Учебное пособие 800247

Рис. 9. Корреляционные функции (продолжение)

2.15. Найти корреляционную функцию периодического сигнала многоканальной системы связи, представленного рядом Фурье:

x1 (t ) произвольной формы и «узкого импульса», который может быть представлен функцией x2 (t ) = x0 (t – t0 ).

2.17. Найти функцию взаимной корреляции двух зондирующих «узких» импульсов в гидроакустическом канале связи, сдвинутых между собою на время t.

2.18. Найти взаимную корреляционную функцию радиолокационных сигналов: периодической последовательности «узких» импульсов и сигнала x1 (t) произвольной формы и с ограниченной длительностью.

29

2.19. Найти взаимную корреляционную функцию измерительных сигналов x1 (t) и x2 (t), изображённых на рис. 10:

Рис. 10. Измерительные сигналы

2.20. На вход приемника системы связи поступает слабый «периодический на отрезке» сигнал

x(t ) = a cos( t + ), (0 <t < )

вместе с шумом, корреляционная функция которого имеет вид:

Сформулировать условия, при которых возможен приём слабого сигнала x(t) и составить структурную схему приемника. Считается, что сигнал и шум между собой некоррелированы.

2.21. Вычислить и изобразить графически корреляционную функцию одиночной кодовой последовательности прямоугольных импульсов длительности вида:

1)(+1,+1,+1,–1,+1)

2)(–1,+1,+1,+1,+1)

3)(+1,–1,+1,+1,+1)

4)(+1,+1,–1,+1,+1)

5)(+1,+1,+1,+1,–1)

6)(–1,–1,–1,+1,+1)

7)(–1,–1,+1,+1,+1)

8)(+1,–1,–1,–1,+1)

9)(+1,–1,–1,+1,+1)

10)(+1,+1,–1,–1,+1)

11)(+1,+1,+1,–1,–1)

30

12)(–1,–1,+1,–1,–1)

13)(+1,–1,–1,–1,+1)

14)(+1,+1,–1,–1,–1)

15)(–1,+1,–1,+1,+1)

16)(+1,+1,+1,–1,+1,+1)

17)(+1,+1,–1,+1,+1,+1)

18)(+1,–1,+1,+1,+1,+1)

19)(–1,+1,+1,+1,+1,+1)

20)(–1,–1,+1,+1,+1,+1)

21)(+1,+1,–1,–1,+1,+1)

22)(+1,+1,+1,+1,–1,–1)

23)(+1,+1,–1,+1,–1,+1)

24)(+1,+1,+1,+1,–1,+1)

26)(+1,+1,+1,+1,–1,+1,+1)

27)(–1,–1,+1,+1,–1,+1,+1)

28)(+1,–1,+1,–1,+1,–1,+1)

29)(–1,–1,–1,+1,+1,+1,+1)

30)(–1,–1,+1,–1,–1,–1,+1)

Вычислить корреляционную функцию этих же последовательностей при периодическом повторении и сравнить с функцией корреляции одиночной последовательности.

2.22. Плотность вероятности двух случайных сигналов X и Y в канале связи выражается формулой :

W2 (x, y) = Asin(x + y), (0 x /2, 0 y /2).

Определить постоянную A, затем найти функции распределения вероятностей: F2 (x, y), F1 (x), F1 (y).

2.23. По законам распределения, найденным в предыдущей задаче, найти вероятности, соответствующие следующим условиям:

31

2.24. Передаются два случайных сигнала X и Y, известна связь между ними и случайным параметром :

функцию rx y ( ).

2.25. Случайная помеха в канале связи характеризуется гауссовским распределением мгновенных значений

Найти закон распределения помехи z = x1 – x2, если x1 и x2 мгновенные значения помехи, являющиеся по условию независимыми случайными величинами.

2.26 Задана плотность распределения вероятностей двух случайных сигналов x(t) и y(t):

W2 (x, y) = 0,5sin( x+y), (0 x /2 ; 0 y /2).

Найти математическое ожидание, дисперсию, функцию взаимной корреляции случайных сигналов X и Y, построить корреляционную и нормированную корреляционную матрицы.

2.27. Заданы сигналы y1 и y2, которые образуются в результате преобразования сигналов x1 и x2 в канале связи:

y1 = ax1 + bx2 ; y2 = (x1 + x2)2 ;

Найти Якобиан и установить, являются ли сигналы y1 и y2 независимыми.

Примечани е: Для аудиторной работы с подробным анализом результатов решения рекомендуются задачи 2.1, 2.3, 2.8, 2.21. обратить внимание на возможность применения выводов из результатов решения задач 2.8 и 2.21 для повышения помехоустойчивости систем связи.

*При решении задач, отмеченных *, рекомендуется составить программу на алгоритмическом языке ЭВМ.

**Решение задач, отмеченных **, рекомендуется проиллюстрировать структурной схемой алгоритма.

32

Практическая работа № 3 Спектральная плотность случайного процесса.

Узкополосные и широкополосные случайные процессы

Целью практической работы является овладение методами корреляционного и спектрального анализа случайных сигналов и помех в системах связи.

