Учебное пособие 800115
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический
университет»
Кафедра прикладной математики и механики
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции нескольких пере-
менных и обыкновенные дифференциальные уравнения” для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»
очной формы обучения
Воронеж 2014
Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Горбунов, канд. техн. наук О.А. Соколова
УДК 517.2 (07)
Задания и методические указания к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения” для студентов направления 15.03.05 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.В. Горбунов, О.А. Соколова. Воронеж, 2014. 26 с.
Методические указания предназначены для активизации самостоятельной работы студентов по высшей математике. Они содержат тридцать вариантов индивидуальных домашних заданий и решение типового варианта.
Методические указания предназначены для студентов первого курса.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD и содержатся в файле “ТР Фнп и Ду Ктомп.pdf”.
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.И. Ряжских
ФГБОУ ВПО
«Воронежский государственный технический университет, 2014
Задание № 1. Даны: функция z = f (x,y), точка А и
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
а . |
Требуется найти: |
1) направление наибольшего |
воз- |
||
растания |
функции |
z (т.е. grad z) в точке А и скорость ее |
из- |
|||
менения |
в |
этом |
направлении; |
2) производную в точке А |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлению вектора а ; |
3) экстремум функции z = f (x,y). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 - у 2 +2 xy -4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
|
A(1,2), |
|
|
|
|
|
|
|
а = i +3 j ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z =5 х2 |
- у2 +2xy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
A(2,2), |
|
|
а = 3 i - 4 j ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
+2 xy -4x+8y |
|
A(3,1), |
|
|
|
|
|
а = 2 i - 4 j ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 |
- у2 +2xy-2x+2y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
|
A(1,-2), |
а = 3 i +4 j ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 |
- у2 -2xy +4x+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
A(2,-1), |
а = 5 i - 12 j ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х2 |
+ у2 +4x+2y + 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
z =4 |
A(2,3), |
|
|
|
а = i +2 j ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х2 |
+ у2 -3xy+4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
z =5 |
|
|
A(0,2), |
|
|
|
|
|
а = 4 i + 3 j ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
х2 |
+9 у2 -4x-6y+3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. |
z =4 |
|
A(-1,-1), |
|
|
|
|
|
|
а = 12 i +5 j ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
х2 |
+5 у2 -4xy- 8x+6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9. |
z =2 |
A(3,2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = i + j ; |
10. z =5 х2 +5 у2 +8xy-18x-18y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A(1,3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = 2 i - j ; |
|||||||||||
11. z =2xy-3 х2 -3 у2 +4x+4y+4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A(1,0), |
|
|
|
|
|
а = i - j ; |
|||||||||||||||
12. z = х2 |
- у2 +2xy+4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A(4,1), |
|
|
|
|
|
а = 2 i +2 j ; |
|||||||||||||||
13. z =ху- х2 -2 у2 +x+10y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A(2,2), |
|
|
|
а = i +2 j ; |
|||||||||||||||||
14. z =3 х2 +3ху + у2 -6x-2y+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A(4,3), |
|
|
а = 3 i - 4 j ; |
||||||||||||||||||
15. z = х2 |
+ у2 +3xy-x-4y+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A(5,4), |
|
а = 3 i +5 j ; |
|||||||||||||||||||
16. z = х2 |
+ у2 -xy+x+y+2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A(4,6), |
а = i +3 j ; |
||||||||||||||||||||
17. z = х2 |
+2ху- у2 +6x-10y+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A(2,1), |
