Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебное пособие 800365

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
01.05.2022
Размер:
1.97 Mб
Скачать

/ 5

3 / 3 ! #

N @ 3 3 3

3 3 3 5

3 3 #

! ( 2 - # # &

,# ? X = {|x − x0| r; x, r R} J 3

x0. 3 3 τ = {X, R1, }

Y

 

 

 

! 3 (x0, y0).

!

 

@ 3

? X =

(x − x0)2 + (y − y0)2 r; (x, y) R2, r R J 3

 

 

 

 

 

 

3 τ = {X, R2, } Y

O# ? X

= {

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

r; (x, y, z) R3,

r R} J 3 ! @ 3 ! 3

(x0, y0, z0). 3 τ = {X, R3, } Y

B# 3 3 3 XY 4F 5

3 #6

+# ? X = {(−∞; a), a R} J 3 3

# 3 3 τ = {X, R, } Y

4H #6

P# 3 Q / 5

3 Y

-# ? X = {[a, b); a, b R} J 3

Q # 3 3 τ = {X, R, } 5

Y

(# 3 Q5

/ 3 Y

.# ? X J 3 3 3 R

# 3 3 τ = {X, R, } Y 4H M #6

,'# 3 τ = {X, R, }/ X J 3 /

Y 4H #6

,,# ? X = {(a, +), a R} J 3 3

# 3 3 τ = {X, R, } Y 4H 5

#6

, " 3 R / 5

3 #

,O# " 3 R M # ,B# " 3 R / M 5

3 #

,+# ? 3 R 3 3

/ / M 3

#

* 7 * " ( ',-*. *

G 3 3 3 / 5

3 J 4 3 5

36/ 3 3 @ 3 4 6 5

/ 3 3 3 !

3 / 3 Ax = b

J # ? / 3 5

3 /

@ #

$ 3 &

F E

# 7 - x& x

x E 0 0 ! 7 ,6 x = 0 x = θ:

&6

αx = |α|x

α R, x E:

O6

x1 + x2 x1 + x2

x1, x2 E#

9 / 3 /

#

3 /

3 r(x, y) = x −y 3 3 G 3 3 /

3 3 7

6 r(x, y) = r(y, x) 4 33 6:

6 r(x, y) = 0 x = y 4 6:

6 r(x, y) r(x, z) + r(z, y) 4 6#

* 3 / 3 / 3 / 3

3 7

x, y, z E, α R7

6 r(x, y) = r(x + z, y + z) 4 6:

6 r(αx, αy) = |α|r(x, y) 4 6#

F 3 3 3 5

# F 3 /

f (α, β, x, y) = αx + βy 3 5

@ R/ 3 /

3 @ 3 / ! 5 3 α, β, x, y# * / R 3 3

3 x = |x|/ x J @ #

ρ x0 3 5

(E, · E ) 3

B(x0, ρ) = {x E, x − x0 E ρ}.

'7 ρ x0 3 5

(E, · E ) 3

S(x0, ρ) = {x E, x − x0 E = ρ}.

" 3 @ 3 5

3 # ? G 3 3 3

G 3 3 3 7 #

? G 3 x1, x2, ..., xn, ... E 3 @

G 3 a E/ r(a, xn) 0 n → ∞#

? x1, x2, ..., xn, ... E 5

* / 3 / m, n → ∞ lim r(xm, xn) = 0#

@ 3 4 G 6# 1 3 / 3 5

3 G 3 5 / & /

! J " A #

? 3 3 3 5

3 3 (x, y) J # 1

/ #

? 3/ 3 3 x = (x, x)

O6 4 3 5

6# ) / 3

* 5A |(z, y)| x y

x + y 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y)

x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y )2,

#

? 3 3 3 3

! #

? E J n53 3 e1, e2, ..., en

x E [x]e = (x1, x2, ..., xn)T G 3 # H

p, 1 p ∞/ 3

x p =

 

 

1

|xn|p

 

 

,

 

 

 

 

 

 

1 p < ∞,

 

(1)

 

 

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

1

| |

 

 

2

|

 

 

|

n

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

, ...,

 

),

 

p =

.

