Учебное пособие 800119

тельностей. Опишите, как связаны варианты применения ДПФ с соответствующими сигналами.

Задача 6.10 Учёный получил экспериментальным путём выборку из 65536 отсчётов, взятых с частотой 1 МГц. Ему известно, что в полученном сигнале присутствует синусоидальная составляющая с частотой 100 кГц. Он желает узнать, присутствует ли в сигнале ещё одна составляющая на частоте 103 кГц. Для этого учёный вычисляет ДПФ 65536-го порядка, но, к своему удивлению, обнаруживает в спектре только шумы. Тогда он делает вывод, что искомый сигнал по амплитуде меньше шума в 4 раза (ОСШ = 0.25). Кроме того, по его заключению ОСШ должно быть не менее 3.0, чтобы сигнал можно было обнаружить на фоне шумов. Чтобы увеличить ОСШ, учёный решает разбить сигнал на отдельные сегменты, а затем провести усреднение получившихся спектров. Ответьте на следующие вопросы, а результаты решения представьте в форме таблицы.

а. Если исходный сигнал разбивается на сегменты длиной 16384 отсчёта, то каким будет разрешение спектра, полученного в результате усреднения (т.е. расстояние между ближайшими отсчётами спектра)? Ответ выразите в герцах. Сколько сегментов участвует в усреднении? Чему равно ОСШ спектра, полученного путём усреднения? Достигнута ли требуемая разрешающая способность по частоте? Достигнуто ли заданное желаемое ОСШ?

б. Ответьте на те же вопросы для сегментов меньшей длины: 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256 и 128.

Задача 6.11 Что бы вы посоветовали сделать учёному, чтобы улучшить качество эксперимента, описанного в предыдущей задаче?

30

Задача 6.12 Импульсная характеристика фильтра содержит 250 отсчётов и рассчитана таким образом, чтобы все частоты ниже 0.11 пропускались фильтром, а все частоты выше 0.12 подавлялись им. Чтобы оценить качество пропускаемого фильтром сигнала, вы стараетесь более подробно изучить его частотную характеристику в данном частотном диапазоне. Для этого вы дополняете импульсную характеристику фильтра нулями до 256 отсчётов и применяете ДПФ.

а. Сколько точек частотной характеристики попадают в полосу пропускания?

б. Ответьте на предыдущий вопрос, предположив, что порядок ДПФ равен 2048.

в. Ответьте на тот же вопрос, увеличив порядок ДПФ в 250 раз.

г. Существует ли какой-нибудь предел, накладываемый на число отсчётов, расположенных в полосе пропускания? Как определяется такой предел для апериодического ДПФ? Ответ обоснуйте.

Задача 6.13 Выполняется свёртка последовательности, содержащей 1000 дискретных отсчётов, с последовательностью, содержащей 128 отсчётов.

а. Чему равна длина полученной последовательности? б. Каким должен быть выбран порядок ДПФ, если

свёртка выполняется в частотной области?

в. Если используется ДПФ 1024-го порядка, сколько правильных и сколько искажённых отсчётов будет получено в результате круговой (циклической) свёртки?

г. Ответьте на вопросы а)…в), если один сигнал имеет протяжённость 490 отсчётов, а другой — 23 отсчёта.

31

6.2. Свойства ДПФ

Задача 6.14 Спектр сигнала x[n] раскладывается на две последовательности: Xдейст.[f] и Xмним.[f], а спектр сигнала y[n]

— на две другие последовательности: Yдейст.[f] и Yмним.[f]. Вычислите отсчёты спектров следующих сигналов:

а. x[n]/5; б. 5.5y[n];

в. x[n] + y[n];

г. 3.14x[n] + y[n]/3.14;

д. ax[n] + by[n], где a и b — константы.

Задача 6.15 Пусть сигнал x[n] характеризуется в частотной области двумя составляющими: Xамп.[f] и Xф.[f], а сигнал y[n] — двумя другими составляющими: Yамп.[f] и Yф.[f]. Вычислите отсчёты следующих сигналов, представленных в частотной области:

а. x[n – 2],

б. 1.2x[n – 1], в. y[n + 2]/10,

г. ax[n – b], где a и b — константы.

Задача 6.16 Пользуясь содержащимися в задачах 1 и 2 сигналами, ответьте на перечисленные ниже вопросы.

а. С какой трудностью приходится столкнуться при решении задачи 1 для сигнала x[n – 2]?

б. С какой трудностью приходится столкнуться при решении задачи 2 для сигнала x[n] + y[n]?

в. Завершите следующие утверждения, пользуясь полученными вами результатами:

«Сложение сигналов во временной области проще всего описать в частотной области с применением [впишите свой вариант] формы записи.»

32

«Задержку сигнала во временной области проще всего описать в частотной области с применением [впишите свой вариант] формы записи.»

«Умножение сигнала на константу во временной области проще всего описать в частотной области с применением

[впишите свой вариант] формы записи.»

Задача 6.17 Считая, что на рис. 3 построен спектр цифрового сигнала с частотой дискретизации 160 Гц, изобразите с указанием масштаба этот спектр в диапазоне относительных частот –2.0…2.0.

Рис. 3. Пример частотного спектра с шумами

Задача 6.18 Цифровой НЧ-фильтр пропускает все частоты ниже 0.1 и подавляет всё более высокие частоты.

а. Изобразите схематически АЧХ данного фильтра в диапазоне частот –1.5…1.5.

33

б. Как изменится АЧХ фильтра, если его импульсную характеристику умножить на синусоидальную функцию с частотой 0.3.

