Учебное пособие 800247
.pdf
Требуется :
найти и построить функцию распределения вероятностей F1 (x);
вычислить вероятность P того, что случайный сигнал принимает значения x –0,5 ; x 0,5.
1.52. Функция распределения безотказной работы t передатчика радиорелейной станции имеет вид :
F(t) 1 e |
t |
|
|
, |
(t 0). |
||
Найти:
вероятность безотказной работы передатчика в течение времени T ;
плотность распределения вероятности времени безотказной работы W(t).
1.53. Вероятность того, что на телефонную станцию поступает один вызов за время t, задается формулой :
P (t) = 1 – e– t , ( > 0).
Определить функцию плотности распределения времени между вызовами.
1.54**. Плотность распределения вероятностей случайной амплитуды помехи в канале связи имеет вид (закон Релея):
W (E)
E |
|
|
|
|
2 |
exp |
|
|
|
||
|
|
|
|
E |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
2 |
|
.
Определить и построить функцию распределения вероятностей амплитуд помехи. Вычислить математическое ожидание и дисперсию амплитуд помехи, а так же вероятность того, что амплитуды находятся в интервале от E1 до E2, где
а) E1 = 0, E2 = ; |
в) E1 = 0,E2 = 3 ; |
б) E1 = 0, E2 = 2 ; |
г) E1 = 0, E2 = 4 ; |
1.55. Измерительный сигнал в системе связи имеет вид гармонического колебания x= asin t .
Найти плотность распределения вероятности значения x в любой момент времени t, считая, что вероятность нахождения в интервале (x, x + dx) пропорциональна длине интервала
19
dx и обратно пропорциональна производной
dx dt
в соответ-
ствующий момент времени. Найти функцию распределения вероятностей F(x) и определить вероятность того, что мгновенные значения x будут находиться в интервале
|
|
[–a+b x a–c], |
(b< 2a ;c< 2a). |
|
|
Проделать расчет для двух случаев: |
|
||
|
b= 0, |
c = 3a/2, |
(рис. 2, а); |
|
|
b = a/2, |
c = a/2, |
(рис. 2, б). |
|
|
x |
(–a < x < –a/2) |
x |
(–a/2 < x < a/2) |
|
a |
|
a |
|
t |
t |
–a |
–a |
а) |
б) |
Рис. 2. Гармонические колебания
1.56. Найти значение параметра :
а) в одностороннем экспоненциальном законе распределения случайного напряжения
W(x) = e x, (x 0)
б) в двустороннем экспоненциальном законе (закон Лапласа)
W(x) = e x , (– <x< ).
20
1.57**. Определить и построить функцию распределения вероятностей, вычислить математическое ожидание и дисперсию случайного напряжения, имеющего плотности распределения вероятностей:
а) гауссовскую
|
1 |
|
(x a) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (x ) |
|
exp |
2 |
2 |
|
, |
x ; |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
б) одностороннюю экспоненциальную |
|
|||||||
|
|
W(x) = e x, |
|
x0 ; |
|
|||
в) двухстороннюю экспоненциальную |
|
|||||||
|
W(x) = e x , |
|
(–<x< ); |
|
||||
г) квадратичного закона |
|
|
|
|
|
|||
|
W(x) = 3x2/2, |
|
(–1 x 1 ). |
|
||||
Определить вероятность того, что случайное напряже- |
||||||||
ние будет в интервале от x1 до x2, причём: |
|
|||||||
1) x1 = 0, |
|
x2 = 0,5 ; |
|
|
|
4) x1 = 0, |
x2 = 3 ; |
|
2) x1 = 0,2 , |
|
x2 = 0,4 ; |
|
|
|
5) x1 = –3 , |
x2 = 3 ; |
|
3) x1 = 0,2 , |
|
x2 = 0,8 ; |
|
|
|
6) x1 = , |
x2 = 3 . |
|
Примечание: Для аудиторной работы с подробным анализом результатов решения рекомендуются задачи: 1.1, 1.2, 1.3, 1.9, 1.26, 1.32, 1.40, 1.57, которые позволяют подробно рассмотреть основные положения теории случайных величин
иих применение к задачам теории связи.
