Учебное пособие 800343

Таблица 1.3

Дополнительные условия, которые доопределяют частично определенную функцию, называют факультативными. Алгебраический способ предусматривает запись функции в форме логического выражения, показывающего, какие логические операции должны выполняться над аргументами, и в какой последовательности. От табличной формы представления логической функции нетрудно перейти к её алгебраической записи. Например, из табл.1.3 видно, что значение функции истинно только для некоторых наборов переменных.

Логические функции, представляющие собой дизъюнкции отдельных членов, каждый из которых, есть некоторая функция, содержащая только конъюнкции и инверсии, называются логическими функциями дизъюнктивной формы. Форма представления дизъюнктивной функции, к которой инверсия применяется лишь к аргументам, но не к более сложным функциям от этих аргументов, называется дизъюнктивной нормальной формой представления функций (ДНФ).

Используя тождества булевой алгебры, можно представить одну и ту же функцию различными алгебраическими выражениями. Возникает задача нахождения такой формы записи функции, при которой одной и той же функции будет соответствовать только одна формула стандартного типа. Такие формы записи называются каноническими.

Если каждый член дизъюнктивной нормальной функции от нескольких аргументов содержит все эти аргументы, часть из которых входит в него с инверсией, а часть - без неё, то такая форма представления называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Каждое из логических произведений переменных, для которых значение функции Y истинно, называют минтермом. Так, например, логическую функцию, заданную табл.1.3 можно представить в виде суммы минтермов:

Y x3 x2 x1 x3 x2 x1 x3 x2 x1 x3 x2 x1 .

Точно также можно выделить и нулевые значения функции, приведенные в табл.3,

Y x3 x2 x1 x3 x2 x1 x3 x2 x1 x3 x2 x1 .

Применив к последнему выражению правило де Моргана, получим алгебраическое выражение

11

Y x3 x2 x1 x3 x2 x1 x3 x2 x1 x3 x2 x1

функции в виде конъюнкции логических сумм переменных и их отрицаний. Набор значений переменных, на которых функция равна 0, называется макстермом. Такую форму представления логической функции называют совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).

1.4. Функционально полные системы

Как показано выше, любая функция алгебры логики может быть записана в виде СДНФ или СКНФ. Следовательно, любую логическую функцию можно представить с помощью трех элементарных функций: инверсии, конъюнкции и дизъюнкции. Система функций алгебры логики называется полной, если любая функция от произвольного числа аргументов может быть представлена суперпозицией этих функций. Полная система функций называется базисом. Минимальным базисом называется такой базис, для которого удаление хотя бы одной из функций, образующих этот базис, превращает систему функций в неполную.

Полная система из дизъюнкции, конъюнкции и инверсии является избыточной. Действительно с помощью правил де Моргана можно представить конъюнкцию через дизъюнкцию и инверсию, аналогично дизъюнкцию через конъюнкцию и инверсию. Следовательно, базисы, состоящие из инверсии и дизъюнкции, а также из инверсии и конъюнкции, являются минимальными.

Пример. Пусть логическая функция задана в ДНФ следующим выражением Y X1 X2 X3. Требуется разработать функциональную схему, реализующую данную функцию на базисных элементах 2И-НЕ (элементы Шеффера, реализующие функцию конъюнкции с инверсией).

Сгруппируем аргументы заданного алгебраического выражения согласно аксиоме ассоциативности и выполним преобразование логической суммы по правилу де Моргана

Y X1 (X2 X3) X1 (X2 X3).

В результате получим алгебраическое выражение содержащее:

две функции конъюнкции с инверсией от двух аргументов, реализуемые двумя логическими элементами Шеффера;

две функции инверсии от одного аргумента, также реализуемые двумя логическими элементами Шеффера с объединенными входами согласно тождеству X1 X1 X1.

Такое алгебраическое выражение может быть реализовано приведенной ниже функциональной схемой (рис.1.2).

Задача проектировщика состоит не только в том, чтобы создать устройство, выполняющее заданную логическую операцию, но и в том, чтобы из всех возможных вариантов выбрать наилучший, требующий меньшего числа элементов для реализации. При этом улучшаются не только экономические показатели (стоимость, масса, габариты), но и технические характеристики (например, быстродействие).

12

Рис. 1.2. Функциональная схема устройства

2. ЦИФРОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫЕ УСТРОЙСТВА. ТРИГГЕРЫ

2.1. Определение цифровых последовательностных устройств. Способы описания конечных автоматов

Цифровое устройство называется последовательностным (ПЦУ), если его выходные сигналы Y зависят не только от текущих значений входных сигналов X, но и от последовательности предыдущих входных сигналов. В ПЦУ последовательность поступления входных сигналов фиксируется запоминающими устройствами (элементами памяти).

Элемент памяти помимо входных и выходных сигналов характеризуется состоянием, которое может изменяться под воздействием сигналов на его входе. Простейший элемент памяти может принимать одно из двух состояний: 0 или 1. ПЦУ называются также автоматами с памятью.

