Учебное пособие 800247

3.17. Имеется стационарный случайный сигнал x(t) с корреляционной функцией

B(t ) = (sin )/ .

Найти корреляционную функцию, дисперсию и спектральную плотность его производной y(t)= dx(t)/dt, полученной на выходе дифференцирующей цепи.

3.18. Случайный сигнал x(t) имеет корреляционную функцию

Bx (t ) = e (ch | |+( / )sh | |), ( > 0, > 0).

Случайный сигнал на выходе дифференцирующего устройства равен y(t)=d x(t)/ dt. Найти его корреляционную функцию By() и спектральную плотность Gy( ).

3.19. Найти спектральную плотность марковскогогауссовского процесса, для которого нормированная функция корреляции равна

r( ) = e e– | | .

3.20. Найти спектральную плотность квазислучайного фототелеграфного сигнала, имеющего закон распределения

Wx (t ) = ( t)2 k sech t 2k , (k = 0,1,2,...)

и нормированную корреляционную функцию r(t) = sech( )cos( ).

3.21.** Известно, что плотности распределения вероятностей мгновенных значений флуктуационной помехи в двух независимых сечениях x и y являются гауссовскими с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, т.е.

39

зы в полярной системе координат; связь между случайными переменными известна:

x = Ecos ; y = E sin .

3.22. Показать, что огибающую аналитического сигнала Sa (t) можно находить по формуле:

E(t ) S (t ).

3.24. Преобразовать по Гильберту сигналы дискретной фазовой модуляции x(t ) = a cos 0 t и x(t ) = asin 0 t.

3.25.Для сигнала дискретной амплитудной модуляции

x(t )=ai cos 0 t, (ai = 0,1) построить аналитический сигнал

xа(t).

3.26. Дан непериодический сигнал x(t), имеющий спектральную функцию S(j ). Допустим, что построен сигнал

x (t) , у которого спектр «повернут» на /2, т.е. спектральная

Найти связь между x(t) и x (t) во временной области.

3.27**. Сигнал многоканальной системы связи представлен в виде:

N

x (t) (an cos(n t) bn sin(n t).

n 1

40

(1 + 2)/2.

Решение провести двумя способами. По первому способу получить решение, не прибегая к понятию аналитического сигнала, т.е. выполняя известные операции сложения гармонических колебаний; по второму – с использованием понятия аналитического сигнала.

3.29**. Дан сигнал

являющийся типичным примером сигнала в многоканальных системах связи. Получить выражение аналитического сигнала в общем виде, а затем для частного случая cn = c, n = . Линейный член выделить по отношению к средней частоте

с р = 0 + [(N +1)/2] .

3.30.Сигнал x(t) задан своей спектральной плотностью

вида:

S(j) = S1( ) – jS2( ) = 1, (1< <2),

постоянной в диапазоне частот от 1 до 2. Найти временную запись сигнала x(t) и затем представить ее в форме аналитического сигнала. Рассмотреть частный случай при 1 = 0.

Примечание: Для аудиторной работы с подробным анализом результатов решения рекомендуются задачи: 3.1, 3.7, 3.9. Следует обратить внимание на связь временной реализации случайного процесса со спектральной плотностью и корреляционной функцией, интервала корреляции с эффективной шириной спектра, на изменение корреляционной

41

функции и спектральной плотности при переходе от реализации сигнала видеоимпульса к радиоимпульсу, а так же на корреляционные функции узкополосных случайных процессов.

*При решении задач, отмеченных *, рекомендуется составить программу вычислений на алгоритмическом языке ЭВМ.

**При решении задач, отмеченных **, решение рекомендуется проиллюстрировать структурной схемой алгоритма.

42

Практическая работа № 4 Преобразование случайных сигналов в радиотехнических устройствах

Целью практической работы является изучение качественных и количественных изменений характеристик случайных сигналов и помех в линейных и нелинейных электрических цепях различного вида.

Вопросы для практической работы

1.Как классифицируются радиотехнические устройства при решении задач преобразования случайных сигналов этими устройствами?

