Учебное пособие 800119

фильтры часто возникают затруднения.Воспользуйтесь некоторыми дополнительными преобразованиями, прежде чем перейти к сравнению по величине). Объясните суть использованного метода.

д. Изобразите схематически спектр цифрового сигнала, полученного после вторичной дискретизации: покажите диапазон частот, занимаемый аудиосигналом, и частотные полосы, в которых возможно появление сигнала помехи.

Задача 2.7 Очень часто на экране телевизора случается видеть, как колёса машин или пропеллеры самолётов и вертолётов вращаются слишком медленно, а порой и в обратную сторону. Это явление получило название стробоскопического эффекта. Стробоскопический эффект проявляется в тех случаях, когда частота вращения превышает половину частоты развёртки видеосигнала (30 кадров в секунду). Чтобы лучше понять данное явление, проследим за одной из лопастей пропеллера, оставив без внимания остальные его лопасти. Предположим, что пропеллер совершает 33 оборота в секунду в направлении часовой стрелки, и лопасть пропеллера в первом кадре (кадр номер 1) направлена строго вверх.

а. На какой угол успевает повернуться пропеллер за период следования кадров?

б. Нарисуйте положения лопасти пропеллера в кадрах 1, 2, 3 и 4.

в. Через сколько кадров лопасть пропеллера снова повернётся строго вверх?

г. Чему равна круговая частота пропеллера, выраженная в оборотах в секунду?

д. Куда направлено вращение пропеллера: по часовой или против часовой стрелки?

е. Расскажите, опираясь на Рис. 1, как связаны между собой действительная частота вращения пропеллера, частота кадров и частота кажущегося вращения лопасти пропеллера.

9

Задача 2.8 Как будет восприниматься вращение 4- лопасного пропеллера, если частота кадровой развёртки равна 30 кадрам в секунду, пропеллер вращается с круговой частотой 44.7 оборотов в секунду и все его лопасти одинаковые? Будет ли пропеллер восприниматься вращающимся по часовой или против часовой стрелки?

Контрольные вопросы

1.Какую функцию выполняет АЦП?

2.Что такое антиэлайзинговый фильтр?

3.Как связана разрядность АЦП с уровнем шумов кван-

тования?

4.Какие виды АЦП вы знаете?

5.От чего зависит динамический диапазон АЦП.

6.Почему на выходе АЦП, как правило ставится фильтр-дециматор?

7.Какую функцию выполняет ЦАП.

8.Как выглядит спектр сигнала на выходе ЦАП?

9.Для чего нужен сглаживаюший фильтр на выходе

ЦАП?

10.С какой целью применяется интерполирующий

ЦАП.

11.Каким частотным искажениям подвергается сигнал на выходе ЦАПа?.

11

3. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦОС

Задача 3.1 Чтобы более наглядно представить разницу в уровнях квантования представьте, что имеется два здания, высоты которых выражаются некоторыми числами. Высота здания A равна 100 м, высота здания B равна 100.0001 м. Таким образом, здание B на толщину листа бумаги (0.1 мм) выше здания A. Позволяют ли следующие типы данных зафиксировать столь малое различие?

а. Числа с фиксированной точкой (8 бит, без знака).

б. Числа с фиксированной точкой (16 бит, дополнительный код).

в. Числа с плавающей точкой с одинарной точностью. г. Числа с плавающей точкой с двойной точностью.

Задача 3.2 Повторите задачу 3 для случая, если здания A и B отличаются по высоте на одну десятимиллионную долю метра, что сравнимо с радиусом атома. Насколько меньше уровень квантования при использовании чисел с плавающей точкой по сравнению с атомным радиусом?

Задача 3.3 Какие десятичные числа соответствуют приведённым ниже двоичным записям в формате с плавающей точкой?

а. 10111000101010100000000000000000 б. 10000000000000000000000000000000 в. 01111001111110010000000000000000 г. 01111111100000000000000000000000

12

Задача 3.4 Представьте десятичные числа в формате IEEE для чисел с плавающей точкой.

а. 1 б. 2 в. 4 г. –5 д. 18

Задача 3.5 Предположим, вам требуется записать число 4.0000003 в формате с плавающей точкой и одинарной точностью.

а. Какая двоичная форма записи соответствует числу 4? б. Какая двоичная форма записи соответствует ближайшему большему воспроизводимому в данном формате

числу?

в. Какое десятичное число соответствует двоичной записи, полученной в пункте б)?

г. Какую из двоичных записей, полученных выше, следует использовать для числа 4.0000003? Почему?

д. Чему равна максимальная ошибка при записи числа в формате с одинарной точностью? Найдите абсолютную и относительную погрешности.

Задача 3.6 В цифровом КИХ-фильтре каждый отсчёт выходного сигнала получается путём умножения M отсчётов входного сигнала на M соответствующих весовых коэффициентов фильтра и последующего сложения найденных произведений (операция свёртки). Тип фильтра (НЧ, ВЧ и т.д.) определяется используемыми коэффициентами. Предположим, что M = 5000, а вычисления проводятся в формате с плавающей точкой при одинарной точности.

13

а. Сколько арифметических операций (умножений и сложений) требуется для вычисления каждого отсчёта выходного сигнала?

