Учебное пособие 800365

Глава 2. Введение в теорию графов

Теория графов является важным инструментом создания математических моделей реальных систем и мощным средством решения задач, связанных с дискретными объектами. К ним, в частности, относятся: проектирование и исследование сетей связи, электрических и монтажных схем, программных систем; исследование автоматов, анализ и синтез логических цепей; задачи календарного планирования; поиск информации; разработка стратегии инвестиций; анализ качества, исследование движения транспорта, размещение предприятий коммунального обслуживания, исследование поведения индивидуумов. Можно выделить два основных класса задач в рамках теории графов. В первом требуется ответить на вопрос, существуют ли графы, обладающие определенным свойством, и если да, то сколько их. Во втором нужно определить, как построить граф или подграф, обладающий заданным свойством.

Начало теории графов относят к 1736 году, когда Л. Эйлер решил популярную в то время задачу о кёнигсбергских мостах: можно ли совершить прогулку по берегам реки, соединенной семью мостами (рис. 2.1) так, чтобы, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя лишь один раз по каждому мосту?

Ответ отрицательный. Его доказательство мы обсудим позже. Любопытно, но этот факт более ста лет оставался единственным результатом теории графов. Толчок к дальнейшему развитию теория графов получила в середине XIX века, когда Г. Кирхгоф разработал теорию деревьев для исследования электрических цепей, а А. Кэли решил перечислительные им задачи для трех типов деревьев.

Граф – это то общее, что присуще электрической схеме, сети автомобильных дорог, блок-схеме алгоритма или схеме родственных связей, изображенной фамильным деревом. Во всех перечисленных примерах (список которых можно продолжить) первой характерной особенностью является наличие множества X некоторых объектов (в первом случае элементов электрической схемы, во втором – городов, в третьем – элементов (блоков) блок-схемы и, на-

15

конец, в последнем – людей, находящихся друг с другом в родственных связях). Второй особенностью является то, что некоторые пары объектов соединены между собой (соответственно, проводниками, дорогами, стрелками блоксхемы и линиями прямого родства). Если абстрагироваться от содержания упомянутых выше объектов и заменить их точками (на плоскости или в пространстве), а имеющиеся связи изобразить линиями (со стрелками или без), то, как раз, и получится то, что называется графическим изображением графа.

2.1.Основные определения и обозначения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Граф G есть совокупность двух конечных мно-

жеств. Обозначается G = ( X ,U ) или G =[ X ,U ], где X ={x1, x2 ,..., xn }− множество его вершин (они изображают объекты), а U ={u1, u2 ,..., um }− множест-

При этом связь со стрелкой называется дугой, а без стрелки – ребром.

Связь со стрелкой – дуга, определяет направление (ориентацию) вдоль этой связи по стрелке. Поэтому дугу u = (xi , x j ) еще называют ориентирован-

ным ребром. В этом случае вершина xi считается начальной вершиной дуги, а x j − ее конечной вершиной. Связь без стрелки (ребро) можно заменить парой противоположно направленных дуг (стрелок).

Две вершины графа xi , x j называются смежными, если существует соединяющее их ребро (xi , x j ) , при этом xi , x j называются концами ребра.

Два ребра являются смежными, если они имеют общую вершину.

Если ребро соединяет вершины xi , x j , то говорят, что ребро инцидентно вершинам xi , x j , а, в свою очередь, вершины xi , x j инцидентны этому ребру

(xi , x j ) .

Вершина, для которой не существует инцидентных ей ребер, называется

изолированной.

Граф называется неориентированным (неорграфом), если каждое его ребро не ориентировано.

Граф называется ориентированным (орграфом), если каждое его ребро ориентировано.

16

ПРИМЕР 2.1. На рис. 2.2 изображен неориентированный граф, имеющий 4 вершины и 5 ребер. Смежными вершинами являются, например, x1 и x2 , x1 и x4 ; смежными ребрами являются (x1, x4 ) и (x4 , x2 ) ; ребро (x1, x2 ) инцидентно вершинам x2 , x1 ; а вершина x3 инцидентна ребрам (x3 , x2 ) и (x4 , x3 ) .

На рис. 2.3 изображен ориентированный граф, имеющий 4 вершины, 6 дуг. Смежными вершинами являются x1 и x2 , x2 и x3 ; смежными дугами являются (x4 , x3 ) и (x3 , x2 ) ; (x3 , x4 ) и (x3 , x2 ) ; дуга (x4 , x3 ) инцидентна верши-

Граф, имеющий как ориентированные, так и неориентированные ребра, называется смешанным.

Граф, полученный из орграфа заменой каждой дуги на ребро, называется

основанием графа.

Если пара вершин графа соединяется несколькими различными ребрами или дугами, то ребра называются кратными, а их количество – кратностью ребра.

Петлей называется ребро (xi , xi ) , у которого начальная и конечная вершины совпадают.

ПРИМЕР 2.2.

