Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800451

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

равенство возможно,

если

= 0 и

−

= 0. Отсюда

получаем

5.144. Пси= -функция= −электрона= −атома

водорода имеет вид

( ) = (1+

)

(1)

. Требуется найти энергию электрона.

Как видно,

волновая функция не зависит от координат и

и поэтому уравнение Шредингера представляется следующим

равенством:

= 0 (2) . Подставляя

(1) в (2), получим:

−

− 4 +

(1+ ) = 0

−4 +

= − − +

−

(0,

)

−

( )

Равенство

( )

для

∞

всякого

−4.

Из+

= 0

−

возможно при условиях:

= 0.

= 0

системы равенств

находим

= −

Сравнивая полученный результат с известным

выражением

для

энергии

электрона

атома

водорода

−

состояния

видим, что

энергия

электрона заданного

соответствует уровню

5.145. Плотность

вероятности нахождения электрона в сфери-

= 2

ческом слое радиуса

и толщины

атома водородав основном сос-

тоянии

Наиболее вероятное удаление электрона от

ядра найдём/

=из4

условия

=в0

т.е.

. Отсюда

получаем:

Пронормируем

волновую

2−

= 0

(

) = 0

функцию:

∞

∫

∞

= 1

Применив

∫

| | 4

= 1

914

метод неопределённых коэффициентов найдём значение несобствен-

ногоинтеграла:∫∞

= −(

)

∞ =

⁄4.

Тогда

∙

= 1

= 1/

волновая функция при этом

получает вид

. Вероятность нахождения электрона в

области

< в =

равна ⁄ = ∫

∙4

= 4 . ∙

∫

⁄

= −

= 1− 5/

= 0,32

( ) =

5.146. Среднее расстояние электрона от ядра в состоянии

⁄

атомаводорода<

>= ∫∞

∙4

∫∞

⁄ .

Порезультатам∞

предыдущей задачи5.145

, в =

. Несобственный∞

интеграл∫

⁄

= −

⁄

Следовательно, <

>= 4

∙

= (3/2)

отношение

= 3 .

5.147. Определим

2классическую границуполяатомаводорода

сферой

радиуса

где

первый

боровский радиус, т.е.

расстоянием

максимального сближения двух атомов, при котором

= 2

атомы практически не взаимодействуют. Тогда вероятность нахож-

денияэлектронавнутрисферы радиуса

= ∫( ) 4

| =

= 4

=− 4

= −4

−

Для основного состояния атома водорода

= 1/ , постоянная

(см. 5.146)и, следовательно,

= 1− 4(3+

)

= 1− 13

Вероятность нахождения электрона вне сферы радиуса

= 2

равна

= 1−

= 13

= 13/

5.148. Нормировочный

коэффициент

функции

состояния

электрона атома

водорода

(см.

5.146),

= 1/

а) Среднее

= (1/

)

/ .

следовательно

значение модуля кулоновской силы

< >= ∫( )

= 4

∙

∫∞

⁄

−

⁄ ∞ =

б) Среднее

значение

потенциальной

энергии

взаимодействия

электрона с ядром

вз

(

)

∞

⁄

−

= −

∫

>= ∫

= −

(−

−

)

⁄

∞

= −

= 1/4 .

5.149.

Радиальная

часть

волновой

функции

) =

⁄

- состояния электрона атома водорода, где

первый боровский радиус. Найти:

а) наиболее вероятное расстояние в электрона от ядра.

Плотность вероятности нахождения электрона на сфере радиуса

равна

= 4

⁄

. Величину в найдём из

условия,

= 0

т.е.

(

) = 0

Отсюда

∞>

получаем

;

∞

расстояние

⁄

б) среднее

= 4

= = −4 ( ( ) +

< > )

∫ 4

= 4 ∫

120

= 480

∞

функцию

состояния, получим:

∫)

∙4

∞

= 1,

Нормируя

∞

∫

=−4

(

+24

= 96

= 1В

. Среднее( )

расстояние

>= 5

5.150.

сферически-симметричном

потенциальном

поле

находится частица в состоянии

= √∞

∙

. Среднее∞расстояние

частицыотсиловогоцентра

∙4

∫

∞

>= ∫

⁄

= −

(5.151.+

Потенциальное) = 2.

поле

и в нём частица в

состоянии

среднее значение

(−

)

(1).Найти( ) =

Шрёдингера

Пси-функция (1) должна удовлетворять уравнению

получим:

(

−

)

= 0

(2)., Подставляят.е.

(1)

(2),

(3).

2 (2

− 1) = (2 / )( −

)

− = (

−2 )

Равенство (3)

имеет место для всякого

∞

)

при

−

= 0

. Отсюда имеем:

⁄

(0,

−2 = 0

(4)

= /2 .

