Учебное пособие 800365
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
А.А. Седаев, Л.В. Стенюхин, В.К. Евченко
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ КУРСА МАТЕМАТИКИ В ИНЖЕНЕРНОМ ВУЗЕ
(МНОЖЕСТВА, ГРАФЫ, ТОПОЛОГИЯ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ, ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ)
Учебное пособие
Под редакцией профессора С.М. Алейникова
Рекомендовано редакционно-издательским советом Воронежского государственного архитектурно-строительного университета в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей
Воронеж 2008
УДК 517.9, 517.15, 519 С284
Седаев, А.А.
С284 Избранные главы курса математики в инженерном вузе (множества, графы, топология, функциональный анализ, вариационное исчисление) : учеб. пособие для студ. строит. спец. / А.А. Седаев, Л.В. Стенюхин, В.К. Евченко ; под ред. С.М. Алейникова ; Воронеж. гос. арх.-строит.
ун-т. – Воронеж, 2008. – 112 с. ISBN 978-5-89040-190-8
Предлагаемое учебное пособие содержит необходимый теоретический и практический материал, относящийся к некоторым главам курса математики (множествам, графам, топологии, функциональному анализу, вариационному исчислению), не отраженным в учебниках для студентов инженерных специальностей.
Предназначено для студентов и аспирантов строительных специально-
стей.
Ил. 22. Библиогр.: 14 назв.
УДК 517.9, 517.15, 519
Рецензенты: кафедра прикладной математики Воронежского государственного технического университета; Ю.И. Сапронов, д. ф.-м. н., проф. кафедры математического мо-
делирования Воронежского государственного университета
ISBN 978-5-89040-190-8 |
© Седаев А.А., Стенюхин Л.В., |
|
Евченко В.К., 2008 |
|
© Воронежский государственный |
|
архитектурно-строительный |
|
университет, 2008 |
! #$# % & '#$# ( & )#*# ( & *#+# ,#)# '
E 3 3 3 / 5
3 4 / 3 / 3 6 3
3 4 ! 5
6 3 3 3 3 3 3 3 / 3
@ 5
#
F 3 @ 3 5
/ @ 3 3 3/
3 3 / 3 # 3 5
3 /
#
"G ! 3 5
/ @ 3 3 / 5
3 # ? G 3 3 ,+5&' 5
!# H 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 5
# ? /
/ 3 3 3 #
H 3 3
3 / G 3 3 3 3 5
# 3 G I * G 3
3 3 3 3#
! 3 G 3 3
3 @ 5
# G 3 ! 5 3 ! # ! 3 3 3
J 59 ! 3 3 3 ? # ? G 3
#
% 3 J # "#$# % / 5 ! 3/ %# # %# # 9 / 3 5
3 3 3 3 #
* 2 * " ( & "$
1 3 3 / 3 5
/ @ 3 / 3 # $ 3 3
3 / 3 3
3 / 3 ! 3 3 5
# ? 3 3
# " 3 3 L3 L
L L/ L G 3 L/ L 3 L/ L L # #
$ G 3 # 2
3 L 3 L/
G 3 #
$ 3 3 A, B, ..., G 5 3 3 3 a, b/ #### ? 3 # 5
LG 3 a 3 AL 3 7
a A/ A a/ 3 7 LA aL# M a / A
/ G 3 a A#
N 3 / @ G 3 / 5
G G 3 4 6 # F 5
3 A = {a, b, c, d} 3 / @ G 3 a, b, c, d/
B = {t | 5 < 3t 6} / B J G 3 / L @
t/ O + 5
PL# ) G O/ 3 3 3/ B
3 @ (5/3, 2]#
1 G 3 3 C 3 D G 5 3 3 D C/ / 3 C
3 D/ C = D# F 3 / / 3 5
B (5/3, 2]#
1 G 3 / 3 A/ B 4 5 3 A = B 6/ 3 3 A 3 3 B
3 A B A B# 9 3 3
3 #
3 ! 3 3 3 3 5
Q Q # F 5
3 / 3 @ ! 5
/ 3 @ ! #
A B
A ∩ B& -&
A& B# ' ∩ #
. / A B
A B& -&
A B# ' / #
) Q /
3 # F 3 / 3
3 A B C D E F G#
0 A B
A\B& - A&
B# ' \ #
' 0 A B
A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A ∩ B)# ' 0 #
,# $ 3 3 3 5
3 3 #
$ Q 3 3 5
/ 3 #
O# E 3 3 / O/
3 / @ P#
" 3 3 5
/ 3 3 3 #
,# $ N#
$ ! Z#
O# $ ! Q#
B# $ / 3 / @
R#
+# $ 3 C#
P# $ ! R \ Q#
R ! 3 3 3 3 / 5
3 #
) 3 A B
,6 A B = B A/
&6 A ∩ B = B ∩ A#
/ #
) 3 A, B, C
O6 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)/
B6 (A B) C = A (B C)#
/ #
+6 (A ∩ B) C = (A C) ∩ (B C)/
P6 (A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C)#
/ #
) 3 @ 5
@ 3 # " G 3 3
/ 3 4 3 3/ 5
3 6# M 3 G 3
3 / 3 / 4 /
6#
" # ) 3
+6# ? x G 3 3 (A∩B) C# H /
Q 3 / x 6 3 A ∩ B/ 6 3 C# 6/
/ x 3 A 3 B# M / x A C x B C / / x (A C)∩(B C)# H 6 x +6 #
6 x C / x (A C) ∩(B C)# H
3 # )
