Учебное пособие 800179

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а) В пределе

имеем неопределенность

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

828.65 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

8.22. а) y 2x3 9x2 12x ,

8.23. а) y 16 6x2 x3 ,

8.24. а) y (x2 4)2 ,

8.25. а) y x3 5x2 3x ,

8.26. а) y x3 5x2 3x ,

8.27. а) y (x 1)(x 3)2 ,

8.28.а) y 16x3 6x2 1,

8.29. а) y x3 3x2 9x 11,

8.30. а) y ( x 1)(x 3)2 ,

б)	y	x2	2x 7		.
		x2	2x 3

б)	y	1		.

		(x4	1)

б)

x 2

б)

б) y

4(x 1)2

x2 2x 4

б)

3x 2

б)

x 2

б)

3 27x 54

б) y

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача №1. Вычислить пределы числовых последова-

(5 4n)2

тельностей: а)

lim

б)

lim

3n 1

(n 2)

(n 3)

3n 3

Решение.

а) В пределе lim

(5 4n)2

имеем неопределенность

(n 2)

(n 3)

. Для раскрытия неопределенности упрощаем дробь и вы-



носим старшие степени в числителе и знаменателе:

lim

(5 4n)2

lim

16n2 40n 25

(n 2)

(n 3)

27n 27

n n

12n 8 n

n2 (16

)

(16

)

16n2 40n 25

lim

15n

15n 35

lim 2

lim

n n ( 15 n n2 )

n ( 15 n n2 )

16 .

Здесь было использовано,

что при

n величины

стремятся к нулю (являются бесконечно малыми величи-

n 2

нами).

n2 имеем неопределенность

б) В пределе

lim

8n2 3n 1

3n 3

1 . Для раскрытия неопределенности 1 преобразуем дробь

и показатель степени так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом.

lim

8n2 3n 3 4

lim

8n2 3n 3

(8n2 3n 3)

( 4)

lim

(8n

lim

3n 3)

(8n 3n 3)

n 1

8n2 3n 3

(

n e

4n2

)

lim e

Задача 2. Вычислить пределы функций

x3 4 x 3

а)

lim

б)

lim

x 6 2

x 1

x 2

в) lim

sin

2 6x

lim

ln( 2 3x)

г).

x 1 .

1 cos 8x

x 0

x 1

Решение.

Многочлены числителя и знаменателя разлагаем на множите-

ли. Для этого многочлен x3 4x 3

разделим нацело на (x 1) ,

используя, например, деление уголком. В результате имеем

x3 4x 3 (x 1)(x2

x 3) .

Многочлен знаменателя разлагается на множители в со-

ответствии с легко определяемыми корнями x1 1,

x1 2 .

lim

x3 4 x 3

lim

( x 1)( x2 x 3)

lim

( x2 x 3)

( x 1)( x 2)

x 1

3x 2

x 1

( x 2)

б) В пределе

lim

x 6 2

имеем неопределенность

x 2

Для выделения множителя (x 2)

в числителе умножим

числитель и знаменатель на

иррационально сопряженное вы-

ражение, позволяющее собрать разность кубов, и упростим.

2) (3 ( x 6)2 23

lim

x 6

lim

x 6 2

( x 2)( x2 2 x 4) (3

x 2

( x 6)2 23 x 6 4)

lim

( x 6 8)

x 2 ( x 2)( x2 2 x 4)

(3 ( x 6)2 23

x 6

lim

( x 2)

lim

x 2 ( x 2)( x2 2x 4) (3 ( x 6)2 23

x 6 4)

x 2

( x2 2x 4) (3 ( x 6)2 23

x 6 4)

Поскольку неопределенность

исчезла,

то предел вычисля-

ется подстановкой предельного значения x 2 .

144 .

lim

(4 4 4)

x 2 ( x 2x 4) (

( x 6) 2

x 6 4)

в) В пределе lim

sin 2 6x

для раскрытия неопределен-

cos 8x

x 0

ности 0

воспользуемся

первым

замечательным

пределом

lim

sin (x)

и формулой понижения степени из тригоно-

(x)

( x) 0

метрии 1 cos 2x 2sin 2 x :

sin 2

36x2

lim

sin

lim

36x

lim

36x

2sin 2

sin 2

x 0 1 cos 8x

x 0

16x2

16x

г).