*При решении задач, отмеченных *, рекомендуется составить программу вычислений на алгоритмическом языке ЭВМ.
**Решение задач, отмеченных **, рекомендуется проиллюстрировать структурной схемой алгоритма.
21
Практическое занятие № 2 Случайные процессы. Функции распределения
и числовые характеристики
Целью практической работы является изучение вероятностных характеристик (законов распределения вероятностей), числовых характеристик и свойств случайных сигналов и помех в каналах и системах связи.
Вопросы для пр актической работы
1.Что называется случайной функцией?
2.Что называется случайным процессом?
3.Что называется реализацией случайного процесса? Примеры реализаций случайного процесса?
4.Что такое сечение случайного процесса? Что представляет собой случайный процесс в сечении?
5.Как определяется одномерная плотность распределения вероятностей случайного процесса? Что она показывает?
6.Что такое n-мерные функции распределения случайного процесса? Зачем они нужны при описании случайных процессов?
7.Какой процесс называют чисто случайным? Как свя- заныn-мерная и одномерная функции распределения чисто случайного процесса?
8.Какие процессы называются марковскими? Какие функции распределения вероятностей используются для их описания?
9.Что называется математическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией случайного процесса?
10.Что такое нормированная корреляционная функция
иинтервал корреляции? Как они вычисляются?
11.Какие случайные процессы называются стационарными в узком смысле? Какие в широком?
12.Чему равняется значение функции корреляции ста-
ционарного случайного процесса B() при = 0 ?
22
13.Какие случайные процессы называются взаимно стационарными?
14.Чем отличается некоррелированность от независимости сечений случайных процессов?
15.Какие процессы называются эргодическими?
16.Как определяются числовые характеристики эргодического случайного процесса?
17.Как используется понятие эргодичности случайных процессов в инженерной практике? Примеры.
Задания на практическ ую работ у
2.1*. Построить график одномерной плотности распределения вероятности случайного напряжения, реализация которого показана на рис. 3.
Определить математическое ожидание и дисперсию усреднением по времени одной реализации и усреднением по множеству реализаций.
|
|
|
( t ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
T |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) |
|
|
|
|
|
|
|
( t ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
5 |
|
6 |
7 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c = 2 |
c = 1 |
c = 0 |
c = – 2 |
c = – 1 |
|
T 1 = T 2 |
T 1 = 2 T 2 |
|
T 1 = 0 , 5 T 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3. График случайного напряжения
23
2.2.Флуктуационные помехи и , воздействующие на сигнал в канале связи, некоррелированы имеют гауссовские законы распределения с параметрами m , 2 и m , 2 соответственно. Определить их совместную плотность вероятности.
2.3. На рис. 4 изображены графики математического ожидания m(t) дисперсии 2 (t ) для трех разновидностей случайной помехи, действующей в канале связи: x(t ); y(t ); z (t ). Указать на графике области возможных значений каждой из случайной помехи, считая, что границы этих областей определяются значениями 2 (t).
m(t) |
|
2 |
(t) |
|
x(t) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
2 |
(t) |
|
|
y(t) |
|
||
m(t) |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
б) |
m(t) |
|
|
2 (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z(t) |
t |
|
|
|
|
|
|
x(t)
t
y(t)
t
z(t)
t
в)
Рис. 4. Графики математического ожидания
24
2.4.Известно, что в любой момент времени t распределение случайной помехи x в канале связи определяется законом:
|
1 |
|
x |
2 |
|
2 t |
|
|
W (x, t) |
|
|
e |
|
||||
2 |
exp |
2 |
|
t . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Определить математическое ожидание m(t) и дисперсию 2 (t); изобразить на графике возможную область значений случайного процессаx(t ), считая, что границы этой области соответствуют 3 . Изобразить также схематически деформацию закона распределения W(x) во времени для трех моментов, для которых t1 = 0, t2 = 1, t3 = 3.
2.5.Показать, что если два случайных сигналаx(t) на входе и y(t) на выходе приёмного устройства в результате преобразований в приемном устройстве связаны линейной зависимостью y = a bx, то нормированная корреляционная функция rx y = 1.