На рис. 2.4, а, в изображены, соответственно, неорграф и смешанный граф, у которых кратность ребра (x1, x2 ) равна трем. На рис. 2.4, б изображен орграф, у которого кратность ребра (x1, x2 ) равна двум. Обратите внимание на разницу в подсчете кратности для ориентированного и не ориентированного графов. На рис. 2.4, г приведен пример петли (петля обычно считается неориентированной).

17

Рис. 2.4

Граф с петлями и кратными ребрами называется псевдографом. Граф с кратными ребрами без петель называется мультиграфом. Граф без петель и кратных ребер называется простым графом.

ПРИМЕР 2.3. На рис. 2.5, а изображен псевдограф, 2.5, б – мультиграф, 2.5, в – простой граф.

которых в графе G существует дуга (xi , x j ) , тогда это множество называется окрестностью вершины xi . Используя понятие окрестности, граф определяют как совокупность множества вершин и множества окрестностей в виде

G = ( X , Γ) , где Γ − неоднозначное отображение, ставящее в соответствие каждой вершине подмножество Γ(xi ) в множестве X .

Обозначим через Γ−1 (xi ) – множество вершин x j , для которых в графе G

существует дуга (x j , xi ) . Например, для графа, изображенного на рис. 2.2, множество Γ(x4 ) ={x1, x3}, а множество Γ−1 (x2 ) ={x1, x3}.

Если граф ориентированный, то говорят, что дуга (xi , x j ) исходит из вершины xi и заходит в вершину x j . Число дуг, которые имеют вершину xi своей начальной вершиной, называют полустепенью исхода вершины xi и обознача-

ют d − (xi ) . Число дуг, которые имеют вершину xi своей конечной вершиной,

18

ны xi , называется число ребер, инцидентных вершине xi , то есть число ребер, концом которых является вершина xi (при этом петли считаются дважды, а изолированная вершина имеет степень 0.). Степень вершины xi будем обозначать d (xi ) . Для ориентированного графа степень вершины xi определяется сле-

дующим образом:

d(xi ) = d − (xi ) + d + (xi ) .

Иначе говоря, степени вершин ориентированного графа есть степени вершин в соответствующем неориентированном графе.

Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, в сумму степеней вершин графа каждое ребро вносит двойку. Таким образом, мы приходим к утверждению, которое установлено Эйлером и является исторически первой теоремой теории графов.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. Сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу его ребер:

Σ d(xi)=2m,

где m −число ребер графа.

Список степеней вершин графа называется его степенной последовательностью. Последовательность целых неотрицательных чисел d ={d1 ,..., dn } называется графической, если существует граф G на n вершинах x1 ,..., xn , такой что степень d (xi ) вершины xi равна di для любого i . Очевидно, что порядок членов в графической последовательности несущественен, часто удобно считать ее невозрастающей, т.е. n −1 ≥ d1 ≥... ≥ dn .

Граф, в котором две любые вершины смежны, называется полным. ПРИМЕР 2.4. На рис. 2.6, а изображен полный неорграф, 2.6, б – полный

орграф.

Рис. 2.6

19

Полный орграф называется турниром. Этот термин происходит от соревнования по круговой системе, графическое представление которого имеет структуру полного ориентированного графа. Например, пусть по круговой системе играют несколько команд, каждая со всеми остальными по одному разу. Будем считать, что правилами игры ничейный результат исключен. В представлении графом командам соответствуют вершины, а дуга (x, y) присутствует тогда и только тогда, когда команда x победила команду y . Количество очков команды x соответствует числу побежденных ею противников и равно числу элементов множества Γ(x) .

Граф G , который можно изобразить на плоскости так, чтобы никакие два ребра не пересекались в точках, отличных от вершин, называется планарным графом. Вопрос о планарности графа электрической схемы – это вопрос о выполнимости данной схемы на одной печатной плате без припаивания дополнительных проводников, выходящих в пространство.

В графе можно выделить части – подграфы, обладающие некоторыми свойствами. Рассмотрим граф G = ( X ,U ) .

ляются соответственно такими подмножествами X и U , что концы любой дуги (ребра) u из U ' принадлежат X ' .

Иначе говоря, от исходного графа остается некоторое подмножество вершин и некоторое подмножество соединяющих эти вершины ребер или дуг.

Если X = X ′, то такой подграф называется остовным.

Примером остовного подграфа может быть подграф Gu , полученный из неорграфа G путем удаления ребра u , то есть Gu = G −u .

Порожденным подграфом графа G на множестве вершин X ′ называется G′ = ( X ′,U ′) , такой что U ′ содержит все те ребра из U , которые соединяют вершины из X ′.

Подграф G′ графа G называется максимальным подграфом по отношению к некоторому свойству P , если G′ обладает свойством P и G′ не является подграфом никакого другого подграфа графа G , обладающего свойством P .

ПРИМЕР 2.5. Пусть G = ( X ,U ) представляет собой карту автомобильных дорог России: множество вершин X – это города, а множество ребер U – это дороги между городами. Тогда карта автомобильных дорог Воронежской об-

20