Рассмотрим предел

lim

ln( 2 3x)

Для того,

чтобы

x 1

воспользоваться вторым замечательным пределом

lim 1 (x)

( x)

( x) 0

произведем замену t x 1.

lim ln( 2 3x)

lim ln(1 3t )

3lim ln(1 3t )

3 lim

ln(1 3t )

x 1

t 0

t 1

3lim ln(1 3t)3t

3ln e 3.

t 0

Задача 3. Написать уравнение касательной и нормали к

кривой y 2x4

3x в точке M(1,1).

Решение.

Уравнение касательной

к кривой

y f (x)

точке

( x0 ; f (x0 ) ) имеет вид : y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .

Так как y 8x3 3, то угловой коэффициент касательной равен y (1) 5 . Получаем уравнение касательной

y 1 5(x 1) или y 5x 6 .

Уравнение нормали: y 1 15 (x 1) или y 5x 54 .

Задача 4. Найти производные:

(x3 7x2 2x 2)

sin 2

28x

а)

б) y sin

tg 2

x 1

56 cos 56x

x2 1

1 x2

в)

arcsin x, г)

y arctg

Решение.

а) Пользуясь правилом дифференцирования сложной

функции и таблицей производных, имеем

x 1 x3 7x 2 2x 2

x3 7x 2 2x 2

5(x 1)

3x 2 14x 2 x

1 (x3 7x 2 2x 2)

x 1

5(x 1)

3x 2

14x 2 2(x 1) (x3 7x 2 2x 2)

(x 1)3

5x3

27x 2 26x 2

(x 1)3

б)

Пользуясь

правилом

дифференцирования

сложной

функции и формулами тригонометрии при упрощении, имеем:

sin 2 28x

sin

tg 2

sin

tg 2

56 cos 56x

sin

28x cos 56x sin

28x cos 56x

56 cos 2 56x

2 sin 28x cos28x 28 cos 56x sin 2 28x sin 56x 56

56 cos 2 56x

56(sin 28x cos28x cos 56x sin 2

28x sin 56x)

56 cos 2 56x

sin 28x(cos28x cos 56x sin 28x sin 56x) cos 2 56x

sin 28x cos 28x

sin 56x

cos 2 56x

2 cos 2 56x

1 x 2

в)

arcsin x

x 2 (x)

1 x 2 x 1

x 2

1 x 2

2 1 x

x 2

1 x 2

x 2

1 x 2

x 2

1 x 2

x 2

1 x 2

x 2

1 x 2

x 2

x 2 1 x 2

1 x 2

x 2 1 x 2

2 1

x 2

г) arctg

x 2

(x 2

1) x (x 2 1) (x)

x 2

				1					2x 2		(x 2				1)

								2				2
				x 2		1		2			x	2
				x 2		1					x
		1
		1
						x
						x
				x 2				x 2 1							x 2 1
																		.
x	2	x	4	2x	2				x	2			x	4	x	2	1	.
x		x		2x			1		x				x		x		1

Задача №5. Найти производную функции y (cos x )ctgx

с помощью логарифмического дифференцирования. Решение. Прологарифмируем равенство:

ln y ctgx ln(cos x) .

Продифференцируем полученное равенство по x, считая y функцией x:

(ctgx)

ln(cos

x ) ctgx (ln cos

x )

( sin

ln(cos

) ctgx

x )

sin 2

cos

ln(cos

x )

ctgx

sin 2 x

ctgx

x )

y y

ln(cos

ctgx

cos x

ln(cos

ctgx

sin

параметрически за-

Задача №6. Найти производную yx

x ln(4 t 2 ),

данной функции

y arcsin

4 t 2 .

Решение.

4 t 2

arcsin

4 t

1 (4 t

)

4 t

3 2

ln(4 t

)

4 t

4 t 2

t 2

(4 t 2 )

4 t 2

2 t 2 3

4 t 2

2 t 2 3

Задача №7. Вычислить приближѐнно значение функции

x 1,87.

y 4

3x 10 с помощью дифференциала в точке

Решение.

Применение дифференциала в вычислениях связано с использованием приближенного приравнивания приращения функции y y(xо x) y(xо ) и дифференциала функции

dy y (xо ) x :

y(xо x) y(xо ) y (xо ) x .

2 ,

x 0,13,

В нашем случае

y(x ) 4

3 2 10 2 ,

y (x) 4 3x 10

4 4 (3x 10)3

Имеем: 4 3 1,87

10 4 3 2 10

( 0,13)

44 (3 2 10)3

3(0,13)

2 0,01 1,99.

Задача № 8. Провести полное исследование функций а)

, б)

y 3

x3 6x2

и построить

графики этих

(x 3)2

функций.

а) Решение.

	y	x3
1. Найдем область определения функции			.
		(x 3)2

Область определения функции y(x) ограничена нулями знаменателя: D( y) ( ,3)U (3, ) .

2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка

О(0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность:


	(x)3		x3
y(x)
	(x 3)2		(x 3)2
Очевидно, что y( x) y(x) и		y( x) y(x) , поэтому

функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать около выколотой точки x 3 . Для доказательства, что вертикальная прямая x 3 будет асимптотой, вычислим пределы справа и слева от функции y y(x) :

lim	x3	= + ; lim	x3	= + .
	(x 3)2		(x 3)2
x 3 0		x 3 0

Поскольку односторонние пределы стремятся к бесконечности, x 3 действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями y kx b при x , x

k = lim

y(x)

lim

1 ;

x x(x 3)2

)

		x3
b lim( y(x) kx) lim				x
b lim( y(x) kx) lim			2	x
		(x 3)	2
x	x	(x 3)

									2		(6		9
x3	x3 6x 2 9x			6x 2 9x			x								)
x3	x3 6x 2 9x			6x 2 9x			x						x		)
lim			lim			lim							x			6.
lim		2	lim		2	lim										6.
	(x 3)	2		(x 3)	2	x						3
x	(x 3)		x	(x 3)		x		2		(1		3			2
						x								)
						x								)
												x

Таким образом, прямая линия с уравнением y x 6 является асимптотой при x . Те же самые значения пределов для k и b получим и при x , поэтому найденная прямая является асимптотой и при x .

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции,

точки экстремума. Для этого найдем производную функции y .

y	3x 2 (x 3)2 x3 2(x 3)				x 2		(x 3)(3x 9 2x)
		(x 3)4					(x 3)4

			x 2 (x 9)			.
			(x	3)3

Критическими точками являются стационарные точки
x 0 , x 9 . При		y >0 функция возрастает, при						y	<0 убыва-
ет. Знак производной будет меняться в точках x 9									и x 3 .

6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, а так же точки перегиба. Для этого найдем

вторую производную
y		(2x(x 9) x2 )(x 3)	3 x2 (x 9)3(x 3)			2
y		x	3 6
		x	3 6
	3x((x 6)(x 3) x(x 9))			54x
					.
		x 3 4		x 3 4	.
		Точкой, где y может менять знак, является точка х = 0,
следовательно, x 0 является точкой перегиба. Если							y < 0,
функция выпукла, при y			> 0 - вогнута.
				28

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022798.83 Кб2Учебное пособие 800174.pdf
#
01.05.2022814.18 Кб2Учебное пособие 800175.pdf
#
01.05.2022817.17 Кб2Учебное пособие 800176.pdf
#
01.05.2022819.34 Кб5Учебное пособие 800177.pdf
#
01.05.2022822.02 Кб3Учебное пособие 800178.pdf
#
01.05.2022828.65 Кб1Учебное пособие 800179.pdf
#
01.05.2022267.49 Кб3Учебное пособие 80018.pdf
#
01.05.2022830.69 Кб1Учебное пособие 800180.pdf
#
01.05.2022830.94 Кб1Учебное пособие 800181.pdf
#
01.05.2022833.27 Кб1Учебное пособие 800182.pdf
#
01.05.2022840.72 Кб1Учебное пособие 800183.pdf