Учебное пособие 80057
.pdf
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический
университет»
Кафедра прикладной математики и механики
- 2015
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету «Теория вероятностей и математическая статистика»
по дисциплине «Спецглавы математики» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного
производства») очной формы обучения
divFdV FndS
V S
Воронеж 2015
Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Горбунов, канд. физ.-мат. наук Е.В. Корчагина, канд. техн. наук О.А. Соколова
УДК 517.2 (07)
Методические указания к типовому расчету «Теория вероятностей и математическая статистика» по дисциплине «Спецглавы математики» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного производства») очной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.В. Горбунов, Е.В. Корчагина, О.А. Соколова. Воронеж, 2015. 36 с.
Методические указания предназначены для активизации самостоятельной работы студентов по дисциплине «Спецглавы математики». Они содержат тридцать вариантов индивидуальных домашних заданий и решение типового варианта. Методические указания предназначены для студентов второго курса.
Методические указания подготовлены в электронной версии в текстовом редакторе MS WORD 2003 и содержатся в файле “ТР_ТВиМС15.pdf”.
Табл. 9. Библиогр.: 3 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук,
проф. В.И. Ряжских
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2015
4
ВВЕДЕНИЕ
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.
В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.).
Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654 - 1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.
Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821 - 1894) и его учеников А. А.
Маркова (1856 - 1922) и А. М. Ляпунова (1857 - 1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в
1
первую очередь русским и советским математикам (С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским и российским математикам.
За последние годы получили развитие методы прикладной теории вероятностей, появление которых связано со спецификой исследуемых технических проблем. Речь идет о таких дисциплинах как «теория информации» и «теория массового обслуживания». Возникшие из непосредственных потребностей практики, эти разделы теории вероятностей приобретают общее теоретическое значение, а круг их приложений постоянно увеличивается.
Методические указания рассчитаны на студентов, обучающихся по направлению 15.03.01 «Машиностроение». Они содержат тридцать вариантов индивидуальных домашних заданий и решение типового варианта.
2
Типовой расчет «Теория вероятностей и математическая статистика»
Задание 1
Задание 1.1. Из 25 студентов группы 12 занимаются научной работой на кафедре «Оборудование и технология сварочного производства». Какова вероятность того, что из двух случайно отобранных студентов хотя бы один занимается научной работой на кафедре?
Задание 1.2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «финик». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «финик».
Задание 1.3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на двух костях будет больше девяти.
Задание 1.4. Из колоды 36 карт выбираются две карты. Какова вероятность того, что обе карты одинаковой масти?
Задание 1.5. На книжной полке случайно расставлены 12 книг. Из них 4 книги на немецком языке. Какова вероятность того, что книги на немецком языке окажутся рядом.
Задание 1.6. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает хотя бы один вопрос, содержащиеся в его экзаменационном билете, если в билете два вопроса.
Задание 1.7. В мешочке имеется 7 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, б, м, а, а, з, к. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «обмазка».
Задание 1.8. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на трех костях будет больше шестнадцати.
3
Задание 1.9. Выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую случайно выбранную кость можно приставить к первой.
Задание 1.10. Четыре письма случайно раскладываются по четырем конвертам с указанными адресами, по одному письму в каждый конверт. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в свой конверт.
Задание 1.11. В сумке содержатся 10 пачек качественных электродов и 4 бракованных. Случайно берутся из сумки 4 пачки. Найти вероятность того, что хотя бы три пачки будут качественными.
Задание 1.12. В лифт 9-этажного дома входят 3 человека. Найти вероятность того, что все они выйдут на разных этажах.
Задание 1.13. Брошены четыре игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на четырех костях будет больше двадцати двух.
Задание 1.14. Участники соревнований тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 20. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
Задание 1.15. В шкафу находятся 10 различных пар ботинок. Из них случайно выбирают 4 ботинка. Найти вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные.
Задание 1.16. В ящике лежат 15 новых теннисных мячей. Для игры наудачу выбирают два мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу берут еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Задание 1.17. Найти вероятность того, что в 5-значном числе ровно 3 цифры совпадают, а остальные различны.
Задание 1.18. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера. Кубики затем тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет одну окрашенную грань.
4
Задание 1.19. Имеется 11 билетов, среди которых 3 выигрышных. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов ровно 2 выигрышных.
Задание 1.20. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей единица выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные единице).
Задание 1.21. В партии газовых горелок из 10 горелок имеется 7 газовых горелок повышенного качества. Наудачу избираются 3 горелки. Какова вероятность того, что все три будут повышенного качества?
Задание 1.22. Найти вероятность того, что в 6-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны.
Задание 1.23. Набирая номер телефона, абонент забыл последние четыре цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Задание 1.24. Слово «анаконда» разрезается на буквы, которые затем буквы перемешиваются. Одна за другой вытаскиваются 5 букв и прикладываются друг к другу слева направо. Найти вероятности того, что получится слово «канон».
Задание 1.25. Найти вероятность того, что в 4-значном числе ровно 2 цифры совпадают, а остальные различны.
Задание 1.26. В партии из 16 бухт проволоки 8 бухт имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 3 бухт проволоки есть хотя бы две бездефектные.
Задание 1.27. В лифт 10-этажного дома входят 4 человека. Найти вероятность того, что все они выйдут на разных этажах.
Задание 1.28. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на двух костях будет больше восьми.
5
Задание 1.29. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.
