МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
Кафедра технологии машиностроения
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МАШИНОСТРОЕНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению лабораторных и практических работ для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»
(профили «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечно-штамповочного производства», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Технология машиностроения»)
всех форм обучения
Воронеж 2021
УДК 51:621(075.8) ББК 22.1:34.я7
Составитель канд. техн. наук А. В. Перова
Математическое моделирование процессов машиностроения: методи-
ческие указания к выполнению лабораторных и практических работ для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Технология машиностроения») всех форм обучения / ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет"; сост.: А. В. Перова. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. - 36 с.
Методические указания включают краткие теоретические сведения по математическому моделированию в машиностроении, методику и порядок выполнения практических работ, снабжены перечнем рекомендуемой литературы и конкретными примерами моделирования с использованием численных методов.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ_ММ_ПМ.pdf.
Библиогр.: 5 назв.
УДК 51:621(075.8) ББК 22.1:34.я7
Рецензент – Е. В. Смоленцев, д-р техн. наук, проф. кафедры технологии машиностроения ВГТУ
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
2
ВВЕДЕНИЕ Цель работ: провести анализ систем массового обслуживания с явными
потерями и с ожиданием для моделируемого простейшего потока вызовов с заданной интенсивностью поступающей нагрузки и исследовать характеристики качества обслуживания рассматриваемых систем массового облуживания.
Порядок выполнения лабораторных работ
1. В первом разделе работы "Моделирование простейшего потока вызовов" описать порядок и теоретическое обоснование моделирования на компьютере простейшего потока вызовов с заданной интенсивностью
λ = 10* N +1
N + 4
на промежутке времени [N+1, N+4], где N - номер по журналу.
При этом кратко изложить результаты проведенного моделирования и основные свойства смоделированного простейшего-потока вызовов.
2. Во втором, разделе работы "Анализ работы системы массового облуживания (СМО) с явными потерями требуется:
а) описать работу v-канальной СМО с явными потерями при обслуживании простейшего потока вызовов. При этом указать первое распределение Эрланга и первую формулу Эрланга для вероятностей потерь, привести формулы для интенсивностей поступающей, потенциальной и обслуженной нагрузок;
б) провести моделирование реального процесса обслуживания v- канальной СМО с явными потерями на промежутке [N, N+200] мин. для пр о- стейшего потока вызовов с параметром
λ = 10* NN ++14 выз/мин
при среднем времени обслуживания одного вызова 1.5 мин. Сравнить полученное значение вероятности потерь Pb с рассчитанным по первой формуле Эрланга;
в) получить для СМО с явными потерями результаты моделирования зависимости вероятностей потерь pb = Ev(λ) от V для смоделированных входящих простейших потоков вызовов и построить график этой зависимости
при Λ1 =10 NN++n1 ;Λ2 = 20 NN++n1 ;Λ3 = 40 NN++n1 .
г) из полученного графика определить при заданном значении уровня качества обслуживания Pb= 0.02 необходимое число VO каналов обслуживания СМО с явными потерями для обслуживания смоделированных простейших потоков вызовов;
д) вычислить пропускную способность СМО с явными потерями при обслуживании смоделированных простейших потоков вызовов системой с найденным числом каналов обслуживания;
е) результаты проведенных исследований оформить в виде результирующей таблицы.
3
3. В третьем разделе работы "Анализ работы СМО с ожиданием" требует-
ся:
а) описать работу V-канальной СМО с ожиданием при обслуживании V полнодоступными каналами простейшего потока вызовов. При этом указать второе распределение Эрланга и вторую формулу Эрланга для вероятностей потерь, привести формулы для интенсивностей поступающей, потенциальной и обслуженной нагрузок, основных и вспомогательных характеристик качества обслуживания.
б) получить для СМО с ожиданием результаты моделирования зависимости вероятности ожидания для поступившего вызова p = Dv(λ) от V для смоделированных входящих простейших потоков вызовов и построить график этой зависимости для Λ1, Λ2 , Λ3 .
в) из полученного графика определить при заданном значении P = 0,02 уровня качества обслуживания необходимое число VO каналов обслуживания СМО c ожиданием для обслуживания смоделированных простейших потоков вызовов;
г) вычислить пропускную способность СМО с ожиданием при обслуживании смоделированных простейших потоков вызовов системой с найденным числом полнодоступных каналов обслуживания и привести в общем виде формулы для основных и вспомогательных характеристик качества обслуживания такой системы.
д) результаты проведенных исследований сравнить с соответствующими результатами раздела 2 и оформить в виде результирующей таблицы.
4. В четвертом разделе работы "Расчет основных и вспомогательных характеристик качества обслуживания одноканальной СМО с ожиданием требуется:
а) описать работу одноканальной СМО с ожиданием при обслуживании простейшего потока вызовов с заданной интенсивностью поступающей нагрузки
λ0 = NN ++14 ,
где N - последний номер по журналу;
б) вычислить пропускную способность рассматриваемой СМО с ожиданием при обслуживании заданного простейшего потока вызовов и определить для этой системы основные и вспомогательные характеристики качества обслуживания:
*вероятность ожидания;
*среднюю длину очереди;
*среднее время ожидания для задержанных и поступающих вызовов;
*долю вызовов, обслуженных без очереди.
