Учебное пособие 800451
.pdfИтак, имеем: |
= |
8 |
/ |
|
1+(2 |
2. |
|
|
|
||
i |
|
|
/ 2 )5.43. |
Частица, |
попадая |
||||||
r |
|
|
|
|
|
|
внутрь сферической |
потен- |
|||
0 |
|
|
r i' |
циальной |
|
ямы, движется |
|||||
b |
R |
|
i' r |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
прямолинейно и равномерно, |
|||||
|
|
O |
|
|
|
|
|
поскольку |
|
потенциальная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
энергия |
частицы |
в этом |
|
абстрактном |
|
потенциальном |
поле |
= |
на= |
и, |
|||||
следовательно, |
|
сила, |
|
действующая |
частицу |
||||||
= − |
|
(− |
) = 0 |
|
Однако, у сферической поверхности |
||||||
потенциальной |
|
|
|
||||||||
ямы можно. |
допустить существование grad (-U) и |
некоторой силы, в результате чего частица при входе и выходе из поля изменяет энергетическое состояние. Если скорость частицы вне
ямы |
|
, где Е – начальная кинетическая энергия частицы, |
|
то при= |
движении внутри ямы ее скорость будет равна |
|
|
2 / |
|
|
|
2( + |
)/ |
тица |
|
|
|
. Пересекая сферическую поверхность, час- |
= |
дважды |
претерпевает «пре-ломление», изменяя величину |
и |
направлениескорости.
Рассматриваемую сферическую потенциальную яму представим как некоторый материальный шар, помещенный в более плотную среду, а движение частицы как ход светового луча при его падении на однородное сферическое тело (оптикомеханическая аналогия).
На рисунке показан ход луча и соответствующие углы падения и преломления. По закону преломления светового луча на границе
|
|
= |
= |
|
|
;= |
|
|
|
sin = |
1+ |
|
|
sin . |
; |
||
сред имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
) = |
|
|
|
|
искомый угол |
= |
−2 |
|
угол |
= 2 − (2 + |
−2( − |
) |
||||||||||
Из рисунка видно: |
= |
− |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 2( − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем: |
|
|
+ |
|
=; |
|
, sin |
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
= / |
; |
|
|
|
|
|
|
Далее |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
|
cos +cos |
|
|
sin = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√1− |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
учтем, |
что |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
= |
|
|
∙ |
1+ |
|
|
|
|
, |
|
|
введем |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или= |
1+ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||||||||
обозначение |
, |
|
|
а затем напишем: |
|
|
|
|
.1− |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
равенство∙ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
(1 − |
cos |
) |
|
|
Решим это |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно величины b: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
− |
|
|
) = |
(1 − |
cos |
|
|
|
) => |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
1+ |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
=> |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
где = |
1+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.44. На рисунке показаны направление потока частиц (ось Х), углы падения-отражения α и рас-
сеяния Θ для одной из частиц с не-
которымприцельнымпараметром b.
а) Из рисунка видно, что Ѳ=π-2α,
|
= |
|
− |
|
|
|
= arcsin( |
|||||
или |
|
|
|
|
, а также, что |
|
|
− = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|||
Отсюда следует: |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r
b |
R |
R r |
2 |
|
|
|
R |
х |
).
= sinarcsin = .
(1)
б) Пусть в единицу времени передней поверхностью шара рассеивается N частиц. Тогда при равномерном распределении частиц по сечению пучка плотность потока частиц n=N/πR2.
Поток частиц через поверхность кольцевого элемента сечения пучка
радиусов b и b+db равен = = |
|
∙2 ∙ = |
|
∙ . (2) |
|
|
32
Из (1) при имеем = |
|
и = − |
|
|
|
. |
|
|
|
Приращения db и dθ имеют противоположные знаки, поэтому
=, полагая > 0. Подставляя b и db в (2)
частиц в |
= sin |
cos |
= |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. Относительная доля |
|||||
в) |
частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
sinθdθ |
|||||
|
интервале от |
до |
|
|
равна |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
рассеиваются назад, |
если |
< |
|
. Число таких |
|||||||||||
|
|
|
|
|
частиц равно < = ∫ = /2.