Частицу в заданном поле с классической точки зрения можно рассматриватькакгармоническийосциллятор. Длягармонического

осцилляторасредниезначения<				/2>=< > и<			/2 > +<		>= .
Отсюда	< >=	/2 =			/2	/2 =	/8	.		(5)
Теперь найдём величину			только с волновой точки зрения,
не прибегая к	классической модели гармонического осциллятора.
не прибегая к		< >
Напишем общее нормировочное условие и выражение										для
							∞		,	(6)
среднего значения потенциальной∞					энергии∞ : 1=		∫ .			(6)
среднего значения потенциальной∞					энергии∞ : 1=		∫ .			(7)
<	>= ∫			=		∫
		94

Поделив (7) на (6), получим

∫∞

= ∫∞

(8)

Представим правый интеграл в равенстве (8) в виде

∫∞

∞

∞= −

∫∞ (

∞ ) =

−

{

− ∫

} =

∫

∞

(9)

Подставляя (9), тв.е(8).

на интеграл

, получим

и сокращая. Учитывая (4),∫находим

= 1/4

∙

(10)

Результат (10) совпадает с (5).

/ +

5.152.

Задано

состояние

частицы

импульса

Найти средние значения координаты

⁄

и=

(−

)

∞

интегри-

а)

∞

>= ∫

∫

, поскольку<

руемая<

= 0

функция по симметричному промежутку нечётная.

б) <

∞

>= ∫∞∞

−

= − ∫∞∞

= − ∫∞

−

∞

= − ∫ ∞

∞−

∞

⁄

∫

∞

⁄

∫

∞

∫∞ ∞

=∞2

∞

⁄

(1)

Нормировка:

∫∞

∫

∞

⁄

= 2

∫

=1 ∫

= 1/2 .

(2)

Подставляя (2) в (1), получим

5.153.

Из

условия

нормировки

волновой

функции

∞

= 4

∞

⁄

= 1

= 1/

находим

Электрон,

∫

от

находясь на расстоянии

ядра, создаёт в его центре электри-

ческий потенциал

. Среднее значение потенциала элек-

трона атома водорода=в−основном/

состоянии

∞

= 4

∞

−

⁄

= −4

∞

⁄

∞

= −

∫

5.154. <

>= −

, где,

- первый боровский радиус.

Итак,

Рассматривается потенциальный барьер, вид кото-

рого показан на рисунке. Частица, имея

энергию

движется

слева

направо.

Требуется найти коэффициент отражения

барьера при

а),

глубину

проникновения

частиц в область

при

> 0

б).

а)

Уравнения Шрёдингера< 0

для участков

> 0

(1)

(2),

где

+ +

= 0,

= 0

= √2

2 ( −

> 0

Решения

уравнений

(1)

(2):

(3),

(4). Слагаемые (3)

и (4)

соответствуют падающей и проходящей волн,

отражённой,

барьером волне; на участке

Из

имеется

только

проходящая

волна

поэтому

> 0

непрерывности функций

и их

производных в точке

′

= 0

′

= 0

(0) = (0) + =

(5),

(0) =

(0)

=(6).

Коэффициент отражения барьера определим отношением

квадратов амплитуд, отражённой и падающей волн					=		. Из
квадратов амплитуд, отражённой и падающей волн					=		. Из
систем равенств (5) и (6)	⁄	=	, тогда	=	(	)		.
систем равенств (5) и (6)			, тогда		(	)		.
	96				(	)
	96

б) < . В области > 0 волновая функция имеет вид

=, где = 2 ( − )/ - вещественная величина.

Слагаемое отбрасывается, Поскольку неограниченно увеличивается. Плотность вероятности обнаружить частицу в

точке

пропорционально

т.е.

Глубину> 0проникновения частиц| | =

область

( )

определим

(0)

расстоянием

на котором плотность

вероятности убывает в

> 0

раз, т.е. когда

= , или

= 1/2

= /

(

−

)

5.155.

Коэффициент

прозрачности

прямоугольного

потенциального барьера

≈

{−

∫

(

−

)

} =

−

2 ( − )

= =

5.156. Для потенциального барьера, показанного на

рисунке,

зависимость

имеет

вид

(

) =

[0,

)

По

на

промежутке

, точки пересечения( )

оценочной

формуле

прозрачности

потенциального

барьера

(

)

имеем

exp −

∫

−

( − ) .