Основой построения ПЦУ является структурная теория конечных автоматов. В структурной теории автоматов используют способы построения сложных автоматов из более простых элементов. Функционально полный набор элементов для построения цифровых автоматов должен содержать:

1)логические элементы, образующие функционально полную систему для построения комбинационных устройств, например И-НЕ, ИЛИ-НЕ;

2)элементы памяти Т с двумя состояниями.

Примерами, функционально полных систем для построения конечных автоматов, могут быть следующие наборы элементов:

1)И-НЕ, Т;

2)ИЛИ-НЕ, Т;

3)И, ИЛИ, НЕ, Т.

На рис. 2.1 показана обобщенная структурная схема ПЦУ. Данная схема содержит комбинационное цифровое устройство (КЦУ) и запоминающее устройство (ЗУ). Запоминающее устройство представляет собой совокупность элементов памяти Т1, Т2, .., Тк, на которые воздействуют управляющие сигналы Ui = {u1i, u2i, …, uLi}. Под воздействием сигналов Ui элемент Ti может перейти в одно из двух состояний: 0 или 1. Состояние элемента Ti отображается сигналом Zi. Совокупность сигналов Z = {Z1, Z2,…, Zk} отображает состояние ПЦУ. Общее число состояний ПЦУ будет 2к.

13

Рис. 2.1. Обобщенная структурная схема ПЦУ

Данная схема содержит комбинационное цифровое устройство (КЦУ) и запоминающее устройство (ЗУ). Запоминающее устройство представляет собой совокупность элементов памяти Т1, Т2, .., Тк, на которые воздействуют управляющие сигналы Ui = {u1i, u2i, …, uLi}. Под воздействием сигналов Ui элемент Ti может перейти в одно из двух состояний: 0 или 1. Состояние элемента Ti отображается сигналом Zi. Совокупность сигналов Z = {Z1, Z2,…, Zk} отображает состояние ПЦУ. Общее число состояний ПЦУ будет 2к.

Из всего многообразия запоминающих устройств, в данном курсе будут рассмотрены регистровые запоминающие устройства, основой построения которых служат триггеры.

2.2. Триггеры. Классификация триггеров

Триггером называют устройство, которое может находиться в одном из двух устойчивых состояний и переходить из одного состояния в другое под воздействием входных сигналов. Состояние триггера (0 или 1) определяется по его выходному сигналу.

Триггеры – элементарные автоматы, содержащие элемент памяти и схему управления. Элемент памяти строится на двух инверторах, связанных таким образом, что выход одного соединен с входом другого. Такое соединение создает цепь с двумя устойчивыми состояниями – бистабильную ячейку (рис.2.2).

Если на выходе инвертора 1 имеется логический ноль, то он обеспечивает на выходе инвертора 2 логическую единицу, которая подтверждает 0 на его выходе. То же согласование сигналов имеет место и для второго состояния, когда инвертор 1 находится в единице, а инвертор 2 – в нуле.

Для управления состоянием элемента памяти, его следует дополнить входами, превращающими инверторы в элементы ИЛИ-НЕ, а схему элемента памяти (бистабильной ячейки) в схему асинхронного RS-триггера. На дополнительные входы поступают внешние установочные сигналы S и R.

14

Рис. 2.2. Элемент памяти и дополнительные управляющие входы

Классификация триггеров проводится по следующим признакам:

(нетактируемые) и синхронные (тактируемые) триггеры.

Тип триггера определяется функциональной зависимостью между сигналами на входах и выходах, что может быть выражено разными способами: таблицами функционирования (переходов), временными диаграммами, характеристическими уравнениями.

2.3.Асинхронные триггеры

Асинхронный RSтриггер с прямыми входами.

Таблица функционирования RS-триггера с прямыми входами представлена в виде табл. 2.1.

Таблица 2.1

Заменяя различными комбинациями столбец с неопределенными значениями, можно получить характеристические (алгебраические) уравнения для RS-триггеров на базисных логических элементах.

Для реализации RS-триггера в базисе ИЛИ-НЕ выполним группирование ячеек карты Карно по нулям (рис.2.3, а ). Преобразуем полученное минимизированное алгебраическое выражение ДНФ в характеристическое уравнение асинхронного RS-триггера с прямыми входами

Qn Rn Qn 1 Sn Rn (Qn 1 Sn ); Qn Rn (Qn 1 Sn ).

Соединив выход Qn синтезированного комбинационного устройства с его входом Qn-1, получим функциональную схему асинхронного RS-триггера с

15

прямыми входами на элементах ИЛИ-НЕ. На рисунках 2.3 б и 2.3 в приведена схема и условно-графическое обозначение триггера.

Рис. 2.3. Схема и условно-графическое обозначение триггера

На рис. 2.4 приведена временная диаграмма переключения состояний триггера с учетом его начального состояния (Q = 0).

Изменение состояний входных сигналов происходит в моменты времени tn (n = 0, 1, .., ∞), не синхронизированные между собой, на непрерывной оси времени. Отсюда название – асинхронный триггер.

Рис. 2.4. Временная диаграмма переключения состояний триггера

Таблица функционирования асинхронного RS-триггера с инверсными входами представлена в виде табл. 2.2.