рассеяния частиц назад = .
5.45. Воспользуемся формулой Резерфорда
∙
= .
Вероятность
(1)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
данном |
случае |
||||||
|
|
|
фольга |
|
|
|
|
q1=z1e=2e |
|
(α-частица) |
и |
|||||||
O |
|
|
Ө |
|
|
|
|
q2=z2e=78e |
|
(ядро |
атома |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
платины); |
|
K=1,0 |
МэВ |
– |
|||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
энергия α-частицы; Ѳ - угол |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
h |
|
|
|
площадь S |
рассеяния |
|
частиц |
(угол |
||||||||||
|
|
|
наблюдения), см. рисунок. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Число ядер на |
единицу |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
площади фольги n=ρhNA/A, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где ρ – плотность платины, |
||||||||||
NA – постоянная Авогадро, А – атомная масса. Для платины при |
||||||||||||||||||
1/м2. |
мкм. |
= 21,5∙10 |
∙1,0∙10 ∙6,02∙ |
|
|
= 0,66∙10 |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
= 1,0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В формуле (1) сделаем замену |
Ω = |
2 |
|
|
|
|
|
и перейдем к |
||||||||||
конечным разностям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
33 |
∙ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервал |
|
угла |
|
рассеяния |
|
частиц, |
|
|
обусловленный размерами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
«окна» счетчика, составляет примерно |
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В формуле (2) величина |
|
|
|
|
|
|
определяет число рассеянных частиц |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
±3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(60 − 3 ,60 +3 ) |
|||||||||||||
в пределах кольца площадью |
2 |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
∆ |
|
. Если площадь «окна» |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
счетчика есть s, то |
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||||||
где |
|
|
- |
|
число |
|
|
частиц, зарегистрированных счетчиком за |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
= ∆ ′∙ (2 |
|
|
|
|
sin |
|
|
/ |
|
)∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
единицу времени. Подставляя (3) в (2), получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вчастности |
∆ |
|
|
|
, |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ , |
|
∙ |
∙ ∙ ,∙ |
|
,∙ |
∙ |
|
|
∙ |
|
, |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
относительная( ∙ )доля α – частиц, падающих на отверстие |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∙0,66∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3,3∙10 . |
|||||||||||||||
счетчика, равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5.46. В |
основу положим формулу (см. задачу 5.45) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3,3∙10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ . |
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
В рассматриваемом случае |
∆ |
|
= |
|
∙ |
∙ |
= |
|
|
|
|
, где |
= 2 |
|
|
sin |
∆ . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из (1) и (2) следует |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/sin |
|
|
|
|
|
|
|
=> |
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Здесь А=197∙10 |
-3 |
кг/ |
моль, ρ=19,3∙103 кг/м3, z =2, Z =79 (для Аu). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
.1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя в (1) эти и другие данные величины, получаем |
|
° |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
197 ∙40 ∙10 |
∙(15∙10 |
) |
|
|
|
|
|
|
16 ∙8,85∙10 |
|
|
∙0,5∙10 |
∙1,6∙10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
5,0∙10 |
|
∙19,3∙10 |
|
∙6,02∙10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∙79∙1,6 |
|
∙10 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
30 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
= 1,5 мкм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
θ |
|
|
θ |
|
||||
|
|
5.47. Приведём формулу |
|
|
= |
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( θ⁄ |
) |
|
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(см. кн. «Квантовая физика», И.Е. Иродов; с.38,2002)∙ . |
|
( ⁄ |
) |
|
|
Число рассеянных α-частиц за время t в пределах угла от θ до θ
равно |
∆N |
′ |
= tI |
ρ ∙ |
|
|
π θθ |
(θ⁄θ |
) θ |
= |
|
π |
|||||||||
|
|
|
|
|
34 ∫ |
( |
⁄ ) |
|
= πtI |
ρ ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
− ctg |
θ |
. |
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставив в (2) заданные величины, найдём: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
∆N′ = 1,6∙10 πчастицθ |
; |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||
|
∫ |
( ⁄ |
) d |
|
= ct |
|
−ctg |
|
= √3 |
|
|
∆N |
|
= 2,0∙10 |
|
||||||||
б) |
здесьинтеграл π |
|
( θ⁄ |
) |
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
. |
5.48. Формула (1) задачи 5.47. позволяет получить искомый результат, получая dP = dN/N .