 

 

 

 

max( x

 

,

 

 

x

 

 

 

 

 

 

? E = C[a, b]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[a, b]

 

 

J

 

5

! # H p, 1 p ∞/

 

f C[a, b] 3

 

 

 

 

 

 

 

b

 

f (t) p dt

p

,

 

 

 

1 p < ,

 

 

 

f p =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

|

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sup( f (t) , t

 

 

[a, b]),

 

p .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E0 · 1 · 2

E - & 0

0 < c1 < c2 < ∞ &

c1 x 2 x 1 c2 x 2

0 x E# & 5 6&

0 & 0

#

- x

- &

5 H 6 0

x#

F G 3 3 T(U#

H 3 3/ 3 / 3 4,6/ G 5 3 3 / c1, c2 3 5

c2/c1 → ∞ n → ∞#

F / 3 / 3 4&6/ G 3

C[a, b]/ · G 3 4 5 36# ? G 3/ 3 · p, p < ∞, @ ! / @ 5

! # F 3 / [0, 1] 5

xn(t) = tn, n = 1, 2, .../ @ ! /

, , ' [0, 1]#

? A J / @ 3 5

(E, · E ) 3 (F, · F )# F 3 3/ 3/

3 ! 5

3 ! 7 A(αx + βy) = αAx + βAy#

F A E F

A = sup Ax F .

x E, x E=1

, - & #

#

H x E, x = θ

 

A

x

F

A

 

,

 

A

x

 

=

Ax F

,

 

x E

 

 

x E F

 

 

 

 

 

 

x E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax F A x E ,

(3)

x E#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) LB(E, F ) &

0 E F &

&

#

I E & 0

& 0 E F #

, A : E → F, B : F → G ! &

BA&

&

BA B A .

(4)

? 3 A 3 #

,6 1 A = 0/ 4O6 / A = O#

&6

αA =

sup

αAx F =

sup |α|Ax F = |α|A .

 

 

x E, x E=1

 

x E, x E=1

O6

? 3 O6 B#,/ 3 3 A + B =

= sup Ax + Bx F

sup

( Ax F + Bx F )

x E, x E=1

 

 

x E, x E=1

 

 

 

sup

Ax F +

sup

Bx F = A + B .

 

x E, x E=1

 

x E, x E=1

H / @ n53 5

m53 3 3 mn/ 5

/ 3 G / / #

E 3 3 3 5

# 4O6

BA = sup BAx G

sup B Ax F = B A .

x E, x E=1

x E, x E=1

H 3 #

1 F = R/ f LB(E, R)

G 3 E # ? G 3 f LB(E, R)

3 3 7/ 3 3 5

3 E/ 3 3 LB(E, R) 3

3 E #

* 3 3 4 3 6/ E 3

3 / 5

G 3 {xn} E x E /

f E limn→∞ f (xn) = f (x)#

% E 3 / 5

E # ?

{fn} E f E /

x E {fn(x)} f (x)#

" @ 3 % 5A #

, E

#

) D &

0 a b -

ta + (1 − t)b& t ! 0 J ?# $

ta + (1 − t)b, 0 t 1, & 0 ab#

H 3 D /

/ ! D#

H 3 D / 5

# F 3 / 3 3

3 3 # 3 3 /

3 # ) 3 /

@ ! J / 3

3 #

! Z4[6/ 3 D/ / a, b D 0 t 1

F (at + (1 − t)b) tF (a) + (1 − t)F (b).

R / 7

& # ' & 0

7 & D&

#

( ) ) ! / !

