Учебное пособие 800115

9.xу ln x 1;

10.у x / y ;

11.у y tgx cos x ;

12.у 2 yy ;

13.yу ( y )2 ;

14.( y 2) у 2( y )2 ;

15.xу y 4х3 ;

16.2yу 3 ( y )2 ;

17.xу y х2 cos x ;

18.xу y ln( y x ) ;

19.x3 у 4 ln х ;

20.( y 1)2 у ( y )3 ;

21.x3 ( y y) x2 2 ;

22.y 2y 2tgx ;

25.у 2 yy ;

26.у y x ;

27.у 2ctgx y sin3 x ;

28.xу y ln yx ;

29.у ln x ;

30.xу y .

9

Решение.

1) Градиент функции двух переменных z=f(x,y) в точке А(x;y) - это вектор на плоскости Oxy:

grad z( A) z i z j .

x y

grad z 2x 5y i 5x 2y j ;

2) Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. В случае

11

1.Если число = AC B2 >0, то в точке М0 (х0 ,у0) функция f(х, у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.

2.Если число = AC B2 <0, то в точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.

3.Если число = AC B2 =0, то признак не применим.

Найдем частные производные заданной функции и приравняем их к нулю.

Для решения данного уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входила только переменная х, а в другую – только у, то есть разделяем переменные. Затем необходимо проинтегрировать обе части, т.е.

13

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и у, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Запишем в заданном уравнении производную через дифференциалы

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения.

При делении на x2 ( y 1) , могли быть потеряны решения х = 0 и у = 1. Очевидно, у = 1 – решение уравнения (3), а х =0 – нет.

14

2) Решить уравнение (1 x) ydx (1 y)xdy 0.

Решение. Разделяя переменные, имеем

Последнее соотношение есть общий интеграл уравнения.

называется однородным уравнением относительно х и у, если функция f (x, y) - однородная функция нулевого порядка относительно х и у, то есть f( x, y) = f (x, y). Для решения тако-

го уравнения делается подстановка u xy , т.е. y =ux.

Справа в заданном уравнении стоит однородная функция нулевого порядка, следовательно, имеем однородное уравне-

Отсюда, интегрируя, находим

15

ловию у(0) =1.

Решение. Линейным уравнением первого порядка назы-

вается уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

dydx P(x) y Q(x) ,

Сгруппируем слагаемые с u, вынося u за скобку:

ражение в скобках обратилось в нуль. Тогда dvdx vtgx , разде-

16

Умножив u на v, получим общее решение y cos x(sin x c) .

Используя начальное условие у(0) =1, подставляя его в общее решение, имеем 1= сos0 (sin0 +C), откуда С=1. Искомое частное решение будет иметь вид

y cos x(sin x 1) .

Задание 5. Найти решение задачи Коши (частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее началь-

ному условию) y y / x x2 y4 , если у(1) =1.

Решение. Уравнение Бернулли имеет вид