(серебро). |
|
|
|
|
z |
= 1,z |
= 47;A = 108, |
ρ |
= 10,5∙10 |
кг |
|
|
|
||||||
В условиях задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|||||||
будет равна |
|
|
θ |
|
|
° |
ρ |
|
|
|
|
|
π ππ |
θ |
> θ90 |
° |
|||
|
Вероятность рассеяния протонов под углами θ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
P( > 90 ) = |
|
∙ |
|
π∙ |
|
∫ |
((θ⁄⁄ )) |
d = |
|||||||||
|
|
= |
ρ |
∙ |
|
|
|
|
|
π |
|
(π⁄ ) |
− |
(π⁄ ) |
|
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в выражение (*)значения соответствующих величин,
получим P=0,006.
5.49. Выше была получена формула
∆ = πn ctg θ − ctg θ , (1)
π
определяющая относительную долю рассеянных частиц в интервале углов от θ до θ . Однако, эта формула не работает для малых углов θ , поскольку ctg(θ /2) → ∞ при θ → 0. При оценкеотносительной доли рассеянных частиц в интервале углов от 0 до θ при этом неприятный момент необходимо обойти. Это можно сделать следующим образом.
35
Понятно, что относительная доля рассеянных частиц по всем направлениям (0 ≤ θ ≤ π) равна единице. Если теперь вычислить величину ∆N/N для углов от θ до π, то относительное число
рассеянныхчастицвинтервалеот0до θ будет равно |
|
∆ |
′ |
= 1 − |
∆ |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
По формуле (1) |
|
∆ |
|
= πn |
|
|
|
c |
|
θ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
∆ |
|
′ |
= 1 − πn |
|
|
|
|
ctg |
|
θ |
|
|
1 |
|
(2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
К=600кэВ, θ |
|
|
|
|
z |
= 2,z |
= 79 (Au),n = 1,1∙10 |
|
см , |
||||||||||||||||||||||||
В условиях задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Подставляя |
в= |
(2)20°.числовые |
значения |
известных |
|
величин в |
|||||||||||||||||||||||||||
5.50. |
|
Для протона |
|
, |
для |
меди∆N |
⁄N = 0,6.и цинка |
||||||||||||||||||||||||||
единицах измерения системы СИ, получаем |
|
′ |
= 29 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= 30 => |
|
|
= |
|
|
, |
|
= |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Относительно |
|
|
компонент |
|||||||||||
сплава заметим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
⁄ = 7⁄3, |
|
|
+ |
|
|
= |
=> |
|
= |
|
= 0,7 |
, |
|
= 0,3 ; |
||||||||||||||||||
= 0,7 , |
|
= 0,3 |
|
|
|
=> |
|
= 0,7 |
, |
|
|
= 0,3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
- |
|
массовые |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
толщины компонент сплава. Число |
рассеивающих |
ядер |
на |
|||
единице площади фольги равно |
= |
, ∙ |
и = |
, |
∙ |
,где |
А и А - атомные массы элементов.
Понятно, чтопотокирассеиваемыхчастиц складываются. Поэтомудляотносительного числапротонов, рассеиваемыхнауглы
36
свыше |
0 |
|
° можно написать: |
|
|
|
|
|
∆ |
= |
|
0,7 |
∙ |
8 |
1 2 |
|
2 |
|||||||
|
|
= 30 |
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
+ |
|||||
+ |
0,3 ∙ |
|
2 2 |
2 |
2 |
180 |
|
= |
64 |
∙ |
4 |
0,7 12 |
|
0,3 22 |
|
0 |
|
(*) |
||||||
2 |
|
8 0 |
|
ctg2 2 − ctg2 |
2 |
|
|
02 2 |
1 |
+ |
|
|
2 |
ctg2 2 |
|
|
||||||||
Для К=1,4 МэВ., |
= 1,5 мг см |
|
|
и |
= 20° формула (*) даёт |
|||||||||||||||||||
∆ |
= 1,4∙10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5.51. Дифференциальное эффективное сечение ядер при |
||||||||||||||||||||||
наблюдении рассеяния частиц под углом |
в интервале |
|
можно |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
∙ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
⁄ |
) |
||
определить выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
⁄ |
) |
. (1) |
Интегральное эффективное сечение ядра, соответствующее
интервалу от |
до |
⁄ |
, равно |
|
|
|
|
|
|
⁄2)−ctg ( ⁄2)] |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2) |
|||||||
= |
|
|
∫ |
|
(=-частица),[ctg (( |
|
||||||||||||||||||||
|
|
( ⁄ |
) |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
В условияхзадачи |
0 = 2 |
|
|
|
|
|
|
z=92 |
ядро урана), |
|
|
° |
||||||||||||||
Для2 = |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
c |
( |
|
|
⁄2) |
= |
= 60(3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
К180°=1,5 МэВ |
|
∆ |
= |
|
кб. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
5.52. Из формулы= 0,73(3) предыдущей задачи 5.51 следует, что |
||||||||||||||||||||||||
кинетическая энергия |
|
- частиц |
= |
|
|
|
|
( |
⁄ |
) |
. |
|
|
|
||||||||||||
В данном случае z=79, |
|
|
° |
|
кб |
√ |
∙∆ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
∙ , |
|
0 = 90 ,∆ |
= 0,5 |
; |
|
|
|
МэВ=0,9МэВ |
|
|||||||||||
|
|
|
= |
|
|
∙ |
|
∙ |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∙ , |
∙ |
|
|
√ |
∙ |
∙ |
|
, ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эффективное сечение рассеивания на единицу телесного угла в окрестности угла рассеяния можно определить как
=
Ω
2 2
0 /4sin4(θ⁄2)
0
Для тех же исходных величин и = 60° получим |
|
= 0,64 |
кб |
Ω |
ср |
||
37 |
|
|
|
5.53.Нам известно, что электрон, движущийся с ускорением “ ” теряет энергию на излучение по закону
= − |
|
. |
(1) |
|
Здесь ускорение = ( ) и, следовательно, требуется установить эту зависимость.
Затухающие колебания электрона относительно центра кулоновского поля совершаются по закону
|
силового центра, |
|
, |
(2) |
|
где r - расстояние до |
|
- коэффициент затухания. |
|||
= |
cos |
|
|
||
Затухание колебаний |
будем |
считать |
медленным по |
отношению к периоду колебаний T=2π/ .