б. Среднее амплитудное значение выходного сигнала равно ста единицам. Чему равна ожидаемая погрешность записи отдельного выходного отсчёта? Предполагается, что погрешности, вызванные округлением, складываются. Найдите абсолютную и относительную погрешности.

в. Ответьте на вопрос б), предполагая, что ошибки округления принимают случайные значения.

Контрольные вопросы

1.Какие формы представления двоичных чисел вам из-

вестны

2.Какие меры применяются при переполнении разряд-

ности?

3.Чем отличаются процедуры округления и усечения?

4.Какие арифметические операции над числами с фиксированной точкой приводят к переполнению?

5.Назовите источники ошибок квантования при прохождении сигнала через фильтр.

14

4. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Задача 4.1 Заданы два дискретных сигнала x[n] и y[n], длина которых составляет 8 отсчётов:

x[n]: 1, 2, 3, 4,–4,–3,–2,–1 y[n]: 0,–1, 0, 1, 0,–1, 0, 1

Если необходимо, то эти сигналы можно дополнять нулевыми отсчётами слева и справа. Рассчитайте и схематически изобразите перечисленные ниже сигналы.

а. x[n]; б. y[n]; в. 5x[n]; г. –7y[n];

д. x[n – 3]; е. y[n + 1]; ж. 2x[n + 1]; з. –y[n – 1];

и. x[n] + y[n];

к. –2x[n – 1] + 3y[n + 2]; л. 3x[n + 2] – 2y[n + 2]; м. x[n] + x[n – 2];

н. 2x[n] – 3x[n – 2] + 3y[n + 1].

Задача 4.2 Изобразите схематически следующие дискретные сигналы для случая:

–8 < n < 8.

а. x[n] = sin(2πn/8); б. x[n] = cos(2πn/4); в. x[n] = sin(2πn/2); г. x[n] = cos(2πn/2);

д. x[n] = n – 3, еслиn>2; = 0 в любом другом случае;

15

е. x[n] = 1, если n< –3; = 0, если 0 <n< 4; = 5 в любом другом случае.

Задача 4.3 Изобразите схематически следующие аналоговые сигналы, если область определения задана неравенством: –8 <t< 8.

а. x(t) = sin(2πt/8); б. x(t) = cos(2πt/4); в. x(t) = sin(2πt/2); г. x(t) = cos(2πt/2);

д. x(t) = n – 3, если t> 2; = 0 в любом другом случае;

е. x(t) = 1, если t< –3; = 0, если 0 <t< 4; = 5 в любом другом случае.

Задача 4.4 Отсчёты сигнала с порядковыми номерами от 0 до 11 характеризуются следующими значениями: 0, 2, 3, 4, 3, 2,–1, 0, –2, –3, 2, 1. Рассчитайте и схематически изобразите сигналы, полученные в результате:

а. декомпозиции на основе сигналов с чётной и нечётной симметрией;

б. декомпозиции с прореживанием; в. ступенчатой декомпозиции.

Задача 4.5 Два непрерывных сигнала b(t) и x(t) определяются следующими неравенствами:

b(t) = 1, если 0<t< 2; = 0 в любом другом случае;

x(t) = –1, если 1<t< 2;

=1, если 2 <t< 3;

=4, если 3 <t< 4;

=2, если 4 <t< 5;

=0 в любом другом случае.

а. Изобразите схематически b(t) и x(t).

16

б. Требуется показать, что x(t) можно представить состоящим из трёх промасштабированных и взятых со сдвигом сигналов b(t). То есть необходимо найти такие a1, a2, a3, s1, s2, s3, при которых:

x(t) = a1·b(t – s1) + a2·b(t – s2) + a3·b(t – s3).

в. Изобразите схематически найденные компоненты.

Задача 4.6 Чтобы утверждать, что система линейна, достаточно доказать математически, что для неё выполняются свойства аддитивности и однородности. Однако на практике очень часто линейность системы анализируется экспериментально: на вход системы подаётся некоторый тестовый сигнал и наблюдается реакция на выходе системы (активный эксперимент).

а. Можно ли, пользуясь одними лишь экспериментальными данными о сигналах на входе и выходе системы и не установив между ними взаимосвязи с помощью математических формул, утверждать, что система линейна? Ответ обоснуйте.

б. Можно ли таким способом установить нелинейность системы? Ответ обоснуйте.

Чтобы вам было легче дать ответ на поставленные вопросы, представьте, что анализируемая система — это «чёрный ящик». Вы подаёте тестовый сигнал на вход «чёрного ящика» и наблюдаете реакцию на его выходе. Вы не обладаете полной информацией о том, что происходит «внутри» системы. Возможно, в «чёрном ящике» сидит злой демон, пытающийся помешать вам в ваших экспериментах. А может быть и так, что в системе присутствует некоторый таймер, по которому работа системы сбивается раз в десять миллионов лет.

17

Контрольные вопросы

1.Дайте определение линейной системы с постоянными параметрами.

2.Что такое принцип суперпозиции?

3.Какими способами задаются дискретные последовательности?

4.Как вычисляется математическое ожидание случайного дискретного процесса на выходе линейной дискретной системы?

5.Как вычисляется дисперсия на выходе случайного дискретного процесса линейной дискретной системы?

6.Что такое точка компрессии выходного сигнала си-

стемы?

18