Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 80057

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

397.13 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Примеры решения типового расчета

Задание 1. В ящике 5 груш и 6 яблок. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что выбрана одна груша и два яблока?

Решение. Случайное событие A – выбрана одна груша и два яблока. Элементарными исходами здесь являются наборы, включающие 3 фрукта. В задаче не важен порядок выбора фруктов. Общее число элементарных исходов n равно числу

сочетаний C113 , т.е. числу способов выбрать 3 фрукта из 11.

Число благоприятствующих случайному событию A исходов m равно произведению числа способов выбора 2 яблок из

имеющихся 6, т.е. С62 и числа способов выбора 1 груши из имеющихся 5 груш, т.е. С51 . Тогда искомая вероятность согласно классическому определению равна

C62

C51

6! 5!

P(A)

2!4! 1!4!

11!

C113

3!8!

Задание 2. Для функционирования устройства требуется либо работа всех трех блоков, либо одновременная работа двух блоков из трех. Вероятности поломки этих блоков равны соответственно p1=0,005, p2=0,01, p3=0,02. Найти вероятность того, что устройство сохранит работоспособность.

Решение. Случайное событие A – первый блок сохраняет работоспособность, случайное событие B – второй блок сохраняет работоспособность, случайное событие C – третий блок сохраняет работоспособность. Требуется найти вероятность сложного события

P(A B C A B C A B C A B C).

Поскольку события (A B C),

(A B C),

(A B C) несовместны, то искомая вероятность равна сумме вероятностей перечисленных слагаемых:

P(A B C A B C A B C A B C)=P(A B C)+

P(A B C)+P(A B C)+P(A B C).

Так как события, составляющие произведения событий, независимы, то

P(A B C) P(A) P(B) P(C)=(1 p1)(1 p2)(1 p3)= =(1 0,005)(1 0,01)(1 0,02)=0,965,

P(A B C)=P(A) P(B) P(C) =0,005 (1 0,01)(1 0,02)=

=0,005,

P(A B C)=(1 p1)(p2)(1 p3)=(1 0,005)(0,01)(1 0,02)=

=0,009,

P(A B C)=(1 p1)(1 p2)(p3)=0,995 0,99 0,02 =0,019.

В результате получаем

P(A B C A B C A B C A B C)=0,965+0,005+ +0,009+0,019=0,998.

Задание 3. В первой урне содержится 5 черных и 3 белых шаров, во второй урне 4 черных и 3 белых шаров. Из первой урны наудачу извлекли 2 шара и переложили во вторую урну, после чего из второй урны извлекли наудачу 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар — белый?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что извлеченный из второй урны шар оказался белым. Для нахождения вероятности P(A) рассмотрим гипотезы:

–во вторую урну переложили 2 черных шара;

–во вторую урну переложили 1 черный шар и 1 белый шар;

–во вторую урну переложили 2 белых шара.

Вероятность гипотезы считаем по формуле классического определения вероятности с помощью понятия числа

сочетаний, т.е.

P(H				)			C2						5!								2! 6!					5 4								5			,
									5
							C2							2!3!								8!				7 8								14
	1						C2							2!3!								8!				7 8								14
		C1			C1				8
P(H2)		C1			C1					5!										3!			2! 6!							5 3 2								15
			5				3																																,
					2						1!4!													8!								7 8						28	,
			C8					C32			1!4!							1! 2!						8!								7 8						28
P(H				)				C32							3!						2! 6!					2 3								3		.
P(H				)				C82																										28		.
			3					C82							2!1!							8!				7 8								28
Условные вероятности P(A/H2), очевидно, равны
P(A/H )					3									1		,					P(A/H							)							3 1					4	,
1		4 3 2											3								3 2						2		5				4 3 2 9
					P(A/H									)							3 2								5		.
					P(A/H									)					4 3 2												.
										3									4 3 2									9
По формуле полной вероятности получим ответ
P(A) P(H1) P(A/H1) P(H2) P(A/H2) P(H3) P(A/H3)
				5		1						15						4				3			5	0,417
																						28			9	0,417
	14						3			28							9					28			9

Ответ: вероятность того, что извлеченный шар – белый равна 0,417.

Задание 4. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной?

Решение. Введем обозначения: событие А – «взята бракованная деталь»; гипотеза H1 − «деталь изготовлена на первом станке», H2 − «деталь изготовлена на втором станке»,

H3 − «деталь изготовлена на третьем станке».

Пусть х – производительность второго станка, тогда 3х – производительность первого станка, х/2 – производительность третьего станка. В соответствии с условием задачи имеем:


P(H			)			3x				3x				6	2	,
					3x x x/2										3
		1								(9/2)x 9
P(H		)				x	2	,	P(H		)		x/2				1	;

	2			(9/2)x 9					3			(9/2)x			9
P(A/H1) 0,02,						P(A/H2)			0,03,			P(A/H3) 0,04.

По формуле полной вероятности находим искомую вероятность

P(A) P(H1) P(A/H1) P(H2) P(A/H2) P(H3) P(A/H3)

2 0,02 2 0,03 1 0,04 0,024. 3 9 9

Ответ: вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной, равна 0,24.

Задание 5. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, третьей – 34%. Известно, что процент нестандартных изделий для первой, второй и третьей фабриках 3%; 2%;. 1% соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что взято нестандартное изделие, через H1 , H2 , H3 −

гипотезы, состоящие в том, что взято изделие, изготовленное соответственно на первой, на второй, на третьей фабрике.

Из условия следует, что

P(H1) 0,2,	P(H2) 0,46,	P(H3) 0,34;
P(A/H1) 0,03,	P(A/H2) 0,02,	P(A/H3) 0,01.

Поскольку в данном случае

P(A) 0,2 0,03 0,46 0,02 0,34 0,01 0,0186,

то в соответствии с формулой Байеса

Р(Нk /A) =	P(Hk )P(A/ Hk )
Р(Нk /A) =	n
	P(Hi )P(A/ Hi )
	i 1
находим искомую вероятность

P(A/H )	0,2 0,03	0,006	0,322.

1	P(A)	0,0186

Задание 6. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях событие появится: а) ровно 3 раза, б) не менее трех раз, в) не более трех раз, г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна 0,8.

Решение. Так как число испытаний невелики, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой

Бернулли P (k) Ck pkqn k , где		Ck	n!	, число
			(n k)!k!
n	n	n

сочетаний из n элементов по k, q 1 p . В рассматриваемом случае:

а) вероятность появления события ровно 3 раза в 5 испытаниях

P (3) C3		0,83	(1 0,8)2	5!	0,830,22	0,2048.
P (3) C3		0,83	(1 0,8)2		0,830,22	0,2048.
5	5			3!2!
				3!2!
	б) вероятность появления события не менее трех раз в 5
испытаниях
	P(3) P(4) P(5) 0,2048 C4 0,840,21 C5 0,850,20
	5	5	5	5		5
			0,2048 0,4096 0,3277 0,9421.
	в) вероятность появления события не более 3 раз в 5
испытаниях
		P5 (0) P5 (1) P5		(2) P5 (3) 1 P5 (4) P5 (5)

1 0,4096 0,3277 0,2629.

г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях

P5 (1) P5 (2) P5 (3) P5 (4) P5 (5) 1 P5 (0) 1 C50 0,800,25

1 0,0003 0,9997.

При решении б) - г) использована теорема сложения вероятностей несовместных событий, а при решении в), г) – понятие противоположных событий, сумму вероятностей которых равна 1.

Задание 7. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено более трех изделий.

Решение. Пусть событие A – повреждено более трех изделий; событие B – повреждено не более трех изделий, т.е. оно произойдет, если произойдет одно из следующих событий:

событие B1 – не повреждено ни одно изделие;

событие B2 – повреждено одно изделие;

событие B3 – повреждено два изделия;

событие B4 – повреждено три изделия. Тогда P(A) 1 P(B) ;

P(B) P(B1 ) P(B2 ) P(B3 ) P(B4 )

P500 (0) P500 (1) P500 (2) P500 (3).

Вероятность P(B) будем искать, используя формулу

k e

Пуассона Pn (k) . Найдем : k!

n p 500 0,002 1.

Тогда P(B) e 1 e 1 e 1 e 1 0,981. Откуда

0! 1! 2! 3!

P(A) 1 0,981 0,019.

Задание 8. Проверяются 100 деталей. Вероятность отсутствия брака для каждой детали равна 0,8. Найти

вероятность того, что не бракованных деталей будет не менее 75 и не более 90.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:

Pn (m1,m2 ) (x2 ) (x1), где

m np

; x2

m2 np

npq

По условию n 100, p 0,8, q 0,2,

m1 75, m2

90.

Вычислим x1

и x2 :

100 100 0,8

75 100 0,8

1,25; x

2,5.

100 0,8 0,2

Учитывая,

что

функция

Лапласа

нечетна, т.е.

( x) (x), получим

P100 (75; 90) =Ф(2,5) – Ф(−1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).

По таблице найдем

Ф(2,5) = 0,4938;

Ф(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность

P100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

Задание 9. Лампочки елочных гирлянд соединены последовательно. Одна из них перегорела. Составить закон распределения случайной величины – числа лампочек, проверенных до обнаружения перегоревшей, если в гирлянде 6 лампочек. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. При последовательном соединении цепь выходит из строя при перегорании любой из 6 лампочек.

Вероятность перегорания каждой из 6 лампочек P 1		,
i	6
i 1,2,...,6.

Закон распределения этой дискретной случайной величины X запишется так:

X	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6
				25

Найдем математическое ожидание

6									1				1						1								1				1		1
M(X) x					P				1	1			1		2				1	3							1	4			1	5	1	6
M(X) x					P					1					2					3								4				5		6
		i 1 i			i		6					6					6										6			6			6
			1	(1 2 3 4 5 6)																		1				1 6			6 3,5.
				(1 2 3 4 5 6)																									6 3,5.
6																					6						2
Дисперсию вычислим по формуле
D(X) M(X2) M(X) 2														1		(1 4 9 16 25 36) 3,52
D(X) M(X2) M(X) 2																(1 4 9 16 25 36) 3,52
	1					1					1	6					1				11
	1	91 12				1	15				1	12					1	2			11				2,9167.
		91 12					15					12					4	2							2,9167.
6					4		6										4				12
В соответствии					с формулой																									находим среднее
В соответствии					с формулой																			D(X)						находим среднее
квадратическое отклонение																							1,708.

								D(X)									2,9167

Задание 10. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X . Требуется:

1)Определить коэффициент a;

2)Найти функцию распределения F(x);

3)Найти математическое ожидание и дисперсию X;

4)Найти вероятность того, что X примет значение из интервала ( , ) .

0	при x 2
	при 2 x 4 ,	3;
f (x) a(x 1)	при 2 x 4 ,	3;
	при x 4	3,5.
0	при x 4

Решение. 1). Для определения коэффициента a воспользуемся свойством нормировки плотности

распределения: f (x)dx 1.

	2	4		4	x2			4
	2	4		4	x2
f (x)dx 0 dx a(x 1)dx 0 dx a (x 1)dx a							x	8a,
f (x)dx 0 dx a(x 1)dx 0 dx a (x 1)dx a						2	x	8a,
		2	4	2		2		2

т.е. 8a 1 отсюда a 1/8. Таким образом,

					0										при		x 2

					1
			f (x)					(x 1)						при			2 x 4
			f (x)					(x 1)						при			2 x 4
					8										при		x 4.
					0										при		x 4.

2). Используем формулу										x
										x
				F(x)						f (t)dt.

При x ( ;2), имеем:											x
При x ( ;2), имеем:				F(x)							0 dt 0.
При x 2;4 ,
При x 2;4 ,
2			x									1	t2								x		x2				x 1
2			x									1	t2								x		x2				x 1
F(x) 0 dt 1/8 t 1 dt																t														.
F(x) 0 dt 1/8 t 1 dt												8				t							16				8			.
			2									8	2										16				8		2
			2																		2
Если x (4; ), то																					2
Если x (4; ), то
2		4							x								1			2					4
2		4							x											2					4
F(x) 0 dt 1/8 t 1 dt 0 dt 0																			t			t					0 1.
F(x) 0 dt 1/8 t 1 dt 0 dt 0																	8					t					0 1.
		2							4								8	2
		2							4																2
Таким образом,															при			x 2,							2
Таким образом,
				0
						2			x			1
				x					x			1
		F(x)													при			2 x 4,
		F(x)							8			2			при			2 x 4,
				16					8			2			при			x 4.
				1											при			x 4.

3) Найдем математическое ожидание и дисперсию X :
	2			4				1																14				2
M(X) xf (x)dx	x 0dx x								(x 1)dx							x 0dx 0									(x				x)dx
M(X) xf (x)dx	x 0dx x							8	(x 1)dx							x 0dx 0								8	(x				x)dx
				2				8								4								8	2
	1	x3		x2			4				1 64 16							8 4						37
	1	x3		x2			4				1 64 16							8 4						37
																										.
	8		3	2						8			3			2								12		.
	8		3	2						8			3			2		3 2						12
								2
												27

Теперь найдём дисперсию:

				2					4					37 2		1						1			4			3	31			2		481			1369
D(X)		x M(X)			f (x)dx x													(x				1)dx			x						x				x				dx
									2					12		8						8			2		4		6					144			144
			1		x	4		31		x		3			481		x			2			1369							47
						4						3								2
																								x									.
					4																			x									.
		8			4		6				3			144					2			144							144
																											2
																											2
	4) Вероятность того, что X примет значение из интервала
(3;3,5):
							3,51												1							3,5			1		49			7	9			17
							3,51												1							3,5			1		49			7	9			17
P x (3;3,5) P 3 X 3,5													(x 1)dx								(x2/2 x)															3				.
P x (3;3,5) P 3 X 3,5													(x 1)dx								(x2/2 x)															3				.
							3				8								8							3			8		8			2 2				64
							3				8								8							3			8		8			2 2				64

Задание 11. Заданы математическое ожидание a и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины. Требуется:

1)написать плотность распределения вероятностей и схематично построить её график;

2)найти вероятность того, что X примет значение из

интервала ( , ) , если a 8,

Решение. Т.к. случайная величина X имеет нормальное распределение, то её плотность имеет вид:

	1				(x a)2
f (x)	1		e		2 2 .
f (x)			e		2 2 .
		2
Тогда
			1			(x 8)2
f (x)					e		.
						18
						18
	3			2

График функции f (x) называется кривой Гаусса и имеет

вид:

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20225.59 Mб3Учебное пособие 800565.pdf
#
01.05.20225.62 Mб25Учебное пособие 800566.pdf
#
01.05.20225.63 Mб7Учебное пособие 800567.pdf
#
01.05.20225.77 Mб14Учебное пособие 800568.pdf
#
01.05.20225.79 Mб4Учебное пособие 800569.pdf
#
01.05.2022397.13 Кб2Учебное пособие 80057.pdf
#
01.05.20225.8 Mб2Учебное пособие 800570.pdf
#
01.05.20225.82 Mб3Учебное пособие 800571.pdf
#
01.05.20225.85 Mб31Учебное пособие 800572.pdf
#
01.05.20225.9 Mб2Учебное пособие 800573.pdf
#
01.05.20225.92 Mб9Учебное пособие 800574.pdf