Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4613 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Учебное пособие 800125

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2022
Размер:
561.2 Кб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xC xD

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yC yD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zC zD

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объем

пирамиды

ABCD

 

равен

 

 

 

1

 

 

 

части

объема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параллелепипеда,

построенного

 

на

векторах AB 3,6,3 ,

AC 1,3, 2 ,

AD 2,2,2 . Находим смешанное произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этих

векторов

(

 

 

AB AC ,AD)=

1

 

 

3

 

 

 

 

2

 

18.

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

V

ABCD

 

1

 

18

 

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

Даны

уравнения

двух плоскостей

П1 :

 

 

Задание

 

 

 

3x y z 2 ,

 

П2 : x y z 3 0

и

 

 

 

координаты

точки

M (1,3,2) . Найти угол между плоскостями, отрезки, отсекаемые

плоскостью П1

на координатных осях,

уравнение плоскости,

параллельной плоскости

П2 , и проходящей через точку

M ,

канонические уравнения прямой, являющейся линией пересечения плоскостей П1 , П2 , уравнение плоскости,

29

проходящей через точку M и линию пересечения плоскостей

П1 , П2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Укажем векторы нормали к плоскостям:n1 3,1,1 ,

n1 1, 1,1 . Косинус угла между плоскостями может быть найден

с помощью скалярного произведения векторов нормалей

cos φ=(n1, n1)/| n1 |·|n1|=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 1 ( 1) 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32 12 12 12 ( 1) 2 12

 

 

11 3

 

11

 

 

 

Для нахождения отрезков,

отсекаемых плоскостью П1 на

координатных осях, необходимо перейти от уравнения плоскости общего вида 3x y z 2 0 к уравнению плоскости в отрезках:

3

x

y

 

z

1

или

 

x

 

y

 

z

1. Отрезки, отсекаемые

 

 

 

 

2

 

 

2

2

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

плоскость П

по осям Ox,

Oy,

Oz , равны соответственно a

2

,

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

b 2, c 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение плоскости, проходящей через

точку M (1,3,2)

параллельно

плоскости П2 ( x y z 3 0 ),

записывается с

использованием вектора нормали

n1 1, 1,1 плоскости П2

как

вектора

нормали

 

 

искомой

плоскости

A x xM B y yM C z zM

0 :

 

 

 

 

 

1 x 1 1 y 3 1 z 2 0 или x y z 0 .

 

 

 

Найдем

канонические уравнения прямой - линии

пересечения

плоскостей

П1

и

П2 . Опишем прямую

как

геометрическое место точек, одновременно принадлежащих каждой из плоскостей, т.е. в виде системы

3x y z 2 0,x y z 3 0.

30

Направляющий вектор q прямой находится как векторное произведение векторов нормалей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

q=

 

 

 

 

 

n1 n1

3

1

1

2 i

2 j

4 k .

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения точки Q , принадлежащей прямой,

положим

 

xQ 0 .

 

Тогда для определения

yQ и

zQ получаем

систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yQ zQ 2 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

3 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

Q

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение системы дает

y

 

 

1

 

,

z

 

 

5

. Канонические

Q

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения прямой

 

 

x xQ

 

 

y yQ

 

z zQ

 

 

в данном случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1

 

 

 

 

z

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

плоскости,

содержащей

 

точку

M (1,3,2) и

 

 

 

 

 

 

y

1

 

 

 

 

z

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямую

x

 

2

 

 

2

 

,

получается с

 

помощью вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормали

 

n1

к

искомой

 

плоскости,

который

может быть

вычислен как векторное произведение направляющего вектора

q 2, 2, 4 и вектора QM 1, 7 , 1 :

2 2

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

k

 

 

 

n1=

q QM

 

 

 

 

 

 

 

2

2

4

15 i

3 j

9 k .

 

 

1

7

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

Искомое уравнение плоскости имеет вид

 

 

 

 

15 x 1 3 y 3

9 z 2 0 или 15x 3y 9z 24 0 .

 

Задание 11. Даны две прямые l1 (

x 1 y 2

z 3

),

 

2

 

1

 

1

 

x 2

y 1

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

l2 (

 

 

 

 

 

) и плоскость П

( x 2y 3z 1 0 ).