а = 3 i +3 j ; |
||||||||||||||||||||
18. z =3 х2 +3 у2 +5xy+ x – y+5, A(5,2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
а = i + j ; |
||||||||||||||||||
19. z =4-5 х2 - у2 -4xy-4x -2 y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A(1,6), |
|
|
а =2 i + 6 j ; |
||||||||||||||||||
20. z =3ху- х2 -3 у2 -6x+9y-4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
A(2,8), |
а =2 i + 4 j ; |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. z =6 х2 +5 у2 -8xy-8x-10y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A(1,2), |
|
|
|
|
|
а = 2 i - j ; |
|||||||||||||||||||
22. z =4xy-5 х2 -3 у2 -2x+4y+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A(1,2), |
|
|
|
а = 2 i - j ; |
|||||||||||||||||||||
23. z =3 х2 - у2 +8xy+4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A(3,1), а = 2 i +3 j ; |
|||||||||||||||||||||||||
24. z =ху-7 х2 -2 у2 +x+2y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A(1,2), |
|
|
|
|
|
а = i +2 j ; |
|||||||||||||||||||
25. z =8 х2 +3ху + у2 -5x-2y-2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A(4,3), |
|
|
а = 5 i - 4 j ; |
||||||||||||||||||||||
26. z =3 х2 |
+ у2 +3xy-x-9y+1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A(1,4), |
|
|
|
а = 3 i +5 j ; |
|||||||||||||||||||||
27. z =2 х2 |
+ у2 -6xy+x+y-1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A(5,6), |
|
|
|
а = i +3 j ; |
|||||||||||||||||||||
28. z = х2 -ху- у2 +6x-12y+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A(2,1), |
а = 3 i +3 j ; |
||||||||||||||||||||||||
29. z = х2 +3 у2 -4xy+ x – y+3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A(3,2), |
|
|
а = i + j ; |
||||||||||||||||||||||
30. z =4-6 х2 - у2 -xy-4x -3y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
A(1,4), |
а =7 i + 6 j ; |
Задание № 2. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.хуdx (x 1)dу 0 ;
2.yy 1 x2 3 y2 0;
3.1 y2 dx xydy ;
4.x1 y2 yy 1 x2 0 ;
5.(х2 1) у 2ху2 0 ;
6.4 y2 dx ( y x2 y)dy 0 ;
7.у ctgx у 0 ;
8.x3 y2 dx y2 x2 dy 0 ;
9.xу y у2 ;
10.(е2 x 5)dy уе2 x dx 0 ;
11.у ху2 2xy ;
2
12.yy 1 x2 1 y2 0 ;
13.2х2 yу у2 2 ;
14.x4 y2 dx y1 x2 dy 0 ;
15.хyу 1 х2 ;
16.(еx 8)dy yеx dx 0 ;
17.у tgx у ;
18.5 y2 yy 1 x2 0 ;
19.y ln y xу 0 ;
20.y(еx 4)dy еx dx 0 ;
21.yy (1 x2 ) /(1 y2 ) 1 0 ;
22.6xdx 6ydy 3x2 ydy 2xy2 dx;
23.x5 y2 dx y 4 x2 dy 0;
24.y 4 x2 xy2 x 0 ;
25.2xdx 2ydy x2 ydy 2xy2 dx;
26.x4 y2 dx y1 x2 dy 0;
27.(еx 8)dy yеx dx 0 ;
28.5 y2 yy 1 x2 0 ;
29.(еx 3) yy еx ;
30.(еx 1) yу еx .
Задание № 3. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. у 8x 5y ; 5x 2 y
3
2.у x y ;
xy
3.у xy tg xy ;
4.у y2 8y 12 ;
x2 x
5.xy y ln xy 0 ;
6.xy y хе y x ;
7.xy y x2 y2 0 ;
8.x2 y y2 2ху ;
9.4xуy y2 3х2 0 ;
|
xy y |
|
|
|
|
|
|||||
10. |
|
xy ; |
|||||||||
11. |
(x2 у2 ) y 2ху ; |
||||||||||
|
xy y |
|
|
|
|
||||||
12. |
|
2x2 y2 ; |
|||||||||
|
xy y |
|
|
|
|||||||
13. |
|
x2 y2 ; |
|||||||||
14. |
(xу х2 ) y y2 ; |
||||||||||
15. |
2x2 y y2 |
|
х2 0 ; |
||||||||
16. |
2x3 y у( y2 2х2 ) 0 ; |
||||||||||
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
у |
x y |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x 2 y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18. |
у |
2x y ; |
|||||||||
|
19.xуy y2 8х2 ;
20.xy y ln xy ;
21.xy ' = 32x2 + y2 + y ;
4
22. |
xy ' = |
|
3y3 +12 yx2 |
|
; |
||||||||||
|
2 y2 + 6x2 |
||||||||||||||
23. |
y ' = |
x2 |
+ 3xy - 3y2 |
; |
|||||||||||
|
|
|
x2 - 4xy |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24. |
xy ' = 2 |
3x2 + y2 + y ; |
|||||||||||||
25. |
y ' = |
|
y2 |
+ 6 |
y |
+ 6 |
; |
|
|
|
|||||
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26. |
xy ' = |
|
3y3 + 8 yx2 |
; |
|
|
|
||||||||
|
|
2 y2 + 4x2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
27. |
|
|
|
|
y2 |
|
|
y |
|
|
|
; |
|||
4 y ' = |
|
|
|
+10 |
|
+ 5 |
|||||||||
|
x |
2 |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
xy ' = |
|
3y3 +14 yx2 |
|
; |
||||||||||
|
2 y2 + 7x2 |
29. y ' = x2 + xy - 5y2 ; x2 - 6xy
30. xy ' = 4x2 + y2 + y .
Задание № 4. Найти частное решение уравнения первого порядка, удовлетворяющего начальному условию.