F (x)

F (α1x1 + α2x2 + ... + αnxn) α1F (x1) + α2F (x2) + ... + αnF (xn),

α1, α2, ..., αn > 0, α1 + α2 + ... + αn = 1/ x1, x2, ...xn D#

? F J ! 3 R = {x D, F (x) r}

# H #

) / a, b R# H F (at + (1 − t)b) tF (a) + (1 − −t)F (b) tr + (1 − t)r = r# H 3 3 3 3 a b

3 R / @ G #

?# $ #&

#

@# B(x0, r) #

A# 7

- #

/

/ x0 ! F (x) = x − x0 E

#

) / O6 3 4 6 3 3

F (at + (1 − t)b) = at + (1 − t)b − x0 E = (a − x0)t + (1 − t)(b − x0) E

(a − x0)t E + (1 − t)(b − x0) E = t a − x0 E + (1 − t) b − x0 E =

=tF (a) + (1 − t)F (b)# N #

H / ! Ax F / A J

/ ! #

M 3 3/

B(x0, r)

S(x0, r) = {x,

x − x0 E = r}# 23 G 3 3 4B#O6 3 3

, ! 3 #

0

D # 9

0 x D

a1, a2, ..., am t1, t2, ..., tm, t1 + t2 + ... + tm = = 1& x = t1a1 + t2a2 + ... + tmam#

! 3 / 5

3 · 1 4B#,6/ / 3 5

33 ,# R /

3 3 ! 3 3 (±1, 0, ..., 0),

(0, ±1, 0,

..., 0), ..., (0, 0, ...0, ±1)# 9

 

· 1 0 & #

? G 3 A n53 3 E/ 5

3 3 · 1/ 3 e/ 3

3 3 7

A = max{ ± Aej 1, j = 1, 2, ..., n} = sup{Aej 1, j = 1, 2, ..., n}.

? (aij ) = [A]e→e J 3 ! / ! 3 / /

7 [Aej ]e = (aij )n=1# R

i

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Aej 1

= i=1 |aij | / / 3 / 3

 

1/

G 3 3 ! 3

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

max

|

a

ij |

.

 

 

 

 

= 1 j n 1

 

 

) 3 · /

! # R /

0 zk & ±1# ( ) F 0 - A #

F 3 ·p/ 3 4,6/ @ 3 5

p = 1, 2, ∞# ? 3 3 5

A/ @ 3 3 3

E/ 3 G 3#

? [A] = [A]e→e = (aij )ni,j=1 J 3 ! A [x]e = = (x1, x2, ..., xn)T J ! E# H

/ [Ax]e = [A][x]e#

E 3 3 3 · 1# ?

Ax 1 = [A][x]e 1 =

n

 

n

 

i=1

k=1

aikxk .

3 / 3 33

33 @ 3 / 3

 

n

n

 

 

n

n

 

 

 

n

 

n

Ax 1

k

 

 

 

 

 

 

 

 

|aik||xk| =

 

 

|aik||xk| = |xk| |aik|

 

i=1

=1

 

 

k=1 i=1

 

k=1

 

i=1

 

 

n

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

k

k|

k

 

ik|

 

k

 

ik|

1

 

 

|

|

 

|

.

 

 

x

 

max

a

 

= max

a

x

 

 

 

=1

 

 

i=1

 

 

 

i=1

 

 

 

R / A 1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

max |aik|# " /

ki=1

ek/ / k5

" / 3 3

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

A

 

max

 

 

 

! / 3 3

e

k 1

= 1,

 

Ae

 

 

= i=1 |

ik|

/

 

1

a

ik|

#

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

k

i=1 |

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

=

max

i

|

a

ik|

.

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 3 3 3 · # ) x = max |xk|/

k

n

n

n

 

 

 

 

i

k

 

ik

 

 

 

 

|

ik||

 

k|

i

 

ik|

k |

 

k|

 

 

Ax

 

= max

 

n

a

x

 

 

max

a

 

x

 

max

a

 

max

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

#

 

k=1

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

H

 

A

 

max

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

k

|

ik|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? max |aik| i = j# 3 3 x

ik=1

3 xk = |ajk|/ajk/ ajk = 0 , 3 # R /

x = 1/

i

 

n

ik k

 

 

jk k

=

|

 

jk|

 

 

 

k=1

 

 

 

k=1

 

 

 

k=1

 

 

 

Ax

= max

 

a x

 

 

 

 

 

 

a

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

k

 

ik|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

max

 

a

 

.

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

=1