем энергетические уровни частицы при |
ħ ⁄=2 |
|
ħ |
≤ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(см. задачу 5.138), т.е. при |
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
. Для |
|
|
r |
.U |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
одномерном потенциальном поле |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
5.141. Частица в |
|
|
r |
|
U |
|
|
|
|
|
|
Е r |
U |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = . |
|||||||||||||
Пси-функция основного |
|
состояния |
частицы |
|
|
||||||||||||||||||
Требуется найти постоянную |
|
|
и энергию |
частицы. |
Прежде всего, |
||||||||||||||||||
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
выражение для волновой функции подставим в уравнение
Шрёдингера |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
= 0. Производные |
- функции: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= −2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
22 |
= 2 (2 |
|
|
− 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− 2 |
|
|
Подставляя |
произ- |
||||||||||
водные |
|
|
|
и |
|
|
|
в уравнение, получим:(4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
том |
|
||||||||||||||||||||||||||
Это равенство возможно для всякого |
|
|
|
|
|
|
случае, если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− ∞) |
в + |
− 2 |
= 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
[0, |
) |
|
. Отсюда имеем: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
√ |
|
|
|
, |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
||||
|
|
|
. |
|
|
. |
|
Обозначая |
|
|
|
|
, представляем: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
|
|
|
|
|
5.142. |
|
|
Частица в потенциальном |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
состоянии |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и( ) = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
энергию |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Известно, что |
|
|
|
|
поле |
. Найти( ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
явный вид зависимости |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Введём |
|
|
|
заданную |
|
|
|
(волновую) |
|
|
функцию в уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Шрёдингера |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
( |
|
|
|
− |
|
|
) |
= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
( |
|
− ) |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 (2 |
|
|
|
−1) + |
2 |
|
( − ) = 0 ( ) = + |
|
|
(2 |
|
|
−1). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
= 0 |
|
|
|
|
= . |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|||||||||||||||||||||||
При условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5.143.( |
|
|
Электрон) |
атома водорода в состоянии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
и |
- постоянные. Найти |
|
|
, энергию |
|
электрона и |
(−. |
/ ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
/ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) |
|
Нормировка: |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
Вычисление интеграла |
|
методом неопределённых коэффициентов |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
= 1, 4 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
даёт |
|
∞ |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
/4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
= 1 |
= 1/ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ б) Уравнение Шрёдингера для заданного состояния электрона |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
атома водорода, когда |
|
|
|
- |
функция не зависит от |
|
|
и |
, |
|
имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
= |
|
|
в |
|
|
единицах |
|
СИ. |
|||||||||||||||
Поставляя + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
волновую функцию в уравнение, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− + |
|
|
|
+ |
|
|
|
= 0 |
, |
или |
+ = − |
|
|
∙ ( ) |
. Левая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
часть равенства |
- |
|
постоянная величина, правая – содержит |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменную, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любое |
значение |
|
|
|
(0, |
∞ |
) |
. |
|
Это |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
принимающую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90