Задание 1.30. Двенадцать участников турнира, среди которых 2 мастера спорта, разбиваются на 2 равные группы. Найти вероятность того, мастера спорта окажутся в разных группах.
Задание 2. Для функционирования устройства требуется либо работа всех трех блоков, либо одновременная работа двух блоков из трех. Вероятности поломки этих блоков равны соответственно p1, p2, p3. Найти вероятность того, что устройство сохранит работоспособность.
Таблица 1
№ варианта |
p1 |
p2 |
p3 |
№ варианта |
p1 |
p2 |
p3 |
1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
16 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
2 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
17 |
0,5 |
0,4 |
0,4 |
3 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
18 |
0,4 |
0,5 |
0,3 |
4 |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
19 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
5 |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
20 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
6 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
21 |
0,1 |
0,4 |
0,2 |
7 |
0,2 |
0,5 |
0,6 |
22 |
0,4 |
0,4 |
0,2 |
8 |
0,3 |
0,2 |
0,3 |
23 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
9 |
0,5 |
0,4 |
0,1 |
24 |
0,5 |
0,1 |
0,4 |
10 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
25 |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
11 |
0,4 |
0,1 |
0,2 |
26 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
12 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
27 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
13 |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
28 |
|
|
|
14 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
29 |
0,5 |
0,2 |
0,4 |
15 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
30 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
6
Задание 3. В каждой из двух урн содержится n1 черных и n2 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечены и переложены во вторую урну k шаров. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется белым.
Таблица 2
№ варианта |
n1 |
n2 |
k |
№ варианта |
n1 |
n2 |
k |
1 |
5 |
6 |
2 |
16 |
7 |
3 |
2 |
2 |
5 |
7 |
3 |
17 |
7 |
4 |
3 |
3 |
5 |
8 |
4 |
18 |
8 |
5 |
4 |
4 |
4 |
3 |
2 |
19 |
8 |
2 |
2 |
5 |
4 |
4 |
3 |
20 |
8 |
3 |
3 |
6 |
4 |
5 |
4 |
21 |
8 |
4 |
4 |
7 |
3 |
6 |
2 |
22 |
3 |
4 |
2 |
8 |
4 |
5 |
3 |
23 |
3 |
5 |
3 |
9 |
5 |
6 |
4 |
24 |
4 |
5 |
4 |
10 |
5 |
7 |
2 |
25 |
2 |
4 |
2 |
11 |
5 |
8 |
3 |
26 |
3 |
6 |
3 |
12 |
6 |
5 |
4 |
27 |
4 |
7 |
4 |
13 |
6 |
3 |
2 |
28 |
5 |
8 |
2 |
14 |
6 |
4 |
3 |
29 |
3 |
7 |
2 |
15 |
7 |
5 |
4 |
30 |
4 |
8 |
3 |
Задание 4. Два сварщика изготавливают однотипные детали. Вероятность того, что первый сварщик допустит брак, равна p1, для второго сварщика эта вероятность равна p2. Известно, что второй сварщик работает в k раз быстрее первого сварщика. Найти вероятность того, что взятая на проверку деталь окажется бракованной.
7
Таблица 3
№ |
p1 |
p2 |
k |
№ |
p1 |
p2 |
k |
варианта |
|
|
|
варианта |
|
|
|
1 |
0,1 |
0,2 |
2 |
16 |
0,4 |
0,02 |
1,5 |
2 |
0,2 |
0,1 |
1,5 |
17 |
0,02 |
0,3 |
2 |
3 |
0,1 |
0,3 |
2 |
18 |
0,3 |
0,02 |
1,5 |
4 |
0,3 |
0,1 |
1,5 |
19 |
0,02 |
0,1 |
2 |
5 |
0,2 |
0,3 |
2 |
20 |
0,1 |
0,02 |
1,5 |
6 |
0,3 |
0,2 |
1,5 |
21 |
0,01 |
0,1 |
2 |
7 |
0,15 |
0,1 |
2 |
22 |
0,1 |
0,01 |
1,5 |
8 |
0,1 |
0,15 |
1,5 |
23 |
0,01 |
0,2 |
2 |
9 |
0,2 |
0,15 |
2 |
24 |
0,2 |
0,01 |
1,5 |
10 |
0,15 |
0,2 |
1,5 |
25 |
0,01 |
0,3 |
2 |
11 |
0,05 |
0,03 |
2 |
26 |
0,3 |
0,01 |
1,5 |
12 |
0,03 |
0,05 |
1,5 |
27 |
0,01 |
0,4 |
2 |
13 |
0,05 |
0,15 |
2 |
28 |
0,1 |
0,15 |
2 |
14 |
0,15 |
0,05 |
1,5 |
29 |
0,4 |
0,01 |
1,5 |
15 |
0,02 |
0,4 |
2 |
30 |
0,01 |
0,03 |
2 |
Задание 5. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет m1%, второй – m2%, третьей – m3%. Известно, что процент брака на первой, второй и третьей фабриках n1; n2;. n3 соответственно. Выбранное изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно было произведено на первой фабрике.
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
№ варианта |
m1 |
m2 |
m3 |
n1 |
n2 |
n3 |
|
1 |
10 |
10 |
80 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
10 |
20 |
70 |
4 |
5 |
6 |
|
3 |
10 |
30 |
60 |
5 |
6 |
7 |
|
4 |
10 |
40 |
50 |
5 |
4 |
3 |
|
5 |
20 |
10 |
70 |
6 |
5 |
4 |
|
6 |
20 |
20 |
60 |
7 |
6 |
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|