Для реализации RS-триггера в базисе И-НЕ выполним группирование ячеек карты Карно по единицам (рис. 2.5, а). Преобразуем полученное минимизированное алгебраическое выражение ДНФ в характеристическое уравнение асинхронного RS-триггера с инверсными входами

Соединив выход Qn синтезированного комбинационного устройства с его входом Qn-1, получим функциональную схему асинхронного RS-триггера с прямыми входами на элементах ИЛИ-НЕ. На рис. 2.5, б, в приведена схема и условно-графическое обозначение триггера. На рис. 2.6 приведена его временная диаграмма.

На условном графическом обозначении кружки на входах R и S показывают, что RS-триггер управляется инверсными сигналами. Т.е. в режиме

Рис. 2.5. Функциональная схема асинхронного RS-триггера

Таблицы функционирования и характеристические уравнения описывают статический режим работы триггеров, а временные диаграммы представляют динамический режим. Из временных диаграмм видно, что длительность входного сигнала t вх. min асинхронных RS-триггеров определяется средним временем задержки сигнала логических элементов t з. ср.

t пер = t вх. min = 2 t з. ср.

Разрешающее время асинхронного RS-триггера, определяемое как минимально допустимое запаздывание сигнала на входе R относительно входа S: tраз = 3 t з. ср.

Рис. 2.6. Временная диаграмма работы RS-триггера с инверсными входами

17

2.4. Синхронные триггеры

В цифровых устройствах наибольшее применение нашли синхронные (тактируемые) триггеры. Указанные триггеры имеют специальный вход «С» тактовых сигналов (Clock - часы). Восприятие входных сигналов в синхронных триггерных устройствах выполняется только во время действия тактовых сигналов. Асинхронные сигналы используются лишь для установки и сброса внутренних фрагментов в синхронных триггерных схемах.

Синхронные триггеры подразделяются на триггеры, управляемые уровнем (статические триггеры), и триггеры, управляемые фронтом тактового сигнала (триггеры с динамическим управлением).

Управление уровнем предполагает, что при одном уровне тактового сигнала триггер воспринимает входные сигналы, а при другом уровне триггер не изменяет своего состояния.

При управлении фронтом переключение триггера осуществляется только в моменты перепада тактового сигнала.

На рис. 2.7 показаны процессы, происходящие в синхронных триггерах, и приведены условно-графические обозначения тактовых входов различных синхронных триггеров по ГОСТ 2.743-91.

Двухступенчатые триггеры – одна из разновидностей триггеров с динамическим управлением. Разрешающим фронтом тактового сигнала двухступенчатых триггеров считается фронт, при котором выполняется перенос информации из первой ступени во вторую.

2.4.1. Синхронные статические триггеры

Синхронный RS-триггер со статическим управлением отличается от асинхронного RS-триггера наличием синхронизирующего входа. Таблица функционирования синхронного RS-триггера приведена в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Входы S и R являются информационными. Сигналы на этих входах должны переключаться до поступления активного уровня синхроимпульса. Функциональную схему такого триггера (рис. 2.8,а) достаточно просто можно построить на базе асинхронного RS-триггера с инверсными входами. Другие методы синтеза логической структуры данного триггера, рассмотренные в разделе 3, трудоемки и не эффективны.

18

Рис. 2.7. Временные диаграммы работы синхронных триггеров с прямым (а) и инверсным управлением уровнем (б), с прямым (в) и инверсным динамическим управлением (г), двухступенчатых триггеров с динамическим управлением (д)

Комбинационная схема управления асинхронным RS-триггером содержит два логических элемента И-НЕ. При С=0, независимо от входных информационных сигналов, на выходах схемы управления присутствуют пассивные единичные уровни сигналов, обеспечивающие режим хранения триггера. При С=1 оба логических элемента открыты для прохождения информационных сигналов, устанавливающих асинхронный RS-триггер в заданное состояние. Запрещенной комбинацией информационных сигналов является S=R=1.

Условно-графическое обозначение синхронного RS-триггера со статическим управлением приведено на рис.2. 8, б. Временная диаграмма работы триггера представлена на рис. 2.9.

19

Рис. 2.8. Функциональная схема (а) и условно-графическое обозначение (б) синхронного статического RS-триггера

Рис. 2.9. Временная диаграмма работы триггера

Синхронный D-триггер со статическим управлением. В D- триггерах имеется только один информационный вход D и вход синхроимпульсов С. Функционирование триггера задается таблицей 2.4.

Схема D-триггера может быть получена путем соединения информационных входов синхронного RS-триггера через инвертор (рис. 2.10,а). В данной схеме исключается возможность поступления на входы RS-триггера запрещенной комбинации R=S=1.

Несмотря на это преимущество, D-триггер уступает RS-триггеру по быстродействию из-за дополнительной задержки информационного сигнала в инверторе. Поэтому в цифровой схемотехнике при организации регистровых схем для хранения последовательности кодовых комбинаций часто применяют RSтриггеры.

Условно-графическое обозначение и временная диаграмма синхронного статического D-триггера приведено на рис. 2.10, б и рис. 2.11.

20