в) результаты проведенных исследований оформить в виде результирующей таблицы.
4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШЕГО ПОТОКА
Цель: Изучить свойства и характеристики простейшего потока. Сравнить теоретические и модельные значения полученных характеристик.
Теоретические сведения Свойства и характеристики простейшего потока
Простейший поток обладает следующими свойствами:
-стационарность,
-отсутствие последействия,
-ординарность.
Стационарность означает, что с течением времени вероятностные характеристики потока не меняются. Стационарность потока равносильна постоянной плотности вероятности поступления вызовов в любой момент времени, иначе говоря, для стационарного потока вероятность поступления i вызовов за промежуток длиной ∆t зависит только от величины промежутка и не зависит от его расположения на оси времени (1).
Pi(t +∆t ) = Pi(t1 +∆t ) = Pi(∆t) |
(1) |
Последействие означает зависимость вероятностных характеристик по-
тока от предыдущих событий. Иными словами, вероятность поступления i вызовов в промежуток [t1,t2] зависит от числа, времени поступления и длительности обслуживания вызовов до момента t1. Для случайного потока без последействия условная вероятность поступления вызовов в промежутке [t1,t2], вычисленная при любых предположениях о течении процесса обслуживания вызовов
до момента t1, равна безусловной (2). |
|
Pi( [t1, t2] )|t< t1 = Pi( [t1, t2] ). |
(2) |
Ординарность означает практическую невозможность группового |
по- |
ступления вызовов. Иначе говоря, вероятность поступления двух или более вызовов за любой бесконечно малый промежуток времени ∆t есть величина бес-
конечно малая более высокого порядка, чем ∆t, т.е. |
|
Pi≥2 (∆t) =λ∆t+o(∆t). |
(3) |
К основным характеристикам случайного потока относят ведущую функ-
цию, параметр и интенсивность.
Ведущая функция случайного потока x(0, t) есть математическое ожидание числа вызовов в промежутке [t,t+∆t]. Функция x(0, t)- неотрицательная, не-
убывающая и в практических задачах теории распределения информации непрерывна и принимает только конечные значения.
Параметр потока λ(t) в момент времени t есть предел отношения вероятности поступления не менее одного вызова в промежутке [t,t+∆t] к величине этого промежутка ∆t при: ∆t →0
λ(t) = lim |
Pi≥1(t,t + ∆t) . |
(4) |
∆t→0 |
∆t |
|
|
|
5
Параметр потока определяет плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент t. Определение параметра равносильно предположению, что вероятность поступления хотя бы одного вызова в промежутке [t,t+∆t] с точностью до бесконечно малой пропорциональна промежутку и параметру потока λ(t):
Pi≥1 (t, t + ∆t) = λ(t) ∆t +o(∆t). |
(5) |
Для стационарных потоков вероятность поступления вызовов не зависит от времени, т. е., Pi≥1 (t, t + ∆t) = Pi≥1 (∆t) , поэтому параметр стационарного потока
постоянный. Соответственно получаем
Pi≥1 (∆t) =λ∆t+o(∆t). |
(6) |
Интенсивность стационарного потока µ есть математическое ожидание числа вызовов в единицу времени.
Если интенсивность характеризует поток вызовов, то параметр - поток вызывающих моментов. Поэтому всегда µ(t)≥λ(t), а равенство имеет место только для ординарных потоков, когда в каждый вызывающий момент поступа-
ет только один вызов. |
|
|
|
|
Моделирование простейшего потока |
|
|
||
Для простейшего потока вызовов длины промежутков zk = tk |
- tk-1 |
>0 вре- |
||
мени между последовательными вызовами потока распределены по показа- |
||||
тельному закону с тем же параметром λ |
|
(7) |
||
P(z < t) = F(t) = 1−e |
|
, t > 0, . |
|
|
|
−λt |
|
|
|
0, t < 0.
Это обстоятельство позволяет моделировать простейший поток вызовов на заданном промежутке времени при помощи метода Монте-Карло, который основывается на следующей теореме:
Теорема: Если ri - случайные числа, равномерно распределенные на (0,1), то возможное значение xi разыгрываемой непрерывной случайно величины Х с заданной функцией распределения F(х), соответствующее ri является корнем уравнения
F(xi) = ri. |
(8) |
Согласно этой теореме, для получения последовательности случайных
значений Zk, распределенных по показательному закону с параметром λ, требуется для каждого случайного числа ri (0,1), генерируемого на ПЭВМ датчиком
псевдослучайных чисел, решить уравнение
1 - e−λzi = ri, i =1,2,… |
(9) |
||||
Решая это уравнение относительно zi, имеем |
|
||||
zi = - |
1 |
ln(1-ri) |
(10) |
||
|
|
||||
или |
λ |
|
|||
|
1 |
|
|
||
zi = - |
|
ln(ri) i =1,2,… |
(11) |
||
|
|
||||
|
|
λ |
|
||
6