Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800125

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

561.2 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

16.x2 – 5y2 – 10y + 3 = 0;

17.x2 + 7x +y – 4 = 0;

18.4x2 + 8x +y2 – 2 = 0;

19.x2 – y2 – y - 9 =0;

20.4x2 – 16x - y + 3 = 0;

21.x2 + x + y2 – 9 =0;

22.x2 – 2y2 + x – y + 2 = 0;

23.x2 + 3x – y + 4 = 0;

24.x2 + 2x + y2 – 4 = 0;

25.2x2 + 4x + y2 – y – 5 = 0;

26.3x2 – 4y2 – x + y – 5 = 0;

27.x2 + x – y + 4 = 0;

28.x2 + 3y2 – x + 6y + 1 = 0;

29.2x + 3y – y2 + 1 = 0.

30.15x2 + 5x – 3y + 1 = 0;

	ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1. Найти значение многочлена
								2		1	6
p(x) x2 2x							A
p(x) x2 2x		3 от заданной матрицы					A		1	0	4	.
									3	4
									3	4	3
Решение. Вычислим квадрат матрицы A2										A A:
2		1	6	2 1		6

A A	1	0	4		1 0	4
	3				3 4
	3	4 3			3 4	3

2 2 ( 1) 1 6 3						2 ( 1) ( 1) 0 6 4			2 6 ( 1) 4 6 ( 3)

	1 2 0 1 4 3						1 ( 1) 0 0 4 4		1 6 0 4 4 ( 3)
	3 2	4 1 ( 3) 3				3		( 1) 4 0 ( 3) 4	3 6 4 4 ( 3) ( 3)
	3 2	4 1 ( 3) 3				3		( 1) 4 0 ( 3) 4	3 6 4 4 ( 3) ( 3)
21		22	10

14		15		6	.
	1	15		43
	1	15		43
Найдем значение матричного выражения 2A 3Е :
		2 1		6		3		0 0

( 2)		1 0		4			0	3 0
		3 4					0	0 3
		3 4			3		0	0 3

( 2) 2 3		( 2) ( 1)	( 2) 6	1		2	12
					2 3		8
	( 2) 1	( 2) 0 3	( 2) 4		2 3		8	.
	( 2) 3	( 2) 4	( 2) ( 3) 3		6	8	9
	( 2) 3	( 2) 4	( 2) ( 3) 3		6	8	9

Найдем значение матричного многочлена A2 2 A 3:
21	22	10	1		2	12	20		24	22
		6		2 3		8				14
A2 2 A 3 14 15			+				=	12 18
	15	43		6	8	9		5	23	52
1

		Задание 2. Решить матричное уравнение.
2		1	0	2		1	7	2 1			0

	2	2	3	X	1 3		2		2	3	6	.
	0	1	2		5	1	2		4	1	5
	0	1	2		5	1	2		4	1	5

Решение. Преобразуем матричное уравнение к приведенному виду

2 1			0		2 1			0	2		1	7

	2	2	3	X		2	3	6		1	3	2	, или
	0	1	2			4	1	5		5	1	2
	0	1	2			4	1	5		5	1	2
									20

2 1								0					0 0					7

		2 2						3	X					3 0				4				.
		0 1												1 0				7
		0 1					2							1 0				7
Найдем обратную матрицу A 1 для матрицы
2			1				0

A	2		2				3		. Вычислим определитель матрицы A .
	0		1					2
	0		1					2
							1		0						2	3							2	3				2		2
				2						2																0
				2

				2			2 3											1
															1	2							0 2					0		1
				0			1		2						1	2							0 2					0		1


2 2 ( 2) 1 3 1 2 ( 2) 0 3 2 ( 7) 4 10 .
Для матрицы A найдем присоединенную матрицу																														~
Для матрицы A найдем присоединенную матрицу																														A ,
составленную из алгебраических дополнений элементов
матрицы A :
									3				2			3			2			2
					2				3				2			3			2			2
								2								2
					1			2					0			2			0 1					7		4		2
																								7		4		2
	~					1 0						2 0									2 1			2 4
	A								2			0 2												2 4					2 .
						1			2			0 2									0 1			3 6 2
						1 0								2 0
						1 0								2 0					2 1

						2			3					2		3			2			2
						2			3					2		3			2			2

Вычисляем элементы обратной матрицы:
																									7		2					3
														7								3
														7				2				3		10			10				10
					1			~ T			1														4		4				6
	A 1 =						A									4	4					6											.
	A 1 =						A				10					4	4					6			10	10				10			.
											10						2 2								10	10				10
																2									2		2				2
																2									2		2				2

																									10	10					10
																									10	10					10
После умножения слева матричного уравнения
приведенного вида на матрицу A 1																						получаем
																				21

												7		2		3
			0 0					7									0 0		7
											10			10		10
											10			10		10
										=		4		4		6
X A 1				3 0					4			4		4		6		3 0	4	=
X A 1				3 0					4									3 0	4	=
				1 0								10	10		10			1 0
				1 0					7			2		2		2		1 0	7

												10	10			10
												10	10			10
		3	0				78

		10					10
		10					10
		6	0			86			.
	10		0		10				.
	10				10
		8					8
			0
	10		0		10
	10				10

Задание 3. Решить систему линейных уравнений

x 2 y 3z 64x y 4z 9

3x 5 y 2 y 10

1) методом Крамера, 2) методом обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

Решение.