3 @ #
H 3/ 5
3 A, B, C/ 3 / 3 @ @
3 4 # ,#,6#
E # ,#,
F 3 3 A, B, C 3 3 / 5
A ∩ B / @ 3 (A ∩ B) C = = (A C) ∩ (B C) #
) P6 3 @
/ 3 3 3 #
F ! / 5
3 3 3 3 3 5
/ Q 3 @ 3 / # F 3 / 3 3 ! y = f (x) @ 5
3 x 3 3 3 5
R @ / 3 3
3 #
/ 3 3 3 3 5
3 X/ !
Q 3 3 #
? 3 3 3 X A/ 5
A A/ 3 X A# H A = X \ A#
) 3 A X 3 3
-6 ( A) = A#
(6 = X/
.6 X = #
) 3 A B X 3 3 4
$6/ 3 / 3 7
,'6 (A B) = A ∩ B/ 2 / 0
23
,,6 (A ∩ B) = A B/ 2 0 /
2#
) 3 4 6/ 3 5
3/ 3 3 3 ! 3 # " 3 L L/ L L/ L L: 3 5
3 L @ L: 3 = 4 3 ! 6 L L/
3 L ### ###L: 3 4G 6 3 L L L### L: 3 ! ¬ 3
! L L# ? 3
L @ L L @ #L
3 3 3 G 3
3 / 3 #
) 3 P6# 23 3 x (A B) ∩ C x (A B) x C (x A x C) (x B x C) x (A ∩ C) (B ∩ C)# E P6 #
) 3 ,'6# 23 3 x (A B) x / A B x / A x / B x A B x A ∩ B. E #
) ! 3 5
3 #
! " #
A B ! 0 # 4
-
A × B& (a, b)& a
A& b ! B#
1 3 A×B ×C/ 3 5
3 3 {(a, b, c), a A, b B, c C}#
% 3 3
3 #
1 3 /
3 # F 3 / X2 = X × X#
F 3 3/ 3 3 /
/ 3 O ,# H O J G
/ , 3 J O ,
3 4 O ,6# " 3 @ 3
3 3 @ 5
R/ / 3 3
# ? 3 G 3 3#
H 3 3/ 3 R 3
3 3 #
H 3 R2 = R ×R 3 3
# ) / 3 @ 3
3 3 3 3 3
(x, y) R2 3 #
% 3 R3 = R × R × R 3 5
3 #
$ # # % & '
1@ @ ! / 3 G 3 5 3 3 / ! 4 6# R 5
3/ G 3 ! 3 5
3 @ G 3 J /
# F 3 / ! 4 6/
3 4 3 / 3
6# 1 / 3 @ 5
3 / / 5
! / 3 $I # 1 4 5
6 ! /
/ 3 3# 23 G 5
/ 3 #
F 3 3/ 3 3 /
# $ / 3
3 3 3 /
3 ! L L/ 3 @ 3 #
/ / !
# 4? /
J 6#
( * +
,
- A -
B& & 5 6 A
B#
? 3 3 3 ! y = x2, y = x3, y = sin x, y = tg x, y = arcsin x, y = 5/
D(y) 3 @ R#
R 3 3 3 3 5
# F 3 / 7 f : A −→ B y = f (x), x A, y B/
/ f 3 A 3 B# ?
! / x, y
3 / 3 G 3 3 3 #
, K &
N#
) / 3 K G 3 a1 3 3
,/ 3 3 K G G 3 / 3 @ G 3 /
3 3 G 3 a2 3 3
3 a2 K / 3 @ G 3 / 3
G 3 a3 3 3 O# ? / 3
3 G 3 3 K 3 3 3 3 / @ K N# F 3 G ϕ#
. f : A −→ B &
- A - B
& - B
- A# ) {y B : y = f (x), x A}
f
R(f )#
. 5 6&
/ & 0 / # -
& & 0
# + /
A 5 0 6 R(f ) 0
#
" ! / @ 5
D(y) R, Q 3
y = x3, y = arcsin x# " Q 3 J y = x3, y = tg x/ / 35
y = x3# F Q 3
y = x2, y = sin x, y = tg x, y = 5
M 3 3/ ϕ : K → N
Q 3/ Q 3# "