2.6. Найти одномерную W1 ( 1 ,t ) и двумерную W2 ( 1 , 2 ,t1 , t2 ) плотности распределения вероятностей случайного сигнала, приходящего на приемную антенну тропосферной линии связи, если
(t) = cos t + sin t ,
где – постоянная угловая частота, и – взаимно независимые случайные величины с нулевыми средними значениями m = m = 0 и дисперсиями 2 = 2 = 2 .
2.7*. Определить постоянную составляющую, среднюю мощность переменной составляющей и функцию корреляции реализаций случайных сигналов, передаваемых в многока-
нальной системе связи: |
|
|
|
1) |
i (t ) = a sin 0 t, |
2) |
i (t) = a cos 0 t, |
3) |
i (t) = asin( 0 t + ), |
4) |
i (t)=a cos( 0 t + ), |
5) |
i (t) = a[1 + sin 0 t], |
6) |
i (t) = a[1 + cos 0 ], |
где – случайная фаза с равномерным законом распределения
W1 ( ) 21 .
25
2.8**. Найти корреляционную функцию B( ) и интервал корреляции 0 случайного синхронного телеграфного сигнала, реализации которого имеют случайный равномерно распределенный сдвиг t относительно начала координат, принимающий в дискретные моменты времени кратные T значенияA с вероятностью 0,5 независимо от того, какое значение он имел на предыдущем участке (рис. 5, а), и одиночной телеграфной посылки (рис. 5, б).
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t'=t+ |
x(t) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
T |
|
|
2T |
|
|
|
nT t |
A |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
T |
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|||||||
|
|
|
Рис. 5. Телеграфная посылка |
|
|||||||||||
2.9. |
Показать, что |
|
взаимная корреляционная |
функция |
|||||||||||
Bx y (t,t ) стационарной случайной помехи x(t ) и
y(t)
dx (t) dt
,
полученной в результате прохождения x(t) через дифференцирующую цепь, удовлетворяет условию:
Bx y (t,t ) = – Bx y (t ,t),
т.е. при перемене местами аргументов меняется знак. 2.10.Флуктуационная помеха x в канале связи распреде-
лена по гауссовскому закону с характеристикамиmx и x. После прохождения двух параллельных приемных трактов многоканальной системы связи образуются случайные помехи y и z, связанные с x зависимостями y = x2 ;z = x3. Найти взаимные корреляционные функции Bx y , Bx z , By z .
2.11**. Найти корреляционную функцию, ковариационную функцию, нормированную корреляционную функцию и интервал корреляции 0 случайного стационарного телеграфного сигнала x(t ), изображённого на рис. 6 и представляющего собой последовательность прямоугольных импульсов равной амплитуды (равной 1) и случайной длительности. Распределе-
26
ния переходов (1 0 и 01) принимаются независимыми, т.е. распределение значений x(t) (или 0, или 1) подчиняется закону Пуассона.
x(t) 1
t
Рис. 6. Стационарный телеграфный сигнал
2.12**. Найти корреляционную функцию дискретного случайного стационарного телеграфного сигнала x(t), изображённого на рис. 7. Известно, что случайная величина x(t) может принимать значения +1 и –1 с равной вероятностью, а вероятность независимых перемен знака определяется законом Пуассона.
x(t) 1
t –1
Рис. 7. Телеграфный сигнал
Задачу решить независимо от предыдущей; полученный результат сопоставить с результатом решения предыдущей задачи и показать возможность решения данной задачи на основе использования результата предыдущей.
2.13**. Случайный сигнал x(t) рис. 8 для передачи по каналу связи дискретизирован по уровню. Известно, что число перемен знака подчиняется закону Пуассона, кроме того, M{ xi }=0, где xi – значение случайной величины на текущем интервале между переменами знака, считаются независимыми. Задано, кроме того, M{ xi 2 }.
Найти корреляционную функцию.
27
x(t)
xi
t
Рис. 8. Случайный сигнал
2.14*. Даны корреляционные функции (рис. 9) случайных сигналов, передаваемых по каналу связи.
Найти интервал корреляции 0 для указанных корреляционных функций.
B( )
A
0 |
|
|
B( ) 
A
0 |
|
|
1) B( ) Ae |
|
|
2) |
B( ) |
A |
|
|
||
|
2 |
|
2 |
|||
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|||
Рис. 9. Корреляционные функции
28