1. |
(cos2 x) y y tgх ; |
y (0) = -1; |
|
|||||
2. |
(1 х2 ) y y arctgх ; |
y (0) = 1; |
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
||
3. |
|
1 x2 |
y arcsin x ; |
y (0) = -1; |
|
|||
4. |
y 2y tg 2x sin 4x ; |
y (0) = 0; |
|
|||||
5. |
y y е2 x ; |
y (0) = 1; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
xy y |
х |
2 |
cos x ; |
y( 2) = |
2 ; |
||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
7.xy y х2 ;
8.y sin x y cos x 1 ;
9. xу 2y 3х5 ;
10.y 2xy 3х2е x2 ;
11.x2 y хy 1 0 ;
12.y 2х у ;
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
13. |
y |
y tgx cos x |
; |
|||
|
14.(2x 1) y 4x 2y ;
15.xy y x cos x ;
16.xy y еx 0 ;
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
y |
1 |
x2 |
1 x 0 ; |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
2xy |
|
|
2 |
|
||||
18. |
y |
1 |
x2 |
1 x ; |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
19. |
xy y х 1 0 ; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
20. |
y |
x 1 (x 1) е ; |
||||||||||
|
||||||||||||
21. |
y xy х3 ; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
xy |
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
22. |
y |
2 1 x2 2 ; |
|
|||||||||
|
|
23.y 4xy 4х3 ;
24.y y cos x sin 2x ;
25.y 2xy хе x2 sin x ;
26.y y cos x sin 2x ;
27.y xy lnxx ;
y (1) = 1;
y( 2) = 0; y (1) = - 1;
y (0) = 0; y (1) = 1;
y (0) = 1;
y( ) = 1;
y (0) = 0;
y( 2) = 0; y (1) =е;
y (0) = 0;
y (1) = 3;
y (1) = 0;
y (0) = 1;
y (0) = 3;
y (0) = 2/3;
y (0) = 3; y (0) = 3;
y (0) = 1; y (0) = -1;
y (1) = 1;
6
|
|
|
|
2 y |
2 |
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
||
28. |
y |
x |
1 |
е |
|
; |
y (0) = 1; |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
y |
x |
x 2 ; |
|
|
|
y (1) = 1; |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 y |
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
||
30. |
y |
x |
1 |
; |
|
|
y (0) = 1/2; |
||||||
|
|
|
Задание № 5. Найти решение задачи Коши.
1.y '- y = xy2 , y (0) = 1/ 2;
2.y '+ yx = (1+ x)e- x y2 , y (0) = 1;
3.xy '+ y = 2 y2 ln x, y (1) = 12 ;
4.2(xy '+ y) = xy2 ln x, y (1) = 2 ;
5.3(xy '+ y) = y2 ln x, y (1) = 3;
6.3xy '+ 5y = y4 (4x - 5), y (1) = 1;
7.3(xy '+ y) = xy2 , y (1) = 3 ;
8.y '+ 4yx3 = 4(1+ x3 )e-4x y2 , y (0) = 1;
9.xy '- y = -y2 (ln x + 2)ln x, y (1) = 1;
10.3y '+ 2yx = 2xy-2e-2x2 , y (0) = -1;
11.2(xy '+ y) = y2 ln x, y (1) = 2 ;
12.y '+ y = xy2 , y (0) = 1;
13.y '- 2xy = 2x3 y3 , y (0) = 2 ;
14.xy '+ y = y2 ln x, y (1) = 1;
15.y '+ yx = ex y2 (x -1), y (0) = 1;
16.2( y '+ y) = xy2 , y (0) = 2 ;
17.2( y '+ yx) = (1+ x) e- x y2 , y (0) = 2 ;
18.2y '+ y cos x = y-1 cos x (1+ sin x), y (0) = 1 ;
7
19.y '+ 4yx3 = 4e4 x y2 (1- x3 ), y (0) = -1;
20.2xy '- 3y = - y3 (5x2 + 3), y (1) = 1/ 2;
21.2y '+ 3y cos x = y-1e2x (2 + 3cos x), y (0) = 1;
22.2xy '- 3y = - y3 (20x2 +12), y (1) = 1/(22); ;
23.2y '+ 3y cos x = y-1e2x (8 +12cos x), y (0) = 2 ;
24.4y '+ yx3 = (x3 + 8) y2e-2 x , y (0) = 1;
25.8xy '-12y = -y3 (5x2 + 3), y (1) = 2 ;
26.y '- y = xy2 , y (0) = 1;
27.y 2y y2ex . y (0) = 1;
28.2y '- 3y cos x = -y-1e-2x (2 + 3cos x), y (0) = 1;
29.y 2xy 2x3 y3 , y (0) = 1;
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
30. |
y |
x 1 |
y |
|
; y (0) = 1. |
|||
|
|
Задание № 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.xу y х2 0 ;
2.у еу y 0 ;
3.у y ctgx sin x ;
4.yу ( y )2 0 ;
5. |
у |
|
|
|
х |
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
(1 |
х2 )3 |
|
||||||||
6. |
у |
|
|
|
|
х |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4х2 )3 |
||||||||||
|
(1 |
|
7.xу 2y 2х4 ;
8.у3 у 3 ;
8