2.Какие два типа задач решаются при анализе результатов преобразования случайных сигналов радиотехническими устройствами?

3.В чем отличие линейных радиотехнических устройств с постоянными и переменными параметрами?

4.Каким образом связаны импульсная и передаточная характеристики линейного радиотехнического устройства?

5.Как определяется временная функция сигнала на выходе линейного инерционного устройства?

6.Чем объяснить нормализацию случайного сигнала на выходе линейного инерционного радиотехнического устройства при воздействии на его вход произвольного случайного сигнала?

7.Как определяется энергетический спектр и функция корреляции сигнала на выходе линейного инерционного устройства?

8.Как изменяются свойства случайного сигнала (шума)

снормальным законом распределения в результате его преобразования в линейном устройстве?

9.Как определяется закон распределения случайных величин, функционально связанных с другими случайными величинами, закон распределения которых известен?

43

10.Как определяется временная функция сигнала на выходе нелинейного безынерционного устройства?

11.Каким образом определяется одномерная и n-мерная плотность распределения вероятностей случайного сигнала на выходе нелинейного безынерционного устройства?

Задания на практическ ую работ у

4.1**. На электрическую цепь, показанную на рис. 12, воздействует белый шум (t). Определить и построить график энергетического спектра и функцию корреляции шума y(t) на выходе. Найти дисперсию шума на выходе устройства.

Рис. 13. Вид электрической цепи

44

4.2**. На вход дифференциального устройства поступает случайный сигнал (t) с математическим ожиданием m (t)=sin(t ) и корреляционной функцией

B (t1 , t2 )= 2 exp{ – (t1 –t2 )2 }

Определить математическое ожидание, функцию корреляции и дисперсию на выходе устройства.

4.3. Случайный сигнал, корреляционная функция кото-

рого

B( ) = exp(–a),

воздействует на вход линейного инерционного устройства с АЧХ:

K ( ) 1 2 / a2 .

Определить и построить график корреляционной функции на выходе устройства.

4.4.Определить и построить график распределения случайного сигнала на выходе:

а) линейного детектора огибающей; б) квадратичного детектора огибающей, когда на

входе действует случайный сигнал, представляющий собой гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием.

4.5.На вход безынерционного устройства, характеристика которого показана на рис. 14, действует стационарный гауссовский шум x(t ) с нулевым математическим ожиданием. Определить плотность распределения вероятностей W(y) шума y(t) на выходе устройства.

4.6.Показать, что при квадратичном преобразовании y = a x2 стационарного гауссовского шума, двумерная плотность распределения вероятностей которого имеет вид:

коэффициент корреляции шума на выходе равен квадрату коэффициента корреляции входного шума. Как изменяется средняя мощность процесса?

45

46

(t ) на выходе квадратичного детектора огибающей, а также среднее значение m , функцию корреляции B ( ) и дисперсию 2 ;

б) среднее значение my, функцию корреляции By() и дисперсию 2y на выходе RC–фильтра нижних частот.

4.8. Плотность распределения амплитуды сигнала на выходе канала связи с замираниями имеет вид (закон Релея)

где с2 – средняя мощность сигнала.

Определить и построить плотности распределения отношения сигнал/шум W(h)и W(h2), учитывая, что величины h2 и Aсвязаны функциональной зависимостью h2 = A2 /(2 п 2 ), где п 2 – средняя мощность шума на выходе канала связи.

4.9. На вход дифференцирующего устройства поступает случайный сигнал (t) с математическим ожиданием m (t)=sint и корреляционной функцией B (t1 ,t2 ) = 2 exp[–

(t2 –t1 )].

Определить математическое ожидание, функцию корреляции и дисперсию на выходе устройства.

Примечание: Для аудиторной работы с подробным анализом результатов решения могут быть рекомендованы задачи 4.1, 4.2, 4.5, 4.6, позволяющие выяснить влияние линейных инерционных и нелинейных безынерционных преобразований на функцию корреляции и спектр случайного сигнала.

** Решение задач, отмеченных **, рекомендуется проиллюстрировать структурной схемой алгоритма.

47

48