Вопросы для практической работы

1.Что такое энергетический спектр стационарного случайного процесса? Как он связан с корреляционной функцией?

2.Как определяется эффективная ширина энергетического спектра случайного процесса?

3.Как связаны интервал корреляции и эффективная ширина спектра случайного сигнала?

4.Какие процессы называются узкополосными, какие широкополосными?

5.Что такое «белый шум»? Его свойства?

6.Как определяется корреляционная функция узкополосного случайного процесса?

7.Что такое аналитический сигнал?

8.Что такое огибающая E(t) и начальная фаза (t) узкополосного случайного процесса? как они связаны с квадратурными составляющими A(t) и B(t) ?

9.Какой закон распределения имеют квадратурные составляющие A(t) и B(t) узкополосного случайного процесса?

10.Какова средняя мощность случайных амплитуд A(t),

B(t) и E(t) ?

11.Чему равна нормированная корреляционная функция квадратурных составляющих A(t) и B(t)rABв совпадающие моменты времени?

12.Как определить совместную функцию плотности распределения квадратурных составляющих A(t) и B(t) узкополосного гауссовского процесса?

33

13.Какой закон распределения имеют значения огибающейгауссовского случайного процесса, когда:

математическое ожидание равно нулю;

математическое ожидание не равно нулю?

14.Какой закон распределения имеют значения начальной фазы гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием?

Задания на практическ ую работ у

3.1*. Определить спектральную плотность случайного телеграфного сигнала (t), если его функция корреляции имеет вид:

34

3.3. Рассматривается случайная гармоническая помеха

x(t) W cos( 1t ),

где W– центрированная амплитуда с дисперсией DW ;

– случайная фаза, распределенная равномерно в интервале (0, 2);

1– неслучайный параметр ( 1> 0).

Случайные величины и независимы. Найти характеристики случайной помехи x(t): математическое ожидание, корреляционную функцию. Определить, является ли случайная гармоническая помеха x(t) стационарной и эргодической. Если она стационарна, то найти ее спектральную плотность

Gx ( ).

3.4. Рассматривается случайный сигнал на входе приемника, полученный путем сложения от n антенн

где xi (t) – стационарные некоррелированные случайные сигналы с характеристиками mi ;Bi ( ); Gi ( ), (i = 1, 2, ..., n);

ai,b – действительные числа.

Найти характеристики случайного сигнала y(t).

3.5. Рассматривается сложная мультипликативная по-

меха:

где xi (t) – независимые стационарные случайные процессы с характеристиками mi =0; Bi ( );Gi( ), (i=1,2,...,n ).

Найти характеристики помехи Y(t). 3.6. Определить, обладает ли функция

принятого неизвестного сигнала X(t) свойствами корреляционной функции.

35

3.7*. Определить и построить графики функций корреляции, спектральных плотностей, вычислить интервалы корреляции и эффективную ширину спектров случайных сигналов X1(t) и X2 (t), реализации которых имеют вид (рис. 12):

3.8*. Спектральная плотность G() стационарного случайного сигнала X(t) имеет вид

Определить соотношение между эффективной шириной спектра сигнала эф и шириной его спектра на уровне

0,5G(0).

3.9**. Найти корреляционную функцию B() стационарного случайного процесса с равномерной спектральной плотностью:

36

лосный процесс.

3.10*. Спектральная плотность речевого сигнала G( ) на различных участках фразы имеет вид:

Найти корреляционные функции. Построить графики

G() и B( ).

3.11*. Выяснить разницу между спектральными плотностями случайных сигналов X1(t) и X2(t), передаваемых по каналам связи. Корреляционные функции B1() и B2() имеют вид:

37

3.12. Показать, что спектральная плотность случайного стационарного сигнала Y (t) с корреляционной функцией

By ( ) = Bx ( ) cos 0

определяется на положительных частотах (при f0>>FЭ, где

FЭ –ширина спектра сигнала с корреляционной функцией Bx(t)) соотношением

Gy (f ) = Gx (f – f0 ),

где Gx(f) – спектральная плотность стационарного сигнала с корреляционной функцией Bx( ).

3.13. Показать, что изменение в a раз масштаба аргумента корреляционной функции в приемнике системы связи влечет за собой изменение спектральной плотности в соответствии с равенством

3.14. Найти спектральную плотность детерминированного процесса (элемента сигнала дискретной фазовой модуляции)

x(t ) = a cos( 0 t + 0 ), (0 t T)

и дать соответствующие спектральные диаграммы.

3.15. Найти спектральную плотность детерминированного финитного сигнала (элемента сигнала дискретной фазовой модуляции)

x(t ) = a cos( 0 t + 0 ); (0 t T),

полагая длительность T достаточной для того, чтобы считать приемлемой аппроксимацию корреляционной функции выражением:

B( )=(a2/2)cos0.

3.16. Найти спектральную плотность стационарной случайной помехи, действующей на сигнал. Корреляционная функция помехи определяется выражением:

B(t ) = e |2 ( )– (sign )2 |.

38