Тогда можно полагать, что за период колебания
экспоненци-альный множитель остаётся практически неизменённым, а сам процесс - квазигармоническими колебаниями. В этом случае можно написать:
При этом̇= − |
|
|
sin |
, |
|
̈= − |
|
|
cos |
= − . |
|
|||||||||||||
Среднее значение |
квадрата ускорения за период колебания равно |
|||||||||||||||||||||||
< |
|
|
= ( ̈) |
= |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
>=<. ̈>= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∫ cos |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(3) |
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(4) |
|||
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
С учётом (3) формула (1) примет |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Нам также известно, что |
|
|
, где |
|
|
начальная энергия, |
||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
− |
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Из (4) и (5) следует |
|
|
|
|
|
= |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
затухающего осциллятора |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Энергия медленно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
=> |
= |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При t=0 |
|
|
|
|
(= |
. Отсюда имеем |
|
|
|
|
. |
(7) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
При этом = |
= |
|
|
|
|
∙ |
|
|
= |
|
|
|
= 2 / |
|
|
(8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
/2 |
|||||||||||||||||
|
|
0 = |
|
0 −20 = |
|
|
|
|
|
. = ln |
(10) |
|||||||||||||||
Далее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
по условию) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||
Подставляя (8) в (9), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
5.54. Представим атом водорода моделью электрического |
||||||||||||||||||||||||
диполя, линейно колеблющегося по закону |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где p- |
|
|
|
|
|
= − |
cos = |
=- |
cos |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
электрический |
момент, |
|
|
|
|
- рaсстояние между |
||||||||||||||||||
электроном и центром атома, ω |
−частота, |
колебаний диполя, |
||||||||||||||||||||||||
равная частоте обращения электрона вокруг ядра. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Колеблющийся диполь испускает электромагнитную волну. |
|||||||||||||||||||||||||
Согласно классической электродинамики, мощность |
излучения |
|||||||||||||||||||||||||
осциллирующего диполя диполя |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= 1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
= |
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
. Подставив (1) в (2), |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменением частоты вследствие затухания пренебрежём,
≈= .
Полная средняя энергия линейного затухающего осциллятора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
Убыль энергии |
осциллятора за единицу времени |
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
(5) |
|||
|
|
|
|
|
(5) можно представить в виде |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если учесть (4),то формулу= − |
= − |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||
Энергия осциллятора=изменяется по |
закону |
, |
(7) |
|||||||||||
|
= − |
|
. |
где -начальная энергия, β-коэффициент затухания электрического момента (7).
39
Из (7) следует, что |
|
|
|
|
(8) |
2 = |
|
|
|||
|
|
|
|
||
Равенства (6) и (8) дают: |
|
= −2 |
|
= −2 |
(9) |
|
|
В рамках классических представлений время затухания колебаний модельного диполя, принимаемое за длительность
существования атома, равно |
≈ |
|
= |
|
. |
(10) |
|
|
Квадрат частоты определим из динамического условия:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
электрона от ядра. Подставляя (11) в |
|||||||||||||
где - начальное удаление= |
=> |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(10), в окончательном виде получаем: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5∙10∙ ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
равно |
|
, |
∙ |
|
∙ ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
пс. |
||||||||
Для |
=50пм = |
|
≈м время∙ |
жизни атома водорода примерно |
|||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
≈ 1,5 |
|
∙ |
∙ |
, ∙ |
|
= 0,79∙10 |
|
|
= 79 |
|
5.55. Даны линии спектра водорода:
1 = 97,26нм = 0,0926мкм = 9,726∙ 10−8 м , 2 = 102,58нм = 0,10258мкм = 10,258∙ 10−8 м, 3 = 1с21,57нм = 0,12157мкм = 12,157∙10−8 м.
Понятно, что заданные спектральные линии принадлежат серии Лаймана (находятся в ультрафиолетовой области). Общая формула для длин волн спектра испускания атомарного водорода
имеет вид = |
|
= |
∙ ∙ |
= |
, ∙ |
(м), |
|
,∙
n>m. Для линий серии Лаймана m=1, порядок этих линий
Длины волн , , |
= 2; |
/ |
= 3; |
= 4. |
|
|
|
|
||||
Для линий |
|
|
, |
∙ |
/ |
|
|
|
|
|
||
|
9,10∙10−8 |
последующих порядков будут равны: |
|
|
||||||||
|
нм |
|
9,10∙10−8 |
|
|
нм |
|
9,10∙10−8 |
|
нм. |
||
4 = |
1−1 16 |
= 97,07 |
5 = |
1−1 25 |
= 94,80 |
|
6 = |
1−1 36 |
= 93,60 |
|
||
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|