в. Пользуясь тем же методом, что и в предыдущем пункте, опишите алгоритм перехода от НЧ-фильтра с частотой среза fc к полосовому фильтру с центральной частотой fцен. и шириной полосы пропускания BW.

г. Изобразите АЧХ фильтра, полученного в результате поэлементного умножения отсчётов импульсной характеристики на отсчёты дискретной косинусоиды с частотой, равной

0.5.

д. Пользуясь тем же методом, что и в предыдущем пункте, опишите алгоритм перехода от НЧ-фильтра с частотой среза fнч. к ВЧ-фильтру с частотой среза fвч.

е. Почему в алгоритме, описанном в пункте д), необходимо использовать косинус, а не синус?

Задача 6.19 В сигнале, несущем информацию о человеческом голосе, должны присутствовать частоты диапазона 100 Гц…4 кГц. В акустических системах класса HI-FI диапазон воспроизводимых частот ограничен пределами 20 Гц…20 кГц, что соответствует возможностям человеческого слуха.

а. Изобразите схематически на одном графике спектры этих двух сигналов, отразив отрицательные частоты. Предполагается, что спектр сигнала имеет одинаковое амплитудное значение на всём частотном диапазоне.

б. Часто к сигналу в электрических схемах добавляется постоянная составляющая (напряжение смещения), поскольку это позволяет ограничиться использованием однополярного питания (Рис. 4,а).

34

в. Изобразите спектр сигнала, полученного после поэлементного умножения речевого сигнала на синусоиду с частотой 1 МГц. Проделайте то же самое для сигнала с постоянной составляющей.

г. Изобразите спектр сигнала, полученного после поэлементного умножения сигнала музыкальной записи (HI-FI) на синусоиду с частотой 1.1 МГц. Проделайте то же самое для сигнала с постоянной составляющей.

д. Полосу какой ширины должно выделить государство радиостанции, чтобы при передаче речевого сигнала по принципу, описанному в пункте в), не возникло перекрытий с другими радиоканалами? Решите такую же задачу для пункта г).

е. Сколько речевых сигналов можно передать, используя полосу 50.1…50.2 МГц? Сколько в этой полосе можно разместить сигналов музыкальной записи? Как следует разместить сигналы, чтобы обеспечить их одновременную передачу?

Задача 6.20 Сигнал, описанный в пункте в) предыдущей задачи, не содержащий постоянной составляющей, обрабатывается цифровым фильтром, подавляющим все частоты ниже 1 МГц. Полученный в результате такой процедуры фильтрации сигнал называют сигналом с одной боковой полосой или SSB-сигналом (от англ. «single-sideband»).

а. Изобразите спектр сигнала с одной боковой полосой. б. Несёт ли данный сигнал такую же информацию, что

и исходный речевой сигнал?

в. Недостатком сигналов с одной боковой полосой является более сложная схема построения модулятора и демодулятора. В чём преимущество модуляции с одной боковой полосой перед обычной амплитудной модуляцией (AM)?

г. Приводит ли в данном случае уменьшение полосы частот к потере информации? Ответ обоснуйте.

36

Контрольные вопросы

1.Какие ограничения накладываются на сигнал, к которому можно применить дискретное преобразование Фурье?

2.Чем отличается спектр произвольного дискретного сигнала от спектра, полученного с помощью ДПФ?

3.Как изменится сигнал на выходе ДПФ, если входную последовательность дополнить нулями.

4.Перечислите свойства симметрии ДПФ.

5.Как изменяется ДПФ при сдвиге входной последовательности?

6.Можно ли одновременно вычислить ДПФ двух действительных последовательностей.

7.Чем БПФ отличается от ДПФ?

8.Каким образом вычисляется свертка с помощью

БПФ?

9.Какова оптимальная длина для БПФ?

10.Как вычислить БПФ последовательности, длина которой не равна 2n?

11.Каким образом осуществляется перестановка элементов входной последовательности пере применением БПФ с прореживанием по времени?

12.Каким образом можно вычислить обратное ДПФ с помощью БПФ?

37

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Скляр, Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение [Текст]: Пер. с англ / Б. Скляр. – М.: «Вильямс», 2003. – 1104 с.

2.Смит, С. Цифровая обработка сигналов: Практическое руководство для инженеров и научных работников [Текст] / С. Смит. – М.: «Додека-ХХI», 2012. – 718 с.

3.Купер, Дж. Вероятностные методы анализа сигналов

исистем [Текст] / Дж. Купер, А. Макгиллем. – М.: Мир, 1989.

– 376 с.

4.Цифровая обработка сигналов [Текст]: учебное пособие для вузов / Л.М. Гольденберг и др. – М.: Радио и связь,

1990. – 256 с.

5.Статистическая радиотехника. Примеры и задачи [Текст] / Под ред. В.И. Тихонова– М.: Советское радио, 1980.

6.Оппенгейм, А. В. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. В. Оппенгейм, Р. В. Шафер. – М.: Связь, 1979. – 416 с.

7.Давыдов, А. В. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции [Текст] / А. В. Давыдов. – Екатеринбург: УГГУ, ИГиГ, ГИН, Фонд электронных документов, 2005.–

238 c.

8.Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. Б. Сергиенко. – СПб.: Питер, 2002. – 608 с.

9.Теория и компьютерные методы исследования стохастических систем [Текст] / К. А. Пупков, Н. Д. Егупов, А. М. Макаренков, А. И. Трофимов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. –

400 с.

10.Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов [Текст] / Л. Рабинер, Б. Гоулд; под ред. Ю.Н. Александрова. – М.: Мир, 1978. – 835 с.

38