−

∫ ⁄

−

√

5.157. Вероятность прохождения частицы сквозь

потенциальный барьер

( ) =

(1−

⁄

) для

{−

2 [ (1− ⁄ ) − ] } =

−

∫

(

)

–

(1)

Точки пересечения кривых

( ) и

| =

. Введём

обозначение

учтём

чётность

подынтегральной

функции и симметричность= ,

промежутка интегрирования.

Тогда

выражение для

примет вид

(2)

−

∫

√

−

Интеграл вычислим путём замены

sin

cos

, (3)

∫ √

−

∫ cos

Подставляя (3) в (2), получим

−

( − )

2 /

4. АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ

5.158. Энергия связи валентного электрона атома щелочного металла в состоянии, характеризуемом квантовыми

числами и

- =

равна

св

= =

) ,

(1)

где

- терм.

состояния,

(

постоянная Ридберга и - ридберговская поправка.

Из равенства (1) имеем выражение для поправки

св

(2)

Для заданных состояний

атома лития

энергии связи 5,39

− .

и 3, 54

эВ и,

следовательно, соответствующие поправки

⁄5,39

0,66∙10

∙2,07∙10

−2 = −0,41;

0,66∙10 ∙2,07∙10

⁄3,54

−

2 = −0,04.

5.159. Азимутальное и спиновое квантовые числа атома щелочного

металла равны соответствующим квантовым числам валентного

с			=	,	=	, поскольку эти числа для остова атома
электрона, т.е.				,		, поскольку эти числа для остова атома
	−1	электронами порознь равны нулю. На рисунке стрелками
		электронами порознь равны нулю. На рисунке стрелками

показаны переходы валентного электрона атома натрия из одного

заданного

состояния

другое,

именно:

обусловленного возбуждением атома

удалением3

электрона

→ 3

вообще.

Из рисунка видно, что энергия связи валентного электрона

атома натрия в состоянии 3

равна

−

где

- энергия связи электрона в состоянии

первый

потенциал возбуждения атома. Энергия

связи

электрона в

состоянии

равна

=поправка= (

−

Отсюда ридберговская

)

∙

∙ ,

∙

/( −

) −3 =

−3 = −0,88

5.160. Рассматриваются две симметричные линии спектра

атома лития (Li): головная резкой серии

2 с/ 1

(2 p)2

(3 s)2

(1) и коротковолновая той же серии

2 c

(2).

(2 p)2

Здесь R=2,07*1016 1/c – постоянная Ридберга; s и p – ридберговские поправки для S- и P-термов атома

Eсв	R	(3)
	(2 S)2

Из

(1)

(2)

имеем:

2 с

2 c( 1 2 )

(3 S)2

1x2R

(3 S)2 3 S

1 2R

(4)

(3 S)2

2 c

Перепишем (3) в виде 2 S

(5). Почленно вычтем (5)

hR/ Ecв

из (4): I

1 2 R

2 R

1 .

2 c

Eсв

2 c

Отсюда получаем выражение для энергии связи:

E R/(	1 2R	1)2 .

св	2 c

Для λ1 = 813 нм и λ2 = 350 нм Еcв=5.3эВ.

5.161. Переход атома лития из возбужденного состояния 3S в основное состояние 2S согласно правилу отбора возможен через промежуточное состояние 2P. При этом, будут испущены

два

кванта

энергии,

характеризуемые

длинами волн:

2 с

2 c

, где ридберговские

(2 s)2

(2 p)2

(3 s)2

поправки s=-0,41, p=-0,04. Отсюда получаем: λ1=0,82 мкм

(3S→2P), λ2=0,67 мкм (2P→2S).

5.162. Наличие двух компонет у желтой линии спектра излучения атомов натрия свидетельствует о расщеплении возбужденного уровня энергии валентного электрона. Расстояние между уровнями дублета желтой линии равно

= ħ − ħ = 2 ħ − = ħ.

Здесь λ1=589 нм, λ2=589,56нм. Следовательно,

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.8 Mб7Учебное пособие 800447.pdf
#
01.05.20222.82 Mб3Учебное пособие 800448.pdf
#
01.05.20222.85 Mб2Учебное пособие 800449.pdf
#
01.05.2022355.3 Кб7Учебное пособие 80045.pdf
#
01.05.20222.85 Mб1Учебное пособие 800450.pdf
#
01.05.20222.85 Mб23Учебное пособие 800451.pdf
#
01.05.20222.86 Mб6Учебное пособие 800452.pdf
#
01.05.20222.89 Mб4Учебное пособие 800453.pdf
#
01.05.20222.9 Mб14Учебное пособие 800454.pdf
#
01.05.20222.92 Mб5Учебное пособие 800455.pdf
#
01.05.20222.94 Mб4Учебное пособие 800457.pdf