Решим систему, применяя формулы Крамера. Вычислим главный определитель системы:

1	2	3	=1	1 4		2	4	4	3	4 1		=
1	2	3
4 1		4
3	5	2		5	2		3	2		3	5
3	5	2

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.

Определитель системы 41 отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вычисляем определители x ; y ; z

	6	2	3
x	9	1	4		6 ( 18) 2 ( 22) 3 35 108 44 105 41;
	10 5		2
		6	3
	1	6	3
y	4	9	4		1 ( 22) 6 ( 4) 3 13 22 24 39 41;
	3	10	2
		2	6
	1	2	6
z	4	1	9	1 ( 35) 2 13 6 17 35 26 102 41.
	3	5 10

Используя формулы Крамера, имеем:

x	x		1		1 , y		y			1		1,		z		z		1	1.

			1							1								1
			1							1								1
Для решения системы линейных уравнений применим
метод обратной матрицы
									X A 1 B
Определитель системы:
				2	3	=1		1 4			2		4 4		3		4 1				0 ,
		1																		== 41
		1
		4 1			4
		3		5	2			5	2				3	2			3	5
		3		5	2

следовательно, матрица системы имеет обратную матрицу. Для ее вычисления найдем алгебраические дополнения:

A ( 1)1 1	1			4	18;	A ( 1)2 1				2				3	11;
11	5			2		21				5				2
A ( 1)3 1						A ( 1)1 2						4 4
A ( 1)3 1		2 3			5;	A ( 1)1 2						4 4					4;
31		1		4		12						3		2
A ( 1)2 2						A ( 1)3 2							1 3
A ( 1)2 2			1 3		7;	A ( 1)3 2							1 3				8;
22			3	2		32							4		4
A ( 1)1 3				1				( 1)2 3			1			2
A ( 1)1 3		4		1	17;	A		( 1)2 3			1			2		1;
13		3		5		23					3			5

					A ( 1)	3 3	1 2		7.
					33		4	1
						23

							A			A		A
В результате имеем: A 1						1		11			21	31
							A12			A22		A31	.
							A12			A22		A31	.
										A23		A33

							A13
Используя		формулу			X A 1B ,						находим				решение
системы
	1	18 11 5			6				1	108 99 50
X	1		4	7 8		9			1			24 63		80
X			4	7 8		9						24 63		80
41			17	1 7				41			102		9 70
41			17	1 7	10			41			102		9 70

141 1

41 1 . 41 41 1

x=1; y=1; z=1.

Решим систему уравнений методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы:

1	2	3
1	2	3	6

4	1	4	9	.
3	5	2	10
3	5	2	10

Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-4) и складываем со 2-й строкой. Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и складываем с 3-й строкой. Получаем:

1	2	3
			6
	7	8	15
0				.
0	1	7	8

Умножаем каждый элемент 2-й строки на ( 17 ) и

складываем с 3-й строкой. Получаем:

				2			3		6

	1
			0	7		8		15		. Последняя строка означает, что
			0	7		8		15		. Последняя строка означает, что
			0	0			41		41
			0	0
							7		7
							7		7
	41	z			41	, т.е.		z 1. Совершая обратный ход, из второго
		z				, т.е.		z 1. Совершая обратный ход, из второго
	7			7
уравнения						7 y 8z 15 получаем					y 1. Из первого
уравнения x 2y 3z 6										получаем x 1.

Задание 4. Проверить, образуют ли векторы a 1;4; 5 ,

b 3; 2; 7 ,c 1; 3; 2 базис. Если образуют, то разложить вектор d 1; 6;11 по этому базису

Решение. Три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве, а необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Тогда

	1	4	5
( a b ,c)	3	2	7	17 52 35 70 0.
	1	3	2
Следовательно, векторы a, b, c					образуют		базис в
пространстве.
Найдем координаты вектора d в базисе a,						b,	c , т.е.
вычислим коэффициенты (координаты)					, , в векторном
равенстве d= a+ b+ c.			Проецируя		данное	векторное

равенство на координатные оси, получаем систему линейных уравнений относительно координат , , :

3 14 2 3 6

.5 7 2 11

Решая систему любым из ранее перечисленных методов,

имеем 2, 1, 4.

Таким образом, координаты вектора d в базисе векторов a, b, c : d 2;1; 4 .

Задание 9. Коллинеарны ли векторы с1 и с2, построенные по векторам a и b?

a={2,-7,3}, b={1,5,-8}, c1=4a-b, c2=b+3a.

Решение. Найдем координаты векторов с1 и с2, разложив вектора a и b по декартовому базису:

c1=4a-bi+5j-8k)=7i-33j+4k; c2=b+3a.7i-33j+4k.

Если вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны 7/7≠-33/(-16)≠4/1, следовательно вектора не коллинеарны.

Задание 6. Найти косинус угла между векторами AB и AC, если известны координаты точек A(4, -2, 8), B(1, -1, 0),

C(2, -7, 9).

Решение. Найдем координаты векторов AB и:

AB 1 4; 1 2;0 8 3;1; 8 ;

AC 2 4; 7 2;9 8 2; 5;1 .

Косинус угла между векторами

cos

x1 x2 y1 y

2 z1 z2

3 2 1 5 8 1

y1 z1

x2 y2

9 1 64 4 25 1

Задание 7. Вычислить площадь параллелограмма,

построенного на векторах

a = p-3q

и b = 2p+q, где |p|=5,

|q|=3, (p^q)= π /6.

Решение. Площадь параллелограмма есть модуль векторного произведения векторов a и b.

Составим векторное произведение

	a b =	(p-3q) (2p+q) = 2	p p +	p q -
	-6	q p -3 q q = 7	p q .

Найдем модуль векторного произведения, т.е. площадь

параллелограмма:
7 \| p q \| = 7 \|p\| \|q\| sin(p^q) = 7 5 3 sin / 6	= 52,5.

Задание 8. Компланарны ли векторы а, b и c?

a={3, -3, 1}, b={-2, 0, -9}, c={1, 7, -2}.

Решение. Если вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Составим смешанное произведение для векторов а, b и c.

( a b ,c) =

2 0

= 3 0 63 3 4 9 14 0 = 189+39-14 =

=214 0.

Следовательно, вектора не компланарны.

Задание 9. Даны точки A(2, 1,1),

B(5,5,4),

C(3,2, 1), и

D(4,1,3). Найти длину отрезка

AB ,

косинус

угла

ABC ,

площадь треугольника ABC ,

длину высоты AH треугольника

ABC ,

длину медианы

AM треугольника

ABC ,

координаты

точки K , делящей отрезок

в отношении

1:2,

объем

тетраэдра ABCD .

Решение. Найдем координаты вектора AB 3,6,3 .

1) Длина вектора AB 3,6,3 совпадает с расстоянием

между точками A и A2 :

( y

9 36 9

54.

Для нахождения косинуса угла ABC находим координаты векторов BC 2, 3, 5 и BA 3, 6, 3 Определим

косинус угла между векторами, используя скалярное произведение:

cos φ=(BA, BC)/|BA|·|BC|=

=	( 3) (	2) ( 6)	( 3) ( 3)	( 5)		39	.
							.
		9 36 9 4 9 25			54 38
		9 36 9 4 9 25			54 38

Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах BA 3, 6, 3 и BC 2, 3, 5 . Площадь параллелограмма будем искать как

модуль векторного произведения векторов. Векторное произведение векторов BA и BC равно


									i			j			k
	BA BC
	BA BC						3				6					3		21 i					9 j		3 k .
							2				3				5


														1												531
Следовательно, S ABC														1		212 92						32				531			(кв. ед.).
Следовательно, S ABC													2			212 92						32			2				(кв. ед.).
													2												2
Длина высоты AH треугольника ABC может быть найдена
по	известной					площади								треугольника										и			длине основания
											2S ABC
(отрезка BC ): AH											2S ABC								531		.
											BC
																		38
																		38
Для		нахождения									длины					медианы							AM					требуется найти
координаты середины отрезка BC , т.е. точки M :
x					xB xC				5 3			4 ,			y					yB yC							5 2		3,5 ,
x	M											4 ,			y		M												3,5 ,
	M	2				2											M					2			2
		2				2																2			2
z				zB zC				4 ( 1)						1,5 .
z	M													1,5 .
	M	2								2
		2								2
Длина										медианы														AM					равна

AM			42 3,5 2 1,5 2
AM			42 3,5 2 1,5 2												30,5 .
Координаты точки K ,														делящие отрезок CD в отношении
1: 2 , равны
																	28

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022541.17 Кб3Учебное пособие 800120.pdf
#
01.05.2022541.21 Кб3Учебное пособие 800121.pdf
#
01.05.2022546.08 Кб3Учебное пособие 800122.pdf
#
01.05.2022546.74 Кб1Учебное пособие 800123.pdf
#
01.05.2022560.19 Кб1Учебное пособие 800124.pdf
#
01.05.2022561.2 Кб1Учебное пособие 800125.pdf
#
01.05.2022563.27 Кб2Учебное пособие 800126.pdf
#
01.05.2022566.88 Кб2Учебное пособие 800127.pdf
#
01.05.2022572.25 Кб1Учебное пособие 800128.pdf
#
01.05.2022583.16 Кб20Учебное пособие 800129.pdf
#
01.05.2022233.68 Кб1Учебное пособие 80013.pdf