3

1

0

Найти угол между прямой l2 и плоскостью

П , уравнение

плоскости, проходящей через прямую l1

параллельно прямой

l2 , координаты точки пересечения прямой l1 и плоскости П .

Решение. Угол между прямой

x 2

 

y 1

 

z 1

и

3

1

0

плоскостью x 2y 3z 1 0 находится как дополнительный

для

угла

между

направляющим вектором

q2= 3,1,0

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектором нормали n= 1,2, 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos( ) sin

 

 

 

1 ( 3) 2 1

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

( N

q2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32 12 12 12 ( 1)2 12

 

10 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

 

плоскости,

проходящей

 

через

 

прямую

 

x 1

y 2 z 3

,

параллельно прямой

 

x 2 y 1

z 1

,

в

2

 

1

 

1

 

3

 

 

1

 

 

 

0

данном случае может быть записано, если известна точка, принадлежащая плоскости, а также известен вектор нормали к искомой плоскости. В качестве точки плоскости можно

взять точку E(1, 2,3) прямой l1 . Вектор нормали n1

должен

быть перпендикулярен направляющим векторам

прямой

32

 

q1= 2,1,1 и прямой q2= 3,1,0 , поэтому находится как векторное произведение указанных направляющих векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

n1=

 

 

 

 

 

q1 q2

2

1

1

i

3 j

5 k .

 

 

 

3

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Витоге уравнение плоскости имеет вид:

x 1 3 y 2 5 z 3 0 или x 3y 5z 20 0 .

Для нахождения точки пересечения этой прямой l1 с плоскостью П ( x 2y 3z 1 0 ) приведем канонические

уравнения прямой

x 1

y 2

z 3

к параметрическому виду:

2

 

1

 

1

x 2t 1y t 2

z t 3

и найдем общую точку прямой и плоскости АВС: 14(14k 2) 6(6k 2) 11(5 11k) 10 0 ; (196 36 121)k 10 28 12 55 ;

k 105353 0,3.

Получим искомые координаты точки F пересечения прямой с плоскостью АВС :

xF

 

14 0,3 2;

xF

2,2;

 

yF

6 0,3 2;

 

 

0,2;

 

yF

 

 

11 0,3 5;

 

z F

1,7.

z F

 

Задание 12. Привести общее уравнение кривой к каноническому виду и построить полученную кривую. x2 4y 2 4x 8y 4 0 .

33

Решение. Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

(x2 2 2x 4 4) 4( y2 2y 1 1) 4 0 ;

(x 2)2 4( y 1)2 4 ;

 

 

 

(x 2)2

 

 

( y 1)

2

1.

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Вводя новые координаты X x 2,Y y 1, получаем

 

X 2

 

Y 2

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом получено уравнение эллипса с центром в

точке О1 2;1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 – 3y2 + x – 4y +2 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

y

 

Y

1

O1

X

O

2

x

34

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. М.: Наука, 1980.

2.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. М.: Наука, 1975

3.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы / Н.В. Ефимов. М.: Наука, 1972.

4.Бугров Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1980.

5.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студ. втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1986. Ч. 1.

6.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. М.: Наука, 1975.

35

СОДЕРЖАНИЕ

Задание № 1…………………………………………..1 Задание № 2…………………………………………..2 Задание № 3…………………………………………..6 Задание № 4…………………………………………..8 Задание № 5…………………………………………..9 Задание № 6………………………………………….10 Задание № 7………………………………………….11 Задание № 8………………………………………….12 Задание № 9………………………………………….13 Задание № 10…………………………………………14

Задание № 11…………………………………………16

Задание № 12…………………………………………18

Примеры решения заданий ………………………….19 Библиографический список………………………….35

36

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к типовому расчету “Линейная алгебра и аналитическая геометрия”

для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение

машиностроительных производств» очной формы обучения

Составители: Горбунов Валерий Викторович Соколова Ольга Анатольевна

В авторской редакции Компьютерный набор О.А. Соколовой

Подписано к изданию 28.11.2014

.

Уч.- изд. л. 2,4 “C”

 

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности